精品解析：山东省临沂市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学试题 2024.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 向量，则（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 5. 三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，点O为的内心，则（ ） A. B. C. D. 7. 某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（ ） A. 50米 B. 100米 C. 米 D. 米 8. 已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（ ） A 7 B. 9 C. 11 D. 13 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的迭项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数（其中虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为直角三角形 11. 已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（ ） A. 的解析式为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上是减函数 D. 将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象 12. 已知函数，则（ ） A. 的周期是 B. 的值域是 C. 若在区间上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 D. 若方程在区间上有3个不同的实根，则的取值范围是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知平面向量满足，则______． 14. 若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为______． 15. 如图所示，某学校花园平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别坐落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为______米（精确到1米）． 16. 在中，已知的角平分线，则的正弦值为______． 四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量． （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 18. 已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围． 19. 已知向量满足． （1）求向量与的夹角； （2）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 20. 设的内角所对的边分别为，若，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 21. 已知在锐角中，三边的对角分别为，且 （1）求角的值； （2）若，求的周长的取值范围． 22. 已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值； （3）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数范围（或值），若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学试题 2024.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系以及二倍角的正弦公式即可求得结果. 【详解】将两边平方可得， 即，可得. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用诱导公式以及两角和的余弦公式即可求解． 【详解】， 故选：D 3. 若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法以及除法运算法则计算可得结论. 【详解】根据可得， 所以， 所以的虚部是. 故选：C 4. 向量，则（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积运算律以及坐标表示即可得出结果. 【详解】由可得； 所以. 故选：A 5. 的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，再由余弦定理即可求得. 【详解】由可得，即可得， 所以， 因此，又， 所以. 故选：A 6. 已知中，，点O为的内心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意是直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算即可得出结论. 【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形； 以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，因此 不妨设的内切圆半径为，易知，解得； 即可得； 所以； 设，可得，解得； 所以. 故选：B 7. 某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（ ） A. 50米 B. 100米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设灯塔顶端高于海面的距离为米，利用锐角三角函数的定义算出米，米，然后在中利用余弦定理建立关于的等式，解之即可得到本题的答案． 【详解】根据题意作出示意图，如图所示， 设灯塔顶端高于海面的距离为米，由题意得，， 所以米，米， 在中，，， 由余弦定理得， 即，整理，解得不符合题意，舍去）． 综上所述，灯塔顶端高于海面的距离为50米． 故选：． 8. 已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数图象的对称性，由对称轴和对称中心方程求得的表达式，即可求得其取值. 【详解】根据图象关于直线对称可得，解得; 又关于点对称可得，解得； 经检验当时，符合题意. 故选：C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的迭项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则可得，且，可得BC正确；代入计算可知A错误，D错误. 【详解】对于A，由可得， 可得，可知A错误； 对于B，易知，因此，即可得B正确； 对于C，， 因此可得，即C正确； 对于D，，即可得D错误. 故选：BC 10. 在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】中，由正弦定理可得，再由角的范围，可得的值，进而判断出三角形的形状，判断出的真假； 中，由余弦函数性质可得，的大小关系，由正弦定理可得，的大小关系，判断出的真假； 中，由题意只能判断出角为锐角，但不能判断出角，是否为锐角，判断出的真假； 中，由半角公式及正弦定理，两角和的正弦公式可得，再由角的范围，可得角为直角，进而可得三角形的形状，判断出的真假． 