吉林省长春市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

吉林省长春市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 一．选择题（共12小题） 1．（2024•南关区二模）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为2160°，那么这个多边形的边数为（　　） A．14 B．13 C．15 D．16 2．（2024•南关区二模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则CE的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 3．（2024•长春二模）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（　　） A．等角的补角相等 B．同角的余角相等 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 4．（2024•长春二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列三个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（　　） A．只有① B．只有①② C．只有①③ D．①②③ 5．（2024•长春二模）已知△ABC．AC＞BC＞AB，∠C＝45°，用尺规在边AC上求作一点P．使∠PBC＝45°，图3是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确 C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确 6．（2024•朝阳区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连结PC．若PE：PF＝1：3，则PC的值为（　　） A． B． C．4 D．3 7．（2024•长春二模）如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点，对于下列结论，其中不会随点P的移动而变化的是（　　） ①线段AB的长 ②△PAB的周长 ③△PAB的面积 ④∠APB的度数 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．（2024•长春二模）“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图①，∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图②，第一步：在OA上取一点D，以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；第二步：以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点G；第三步：作射线CG．则∠GCA就是所求作的角．此作图的依据中不含有（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．两点确定一条直线 D．两直线平行，同位角相等 9．（2024•南关区二模）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（　　） A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF 10．（2024•长春二模）小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 二．填空题（共14小题） 11．（2024•朝阳区二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1＝∠2＝83°，这种验证方法依据的基本事实是 　 　． 12．（2024•朝阳区二模）如图，物理实验课上，老师将平行于凸透镜主光轴的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM、DN交于点O，与主光轴分别交于点F1、F2，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若∠ABM＝167°，∠CDN＝158°，则∠F1OF2的大小为 　 　°． 13．（2024•朝阳区二模）如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π） 14．（2024•绿园区二模）如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连结MN，给出下面四个结论：①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠AEB＝90°；④△ACM≌△DCN．上述结论中，一定正确的是 　 　（填所有正确结论的序号）． 15．（2024•长春二模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角∠BAC＝15°，那么这个正多边形的中心角是 　 　度． 16．（2024•南关区二模）如图，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形ABGH，连结AC，AG，则∠CAG的大小为 　 　度． 17．（2024•朝阳区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　． 18．（2024•长春二模）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若构成某莱洛三角形的等边三角形的边长为30cm，则该莱洛三角形的周长是 　 　cm． 19．（2024•长春二模）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，它的两边分别交CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H，连结BH，则下列结论：①BM+DN＝MN；②△ABM≌△ADN；③∠BAM＝∠BHM；④当BM＝DN时，，其中结论一定正确的序号是 　 　． 20．（2024•长春二模）两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则A点的坐标为 　 　． 三．解答题（共26小题） 21．（2024•朝阳区二模）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，点M在边AB上，且AM＝10，过点M作MH⊥AB，交AC于点H，MH＝5．