专题3.2 代数式（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.2 代数式（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 （1） 单个数字与字母也是代数式; （2） 代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; （3） 代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 【知识点二】代数式的书写规则 1.代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写; 数与字母相乘时，数应写在字母前面; 数与数相乘时，仍用“”号; 2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 3.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 4.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面; 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面. 【知识点三】列代数式 1. 列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2正确列出代数式，要掌握以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 【知识点四】单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【要点提示】 （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 【要点提示】 （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【要点提示】单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【知识点五】多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 【要点提示】“几个”是指两个或两个以上． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【要点提示】 （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【要点提示】 （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【知识点六】整式 单项式与多项式统称为整式． 【要点提示】 （1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】代数式的概念 【例1】（23-24七年级上·湖南永州·期中）在下列式子中，（1），（2），（3），（4）0，（5），（6），（7），（8），其中代数式的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）请你帮助李飞同学，告诉他：他写的哪个式子不是代数式是（   ） A． B．0 C． D． 【变式2】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 【题型2】代数式的书写规则 【例2】（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期中）下列各式：、、、、，其中符合代数式书写规范的有 个． 【题型3】代数式的实际意义 【例3】（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．则代数式表示的实际意义为？体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费？ 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【变式2】（2024·河南焦作·一模）代数式可表示的实际意义是 ． 【题型4】单项式系数与次数 【例4】（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是3 B．是一次单项式 C．单项式次数是0，系数是0 D．单项式的系数是 【变式2】（23-24七年级·全国·假期作业）（1）单项式的系数是 ，次数是 ； （2）单项式的系数是 ，次数是 ． 【题型5】多项式的项与次数 【例5】（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知多项式是五次四项式． （1）求出的值． （2）单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 【变式2】（2024·江西九江·三模）若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是 ． 【题型6】整式 【例6】（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：｛            …}； 多项式：｛            …} 整式：｛            …}． 【变式1】（23-24六年级下·全国·假期作业）在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 【题型7】规律探索 【例7】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． （1）填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2024·江苏徐州·模拟预测）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第2024个图形中共有 个圆． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 2、拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下面依次排列的两列数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出每组第个数、第个数、第个数分别是什么吗？ (1)，，，，，，，，___________，___________，___________，…； (2)，，，，，，，，___________，___________，___________，…． 【例2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④________；⑤；… （2）若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 代数式（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 （1） 单个数字与字母也是代数式; （2） 代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; （3） 代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 【知识点二】代数式的书写规则 1.代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写; 数与字母相乘时，数应写在字母前面; 数与数相乘时，仍用“”号; 2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 3.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 4.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面; 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面. 【知识点三】列代数式 1. 列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2正确列出代数式，要掌握以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 【知识点四】单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【要点提示】 （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 【要点提示】 （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【要点提示】单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【知识点五】多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 【要点提示】“几个”是指两个或两个以上． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【要点提示】 （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【要点提示】 （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【知识点六】整式 单项式与多项式统称为整式． 【要点提示】 （1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】代数式的概念 【例1】（23-24七年级上·湖南永州·期中）在下列式子中，（1），（2），（3），（4）0，（5），（6），（7），（8），其中代数式的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查的是代数式的判断．根据代数式的定义：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式，逐一判断即可． 解：是代数式； 中含有等号，不是代数式； 中含有不等号，不是代数式； 0是代数式； 中含有等号，不是代数式； 是代数式； 是代数式； 是代数式． 综上：共有5个代数式． 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）请你帮助李飞同学，告诉他：他写的哪个式子不是代数式是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义，代数式是指是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式．代数式中不含有等号，不等号，约等号．据此即可解答． 解：A选项：不是代数式； B选项：0是代数式； C选项：a是代数式； D选项：是代数式． 故选：A 【变式2】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的定义，根据代数式即用运算符号把数或字母连起来的式子，逐项判断即可，熟练掌握代数式的定义是解此题的关键． 解：①是整式，是代数式； ②，是等式，不是整式，不是代数式； ③是整式，是代数式； ④是不等式，不是整式，不是代数式； ⑤是分式，不是整式，是代数式； ⑥是整式，是代数式； 综上所述，代数式有①③⑤⑥， 故答案为：4． 【题型2】代数式的书写规则 【例2】（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 解：（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写规范，一般数字因数要放在字母因数的前面，除法要写成分数的形式，带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写规范进行解答即可． 