4.3.2对数的运算法则(2)课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2课时　对数的运算法则(2) 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点一　常用对数与自然对数 (1)常用对数：以10为底的对数，叫作常用对数，并且把log10N记为lg N. (2)自然对数：以e(e＝2.718 28…)为底的对数，叫作自然对数，并且把logeN 记为ln N . 要点二　对数换底公式 logab＝ (a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0). 特别地：logab·logba＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1). 1 状元随笔　对数换底公式常见的两种变形 (1)logab·logba ＝1，即 ＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 . ＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍． 1. 计算：log927＝(　　) A．2 B．4 C．3 D． 答案：D 解析：log927＝＝＝，故选D. 2．log63·log9 6＝(　　) A． B．3 C．2 D． 答案：D 解析：log63·log96＝log63·＝log63·＝，故选D. 3．若lg 5＝a，lg 7＝b，则用a，b表示log75等于(　　) A．a＋b B．a－b C． D． 答案：D 解析：log75＝＝，故选D. 4．计算：log59·log8125＝________． 1 解析：根据换底公式，原式等价于×＝×＝1. 题型探究 课堂解透 题型1　利用换底公式直接求值 例1　计算下列各式的值． (1)(log43＋log83)log32； (2). 方法归纳 (1)利用对数的换底公式可以将不同底对数的问题化为同底对数的问题． (2)换底时要注意与题中条件结合，所取的底数要便于计算． (3)要注意公式的逆用，如 ＝log93 ＝. 跟踪训练1　求值： (1) (2)(log23＋log43) (log32＋log274) 解析：(1)原式＝log64＋log69＝log636＝2. (2)原式＝(log23＋log23)×() ＝log23×log32＝log23×log32＝. 题型2　利用换底公式条件求值 例2　设3x＝4y＝36，求＋的值． 解析：∵3x＝4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436， 利用换底公式可得， ＝＝＝log363， ＝＝＝log364， ＋＝2log363＋log364＝log36()＝log3636＝1. 方法归纳 与对数有关的条件求值，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化． 跟踪训练2　已知2x＝3y＝a，＋＝2，则a的值为(　　) A．36 B．6 C．2 D． 答案：D 解析： 由2x＝3y＝a，得x＝log2a，y＝log3a， 所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2. ∴a2＝6，解得a＝±，又a>0，∴a＝. 题型3　对数运算在实际问题中的应用 例3　一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价值降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)? 解析：设经过x年，这台机器的价值为8万元，则 8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4， 两边取以10为底的对数， 得x＝＝＝≈10. 所以约经过10年这台机器的价值为8万元． 方法归纳 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． 跟踪训练3　中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝W ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(　　) 附：lg 2≈0.3010 A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 答案：B 1．计算log225·log52＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：A 课堂十分钟 解析：log225·log52＝log252·log5＝2××log25×log52＝3. 2．已知log212＝m，，则log312＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为log212＝m，所以＝＝＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，所以log312＝＝＝＝，故选B. 3．若2a＝10，b＝log510，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：∵2a＝10，∴a＝log210， 又b＝log510， ∴＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.故选A. 答案：A 4．log35log46log57log68log79＝________． 3 解析：log35log46log57log68log79＝. = ＝＝3 5．设α，β是方程lg2x－lg x－3＝0的两根，求logα β＋logβ α的值． 解析：由题意lg α，lg β是关于lg x的一元二次方程lg2x－lg x－3＝0的两根，根据韦达定理lg α＋lg β＝1，lg α·lg β＝－3， 所以logα β＋logβ α＝ －. 解析：(1)原式＝log32＝log32＝＋＝. (2)原式＝×＝log×＝log32 ×log29＝log32×3log23＝－. 解析：将信噪比从1 000提升至5 000时， C增加比率为 ＝ ≈ ＝≈0.23＝23%. ＋＝＝ $$