动点P从点M出发，沿折线MB﹣BC向终点C运动．作∠PMQ＝90°，MQ交边AC于点Q，连结PQ． （1）线段BC的长为 　 　． （2）如图②，当点P在边BC上运动时，△PMQ的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由． （3）当PQ与△ABC的一边平行时，求线段PQ的长． （4）当点P在边BC上运动时，作点M关于直线PQ的对称点N，连结PN、QN．当△ABC的边将四边形MPNQ的面积分为1：9两部分时，直接写出线段PB的长． 22．（2024•朝阳区二模）图①、图②均是9×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，按要求完成下列问题． （1）线段AB的长为 　 　． （2）只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． ①在图①中，作△ABC的角平分线BD． ②在图②中，作△ABC内切圆与AB的切点P． 23．（2024•朝阳区二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，BF⊥CD于点F，DE⊥BC于点E，且BF＝DE，分别延长AD和BF交于点G． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若∠A＝45°，则的值为 　 　． 24．（2024•朝阳区二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，⊙O的半径为2，点A是⊙O外的一个定点，OA＝4．点P在⊙O上，作点P关于点A的对称点Q，连结PA、AQ．当点P在⊙O上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图②，延长OA至点M，使AM＝OA，连结OP、MQ，通过证明△OAP≌△MAQ，可推出点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长OA至点M，使AM＝OA，连结OP、MQ． 1°当点P在直线OA外时， 证明过程缺失 2°当点P在直线OA上时， 易知OP＝MQ＝2． 综上，点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形ABCD中，点E、F分别为边AB、CD的中点，连结EF，点O是EF中点，点M是线段OF上的任意一点，AB＝4，BC＝8．点P是平面内一点，AP＝2，连结AP．作点P关于点M的对称点Q，连结PM、MQ． （1）当点M是线段OF中点时，点Q的运动路径长为 　 　． （2）当点M在线段OF上运动时，连结EQ．设线段EQ长度的最大值为a，最小值为b，则a+b＝　 　． 25．（2024•长春二模）如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC、AD的中点． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若△AEC的周长为18，AF＝5，则菱形AECF的面积为 　 　． 26．（2024•长春二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知⊙O半径是3，点A是⊙O上的一个动点，点P是平面内一点，OP＝8，求证：线段PA的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将PO延长交⊙O于点A，并猜想此时PA最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合），连结PB、OB， 证明过程缺失 则PA＞PB， 则此时，PA最大，最大值为8+3＝11． 【问题延申】如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边AC上的一个动点，连结DB，过点A作AF⊥BD于点F，连结CF，则线段CF的最小值是 　 　． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC＝80米，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊CF最短为 　 　米．（结果保留根号） 27．（2024•长春二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．请仅用无刻度的直尺按下列要求画出图形，并保留作图痕迹． （1）在图①中找格点C，使得tan∠CBA＝1； （2）在图②中，画一个以AB为直角边的直角三角形ABD，使△ABD的面积为； （3）在图③中找点E，作∠EBA使得． 28．（2024•南关区二模）如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG． （1）求证：四边形OGEF为矩形． （2）求GF的最小值． 29．（2024•南关区二模）如图是由小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，O，B都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，在射线OA上画点C，使∠CBO＝∠AOB； （2）在图（2）中，在射线OA上画点D，使∠ABD＝∠AOB； （3）在图（3）中，画∠AOB的平分线OE． 30．（2024•朝阳区二模）【感知】如图①，△BDC内接于半径为R的⊙O，点A是⊙O上动点，且点A、D位于BC两侧，则弦AD的最大值为 　 　；（用含R的代数式表示） 【探究】如图②，△BDC内接于⊙O，点A是⊙O上动点，且点A、D位于BC两侧．若⊙O的半径为6．∠BDC＝120°，求点A到BC距离的最大值．下面是小明的部分求解过程： 解：连结OB、OC，过点A作AH⊥BC于点H． 过点O作OH′⊥BC于点H′，并反向延长，交⊙O于点A'，连结OA． 证明过程缺失 ∵AH≤OA+OH′＝OA′+OH′＝6+3＝9， ∴点A到BC距离的最大值为9． 请你补全解答过程． 【拓展】如图③，现计划建一个四边形空地ABCD，按规划要求：AB＝80m，BC＝60m，∠ABC＝90°，∠ADC＝135°，调整点D的位置，使四边形ABCD的面积最大，则这个最大面积为 　 　m2． 31．（2024•朝阳区二模）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格、每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，点M在格点上，画出点M关于直线BD的对称点N； （2）在图②中，点E、F在格点上，在线段BD上确定一点O，连结OE、OF，使∠BOE＝∠DOF； （3）在图③中，点P在BC上且不是格点，在线段CD上确定一点Q，使BP＝DQ． 