解：对于选项A，正确的书写为，除法要写成分数形式，不符合题意； 对于选项B，正确的书写为，数字放在字母前面，省略乘号，不符合题意； 对于选项C，书写正确，符合题意； 对于选项D，正确的书写为，带分数要化成假分数，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期中）下列各式：、、、、，其中符合代数式书写规范的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的书写．根据代数式书写规范格式，逐项判断即可求解． 解：符合代数式书写规范的有、，共2个． 故答案为：2 【题型3】代数式的实际意义 【例3】（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．则代数式表示的实际意义为？体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费？ 【答案】表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；元 【分析】根据代数式结合一个足球x元，一个篮球y元得出代数式表示的意义即可；根据体育委员买了2个足球、3个篮球，列出代数式即可． 解：∵体育委员小金带了500元钱去买体育用品，一个足球x元，一个篮球y元， ∴表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费； 体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费为元． 【点拨】本题主要考查了代数式表示的实际意义，列代数式，解题的关键是理解题意． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案． 解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商， 故选D． 【变式2】（2024·河南焦作·一模）代数式可表示的实际意义是 ． 【答案】一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，结合实际生活即可求解． 解：可表示一支笔3元，支笔的钱数, 故答案为：一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一） 【题型4】单项式系数与次数 【例4】（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是3 B．是一次单项式 C．单项式次数是0，系数是0 D．单项式的系数是 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．直接根据单项式的系数和次数的定义进行解答即可． 解：A、单项式的系数是，次数是3，故A选项符合题意； B、是单项式，但次数为0，故B选项不符合题意； C、单项式次数是1，系数是1，故C选项不符合题意； D、单项式的系数是，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级·全国·假期作业）（1）单项式的系数是 ，次数是 ； （2）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 7 1 4 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． （1）根据单项式的概念解答即可； （2）根据单项式的概念解答即可． 解：（1）单项式的数字因数为系数，即系数是，字母的指数和为，即次数是7， 故答案为：，7； （2）单项式的数字因数1为系数，字母的指数和为，即次数是4， 故答案为：1，4． 【题型5】多项式的项与次数 【例5】（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知多项式是五次四项式． （1）求出的值． （2）单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数． （1）先根据多项式的次数得出，即可求出m的值． （2）由（1）可知：，把代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出，进而可求出n的值． 解：（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， ∴． （2）由（1）可知：， ∴单项式为， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， 解得：． 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答． 解：A、多项式的常数项是，二次项的系数是，本选项正确，符合题意； B、单项式的系数和次数分别是，6，本选项错误，不符合题意； C、是单项式，本选项错误，不符合题意； D、把按的降幂排列为，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（2024·江西九江·三模）若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式的系数，根据题意直接列式，即可求解． 解：由题意得：， 解得：， 故答案为：6． 【题型6】整式 【例6】（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：｛            …}； 多项式：｛            …} 整式：｛            …}． 【答案】单项式：；多项式：；整式： 【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【点拨】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义． 【变式1】（23-24六年级下·全国·假期作业）在中，不是整式的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据单项式和多项式统称整式，判断即可． 本题考查了整式，熟练掌握定义是解题的关键． 解：中，不是整式的是有2个， 故选C． 【变式2】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 【答案】 ， ， ，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 解：，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． 【题型7】规律探索 【例7】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． （1）填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【答案】(1）见解析 (2)①，；②块 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题和用代数式表示规律，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律． （1）直接根据图像中各方块数量填表即可解题； （2）①根据图1、2、3正方形个数与正三角形个数寻找规律，即可解题； ②根据①中规律直接解题即可． 解：（1）解：由图可得： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 11 10 图3 3 16 14 （2）解：①由图可知： 图中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图2中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图3中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 在图n中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 故答案为，； ②由①可得： 在图10中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 在图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为块． 【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的应用，数字规律探索，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式．由题意可知的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的．则，即可得出答案． 解：∵，，，，，，，， ∴的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的． ∴， 故的末位数字是2， 故选：A． 【变式2】（2024·江苏徐州·模拟预测）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第2024个图形中共有 个圆． 【答案】8093 【分析】本题主要考查图形的变换规律，从简单图形入手，发现规律成为解题的关键． 不难看出后一个图形比前一个图形增加了4个圆，据此即可得出第n个图形中圆的个数，从而可求第2024个图形中圆的个数即可． 解：第1个图形中圆的个数为：1， 第2个图形中圆的个数为：， 第3个图形中圆的个数为：， 第4个图形中圆的个数为：13=1+4+4+4=1+4×3， ∴第n个图形中圆的个数为：， ∴第2024个图形中圆的个数为：（个）． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 解：由题意可得：， 故答案为：； 2、拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下面依次排列的两列数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出每组第个数、第个数、第个数分别是什么吗？ (1)，，，，，，，，___________，___________，___________，…； (2)，，，，，，，，___________，___________，___________，…． 【答案】(1)，，，第个数为，第个数为，第个数为 (2)，，，第个数为，第个数为，第个数为 【分析】本题考查了数字的规律探究．通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解题的关键． （1）由数列可推导一般性规律为：当n能被3整除时，第n个数为；当n不能被3整除时，第n个数为（n为正整数）；然后求解作答即可； （2）由数列可推导一般性规律为：当n能被2整除时，第n个数为；当n不能被2整除时，第n个数为（n为正整数）；然后求解作答即可． 解：（1）解：由题意知，后面的3个数依次为，，． 由数列可推导一般性规律为：当n能被3整除时，第n个数为；当n不能被3整除时，第n个数为（n为正整数）； ∵，，， ∴第个数为，第个数为，第个数为． （2）解：由题意知，后面的3个数依次为，，． 由数列可推导一般性规律为：当n能被2整除时，第n个数为；当n不能被2整除时，第n个数为（n为正整数）； ∵，，， ∴第个数为，第个数为，第个数为． 【例2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④________；⑤；… （2）若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算： 【答案】(1) (2) (3)2100 【分析】本题考查了图形类和数字类规律探究，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空； （2）结合（1）即可得第n个等式； （3）结合（2）的规律进行计算即可． 解：（1）解：根据题意得：④， 故答案为：； （2）解：∵； ； ； ； ；… ∴ 故答案为：； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$