【详解】中，因为，由正弦定理可得， 即，在三角形中，， 所以，因为，所以，即为直角三角形，所以正确； 中，三角形中，，则，由大边对大角，可得，再由正弦定理可得，所以正确； 中，若，只能得出角为锐角，不能说明角，角为锐角，所以不能判断该三角形为锐角三角形，所以不正确； 中，因为，即，可得， 由正弦定理可得， 所以，又因为， 所以，而， 所以，即为直角三角形，所以正确． 故选：． 11. 已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（ ） A. 的解析式为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上是减函数 D. 将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的部分图象，求出，得值，写出函数的解析式，由正弦函数的性质逐一分析即可. 【详解】根据函数的部分图象知， ，且，所以； 又， ，解得， ，故正确； 时，，不是最值，故错误； 时， ，单调递减，故正确； 将的图象向左平移个单位长度， 得得图象，故错误； 故选： 12. 已知函数，则（ ） A. 的周期是 B. 的值域是 C. 若在区间上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 D. 若方程在区间上有3个不同的实根，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】用周期定义判断周期，再求一个周期内函数的值域，然后借助函数的单调性判断最值，用对称性找到之间的关系，进而求出的取值范围． 【详解】，所以函数的周期是，故选项正确； 因为函数的周期是，所以只需要看一个周期内函数值的范围， 当时，，，，， 所以的值域是，故选项正确； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，则，故选项正确； 因为， ，，则所以轴和均为的对称轴，则，和，关于轴对称，，和，关于直线对称，结合B选项画出函数在的草图. 所以，，， 所以，故选项错误． 故选：． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13 已知平面向量满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直和模长计算公式即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 故答案为： 14. 若复数（其中为虚数单位），当对应点在第三象限时，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 故答案为： 15. 如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别坐落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为______米（精确到1米）． 【答案】267 【解析】 【分析】假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解； 【详解】设该扇形的半径为米，连接. 由题意，得(米)，（米）， 在中， 即 解得（米). 故答案为：267. 16. 在中，已知的角平分线，则的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的等面积法，可得，的值，进而求出的值． 【详解】因为，，的角平分线， 由等面积可得， 即， 即， ，因为， 所以，， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量． （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可得； （2）由平面向量夹角的坐标表示，根据数量积及平行的坐标运算即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意可得，， 若向量与共线可得， 解得； 【小问2详解】 若向量与的夹角为钝角可得，且； 即可得，解得； 即实数的取值范围为. 18. 已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数相等得出方程组，再换元消参，最后应用三角恒等变换结合三角函数值域求参范围即可. 【详解】因为, 可得, 所以, 可得, 即, 当, 所以. 19. 已知向量满足． （1）求向量与的夹角； （2）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，利用平面向量的夹角公式即可求解； （2）利用投影向量和数量积的运算即可求解． 【小问1详解】 ， ，即， ，， 又，与的夹角为； 【小问2详解】 ， ． 20. 设的内角所对的边分别为，若，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，在中由余弦定理得，利用二倍角公式和两角差的正弦公式即可求解； （2）由（1）求得，和，利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理得为的外接圆半径）， 可得：， 将其代入得，即， 又由题意知，所以， 解得，所以，在中由余弦定理得： ， 所以，所以， 所以， ， 由题意可知，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，由（1）知， 所以． 21. 已知在锐角中，三边的对角分别为，且 （1）求角的值； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角转化和余弦定理即可求解； （2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解即可. 【小问1详解】 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，可得， 将其代入，可得 ， 根据余弦定理得， 由此可得，又为锐角，所以； 【小问2详解】 由（1）正弦定理， ， ， 又因为为锐角三角形，所以， 又， ， ，即， 所以， 又，，即， 故锐角的周长的取值范围为. 22. 已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值； （3）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数最值先求出，结合周期求出，代入特殊点求出，进而可得函数解析式； （2）结合三角函数图像变换求出，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解； （3）结合已知先求出得范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ，， ， 又， ， ， ，又， ， . 【小问2详解】 由题意知：， 的图象向左平移个单位得， 即， 函数与均为其定义域上的单调增函数，且，， 当且仅当取得最大值时，同时取得最小值时， 才能取得函数最小值， 由，得， 又，即， ，又， 的最小值为. 【小问3详解】 满足，解得， ， ，同理， ，， ，， 又函数在上单调递增， 若有， 则， 即只需，即成立即可，又， ，即存在，使成立. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求解，还考查了三角函数图象的变换及利用单调性解不等式. （1）求函数解析式的方法： ①利用最大（小）值确定； ②观察图象或由题意得周期，利用可求得； ③将特殊点代入解析式，结合得范围可求得. （2）利用单调性解不等式的方法： 如不等式，可利用函数单调性来求解. ①把自变量的位置看成一个整体，要确保这个整体属于同一区间 ， 如，， 得， . ②判断函数在这个区间内的单调性，如函数在上单调递增. ③利用单调性得结论.如，即. ④解出不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $