4.3.1 对数的概念 4.3.2 对数的运算法则-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕对数函数展开，涵盖对数的概念、常用与自然对数、运算法则、换底公式及推论，通过指数式与对数式互化引入，结合知识辨析搭建学习支架，帮助学生建立从概念到应用的知识脉络。 其亮点在于以知识辨析（如对数有意义的条件）培养数学眼光，典例多解法（如换底公式推导）发展数学思维，总结化简技巧（如“收”“拆”方法）强化数学语言表达。学生能提升逻辑推理和运算能力，教师可借助典例解析优化教学效率。

4.3　对数函数 4.3.2　对数的运算法则 知识点 1 对数的概念 必备知识 清单破 4.3.1　对数的概念 1.对数的概念 　　如果ab=N(a>0且a≠1),那么b叫作以a为底,(正)数N的对数,记作b=logaN.这里,a叫作对数 的底数,N叫作对数的真数. 2.常用对数与自然对数 　　通常,我们将以10为底的对数叫作常用对数,并把log10N记为lg N.以e(e=2.718 28…)为底 的对数叫作自然对数,并把logeN记为ln N. 第1讲　描述运动的基本概念 3.对数的基本恒等式 (1) =N(N>0,a>0且a≠1); (2)b=logaab(b∈R,a>0且a≠1). 　　特别地,logaa=logaa1=1,loga1=logaa0=0.即底的对数为1,1的对数为0. 第1讲　描述运动的基本概念 (1)loga(M·N)=logaM+logaN; (2)logaMn=nlogaM(n∈R); (3)loga =logaM-logaN. (其中a>0,且a≠1,M>0,N>0) 知识点 2 对数的运算法则 第1讲　描述运动的基本概念 1.公式:logbN= .最常用的对数换底公式是logaN= ,logaN= . 2.换底公式的重要推论 ①lo Nn= logaN(a>0,且a≠1,N>0,m≠0); ②logab= (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1); ③logab·logbc·logcd=logad(a,b,c>0,且a,b,c≠1,d>0). 知识点 3 换底公式 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围是什么? 2.指数式ax=N是否都能化为对数式? 3.在loga(MN)=logaM+logaN(a>0,且a≠1)中,公式成立的条件是什么? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.由 得0<a< . 2.不是.需满足a>0且a≠1,N>0,否则不能转化.如:(-2)2=4不能化为2=log(-2)4. 3.M>0,N>0. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 对数式化简的常用方法和技巧 关键能力 定点破 (1)同底数的对数式化简的常用方法: ①“收”,即逆用对数的运算法则,将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数 式转化为一个对数式; ②“拆”,即正用对数的运算法则,将一个对数式“拆”成多个对数的和或差. (2)常用对数的化简要充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. (3)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简. (4)当真数是形如“ ± ”的式子时,常用方法是“平方”或“取倒数”. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)计算: - ×(log34)×(log827)+2lo  -log62; (2)计算:log279+2lg 5+lg 4- ; (3)计算:log535-2log5 +log57-log51.8; (4)计算: - ×log2 +2lg( + ); (5)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原式= -2× × -log63-log62=2-2× × -(log63+log62)=2-2×2-log66= 2-4-1=-3. (2)log279+2lg 5+lg 4- =lo 32+2(lg 5+lg 2)- = +2- =2. (3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2. (4)原式= -3×log22-3+lg( + )2=32-3×(-3)+lg(3+ +3- +2 )=9+9+lg(6+4) =18+1=19. (5)解法一:∵18b=5,∴b=log185, 于是log3645= = = = = . 解法二:∵18b=5,∴b=log185, 第1讲　描述运动的基本概念 于是log3645=  = = . 解法三:∵log189=a,18b=5, ∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18, ∴log3645= = =  = = . 第1讲　描述运动的基本概念 1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义和运算法则,尤其要注意条件和结论 之间的关系. 2.解决对数应用问题时,首先要理解题意,弄清关键词及字母的含义,然后恰当设未知数,建立 数学模型,最后转化为对数问题求解. 定点 2 对数运算法则的综合应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz, + + =0,求abc的值. 思路点拨    设ax=by=cz=t,则x=logat,y=logbt,z=logct,代入 + + =0并用对数的运算法则可求得 abc的值,也可以用换底公式进行计算. 解析    解法一:设ax=by=cz=t,则t>0,且t≠1, ∴x=logat,y=logbt,z=logct, ∴ + + = + +  =logta+logtb+logtc=logt(abc)=0, ∴abc=1. 解法二:设ax=by=cz=t,则t>0,且t≠1, ∴x= ,y= ,z= , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ + + = + +  = . ∵ + + =0, ∴lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0, ∴abc=1. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知m= - ,n= + ,求 的值. 解析    令log6m=p,则m=6p, 由m= - ,得6p=4p-9p,等号两边同除以6p,得1= - = - , 整理得 - -1=0, 令log4n=q,则n=4q, 由n= + 得4q=9q+6q,等号两边同除以6q,得 = +1= +1, 整理得 - -1=0, 所以 和 是方程x2-x-1=0的两个根, 由x2-x-1=0,解得x= = , 第1讲　描述运动的基本概念 又 , 均大于0,且函数y= 单调递减, 所以 = = ,所以p=q, 所以 = = = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 $