32．（2024•长春二模）将两张长为4cm，宽为1cm的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）在纸条转动的过程中，菱形ABCD面积的最大值为 　 　cm2（两张纸条不完全重合）． 33．（2024•长春二模）【模型提出】如图①，已知线段AB的长度为4，在线段AB所在直线外有一点C，且∠ACB＝45°，想确定满足条件的点C的位置，可以以AB为底边构造一个等腰直角三角形AOB，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，则点C在⊙O的优弧ACB上．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边BC、CD上的动点，BE＝CF，连结AE、BF，AE与BF交于点G． （1）求证：AE⊥BF； （2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为 　 　； （3）若点I是△ABG的内心，连结CI，则线段CI的最小值为 　 　． 34．（2024•长春二模）如图，△ABC为等边三角形，，AD⊥BC于点D．点P在线段AD上运动，当点P不与点A、D重合时，过点P作AB的垂线交折线AC﹣CB于点E，交边AB于点F，以EF、FB为边作矩形EFBH．设线段AP的长为2x． （1）线段AD的长为 　 　； （2）当点E在线段CD上时，用含x的代数式表示线段DE的长，并直接写出x的取值范围； （3）作点E关于直线AD的对称点E'，作直线HE'． ①当点E在边AC上时，若HE′∥AD，求线段HE'的长； ②当直线HE'将矩形EFBH分成两部分图形的面积比为1：3时，直接写出x的值． 35．（2024•绿园区二模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图①中画出一个△ABD，使S△ABD＝S△ABC，D为格点（点D不在点C处）； （2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使AE⊥BC； （3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等． 36．（2024•绿园区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AC﹣CB向终点B匀速运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PD⊥AB于点D，以PD、DB为邻边作矩形PDBF、设点P运动的时间是t（秒）． （1）线段AB的长为 　 　； （2）当矩形PDBF恰好是正方形时，求t的值； （3）当DF⊥BC时，求t的值； （4）延长PD到点Q，使DQ＝2，连结FQ．当直线QF分矩形PDBF的面积为1：5两部分时，直接写出t的值． 37．（2024•绿园区二模）【感知】如图①，在正方形ABCD中，E、F分别在边AB、BC上，CE⊥DP于点O．猜想线段CE与DF的数量关系为 　 　； 【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究： （1）如图②，在正方形ABCD中，若点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，EG⊥FH于点O，求证：EG＝FH； （2）如图③，将（1）中的条件“在正方形ABCD中”改为“在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a”，其他条件不变，则线段EG与FH的数量关系是 　 　； （3）如图④，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°•∠BCD＝60°，AB＝BC＝CD＝6，点M在AB上，且BM＝2，连结CM，过点D作DN⊥CM交CM于点O，交BC于点N，直接写出线段DN的长． 38．（2024•长春二模）如图①，在▱ABCD中，∠A＝135°，AB＝6，▱ABCD的面积为12，点E在边AB上，且AE＝2，动点P从点E出发，沿折线EA﹣AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止．将射线EP绕点E逆时针方向旋转45°得到射线EQ，点Q在折线段B﹣C﹣D上，连结PQ．设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）． （1）AD的长为 　 　； （2）当EQ将▱ABCD的面积分为1：2时，求t的取值范围； （3）如图②，当点Q在边BC上时，求PE：EQ的值； （4）如图③，作点Q关于PE的对称点Q′，在点P从点E出发运动到点C的过程中，点Q′经过的路径长为 　 　． 39．（2024•长春二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝40°，以边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E．求的长． 40．（2024•长春二模）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的线段AC上找一点M，连结BM，使∠BMA＝∠BMC； （2）在图②中的线段AB、BC上分别找一点P、Q（点P、Q不在格点上），连结QA、PC，使QA＝PC； （3）在图③中，点D在边AB上，且∠ACD＝22.5°，在线段CD上找一点N，连结AN，使∠CAN＝∠BAN． 吉林省长春市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．（2024•南关区二模）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为2160°，那么这个多边形的边数为（　　） A．14 B．13 C．15 D．16 【解答】解：设这个正多边形的边数是n， 则（n﹣2）•180°＝2160°， 解得：n＝14． 则这个正多边形的边数是14． 故选：A． 2．（2024•南关区二模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则CE的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【解答】解：由作法得MN垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵AB＝AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝3， 在Rt△ABD中，AD4， 设ED＝x，则EA＝EC＝4﹣x， 在Rt△ECD中，x2+32＝（4﹣x）2， 解得x， ∴CE＝4﹣x＝4， 故选：D． 3．（2024•长春二模）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（　　） A．等角的补角相等 B．同角的余角相等 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等． 故选：D． 4．（2024•长春二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列三个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（　　） A．只有① B．只有①② C．只有①③ D．①②③ 【解答】解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB＝30°， ∴∠ADC＝60°，故②正确； ∵∠B＝30°，∠DAB＝30°， ∴AD＝DB， ∵∠CAD＝30°，∠C＝90°， ∴， ∵AD＝DB， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确 故选：D． 5．（2024•长春二模）已知△ABC．AC＞BC＞AB，∠C＝45°，用尺规在边AC上求作一点P．使∠PBC＝45°，图3是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确 C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确 【解答】解：对于甲同学的作图： 由作图痕迹得BP⊥AC， ∴∠BPC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴∠PBC＝45°， ∴甲同学的作图正确； 对于乙同学的作图： 由作图痕迹得BP平分∠ABC， ∴∠BPC∠ABC， ∵AC＞BC＞AB，∠C＝45°， ∴∠A＞45°， ∴∠ABC＜90°， ∴∠PBC≠45°， ∴乙同学的作图不正确． 故选：C． 6．（2024•朝阳区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连结PC．若PE：PF＝1：3，则PC的值为（　　） A． B． C．4 D．3 【解答】解：连结AP， ∵PF⊥AD，PE⊥AB， ∴∠PFA＝∠PEB＝∠PEA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAF＝90°，∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝45°，AB＝AD＝DC＝4， ∴∠PFA＝∠PEA＝∠EAF＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴PF＝AE， ∵∠PEB＝90°，∠ABD＝45°， ∴△PEB是等腰直角三角形， ∴PE＝BE， ∵PE：PF＝1：3， ∴BE：AE＝1：3， ∵AB＝4， ∴BE＝1，AE＝3， ∴PE＝1， 在Rt△AEP中，根据勾股定理得， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PC＝AP， 故选：B． 7．（2024•长春二模）如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点，对于下列结论，其中不会随点P的移动而变化的是（　　） ①线段AB的长 ②△PAB的周长 ③△PAB的面积 ④∠APB的度数 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：∵点A、B为定点， ∴线段AB的长为定值； ∵直线l∥AB， ∴直线l到线段AB的距离为定值， ∴△PAB的面积为定值． ∴不会随点P的移动而变化的是①③． 故选：A． 8．（2024•长春二模）“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图①，∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图②，第一步：在OA上取一点D，以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；第二步：以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点G；第三步：作射线CG．则∠GCA就是所求作的角．此作图的依据中不含有（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．两点确定一条直线 D．两直线平行，同位角相等 【解答】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确； 结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确； 作射线CG，利用两点确定一条直线，故C正确； 故选：D． 9．（2024•南关区二模）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（　　） A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF 【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形； 而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形； 故选：A． 10．（2024•长春二模）小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【解答】解：设AB与DF交于点O， 由题意得，∠F＝45°，∠A＝60°， ∵AB∥EF， ∴∠AOF＝∠F＝45°， ∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠AOF＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 故选：C． 二．填空题（共14小题） 11．（2024•朝阳区二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1＝∠2＝83°，这种验证方法依据的基本事实是 　 　． 【解答】解：∵∠1＝∠2＝83°， ∴斑马线互相平行． （同位角相等，两直线平行） 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12．（2024•朝阳区二模）如图，物理实验课上，老师将平行于凸透镜主光轴的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM、DN交于点O，与主光轴分别交于点F1、F2，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若∠ABM＝167°，∠CDN＝158°，则∠F1OF2的大小为 　 　°． 【解答】解：如图： ∵AB∥F1F2， ∴∠OF1F2＝180°﹣∠ABO＝13°， ∵CD∥F1E， ∴∠DF2E＝180°﹣∠CDF2＝22°， ∴∠OF2F1＝∠DF2E＝22°， ∴∠F1OF2＝180°﹣∠OF1F2﹣∠OF2F1＝145°， 故答案为：145． 13．（2024•朝阳区二模）如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π） 【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，六边形GHIJKL是正六边形， ∴∠AHG135°，∠IHG120°， ∴∠AHI＝360°﹣135°﹣120°＝105°， ∴S阴影部分． 故答案为：． 14．（2024•绿园区二模）如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连结MN，给出下面四个结论：①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠AEB＝90°；④△ACM≌△DCN．上述结论中，一定正确的是 　 　（填所有正确结论的序号）． 【解答】解：∵△DAC、△ECB都是等边三角形， ∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴∠CAM＝∠MDP， ∵∠PMD＝∠CMA， ∴∠DPM＝∠ACM＝60°， 故②符合题意； ∵∠CAM＝∠CDN，AC＝CD，∠ACM＝∠DCN， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， 故④符合题意； ∵△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM＝CN， ∵∠MCN＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△MNC是等边三角形， ∴∠CMN＝60°， ∴∠CMN＝∠ACD， ∴MN∥AB， 故①符合题意； ∵C在AB上的位置在变化， ∴∠AEB在变化，∠AEB不一定是90°， 故③不符合题意． ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 15．（2024•长春二模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角∠BAC＝15°，那么这个正多边形的中心角是 　 　度． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝BC， ∴∠B＝180°﹣15°﹣15°＝150°， 即正多边形的一个内角为150°， ∴与∠B相邻的外角为180°﹣150°＝30°， ∴这个正多边形的边数为12， 即这个正多边形为正十二边形， ∴正十二边形的中心角为． 故答案为：30． 16．（2024•南关区二模）如图，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形ABGH，连结AC，AG，则∠CAG的大小为 　 　度． 【解答】解：∵四边形ABGH是正方形， ∴∠GAB＝45°， 在正六边形ABCDEF中∠ABC120°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣120°）＝30°， ∴∠CAG＝∠GAB+BAC＝45°+30°＝75°． 故答案为：75． 17．（2024•朝阳区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠DBC＝45°， ∵AB＝4， ∴BC＝4，BD＝4， ∴阴影部分的面积：S＝S扇形BDE4π， 故答案为：4π． 18．（2024•长春二模）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若构成某莱洛三角形的等边三角形的边长为30cm，则该莱洛三角形的周长是 　 　cm． 【解答】解：如图，△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝30cm，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴的长的长的长10π（cm）， ∴这个“莱洛三角形”的周长是30πcm． 故答案为：30π． 19．（2024•长春二模）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，它的两边分别交CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H，连结BH，则下列结论：①BM+DN＝MN；②△ABM≌△ADN；③∠BAM＝∠BHM；④当BM＝DN时，，其中结论一定正确的序号是 　 　． 【解答】解：①延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠ABE＝∠D＝90°， 在△AEB和△AND中， ， ∴．△AEB≌△AND（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠DAN+∠BAM＝45°， ∴∠EAB+∠BAM＝45°， 即∠EAM＝∠MAN＝45°， 在△AEM和△ANM中， ， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴EM＝MN， ∴EM＝BM+BE＝BM+DN＝MN， 故结论①正确； ②∵∠MAN＝45°， ∴BM＝DN不一定成立， ∴△ABM≌△ADN不一定成立， 故结论②不正确； ③∵△AEM≌△ANM， ∴∠AMB＝∠AMH， ∵AH⊥MN，∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝∠AHM＝90°， 在△ABM和△AHM中， ， ∴△ABM≌△AHM（AAS）， ∴AB＝AH，MB＝MH，∠BAM＝∠HAM， ∴AM是BH的垂直平分线， ∴AM⊥BH， ∴∠HAM+∠AMH＝90°， 又∵∠BHM+∠AMH＝90°， ∴∠HAM＝∠BHM， ∴∠BAM＝∠BHM， 故结论③正确； ④当BM＝DN时， ∵BC＝CD ∴CM＝CN， 在Rt△CMN中，由勾股定理得：MNCN， 由①可知：MN＝BM+DN＝2DN， ∴2DNCN， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 20．（2024•长春二模）两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则A点的坐标为 　 　． 【解答】解：如图示标注点B、C、D， ∵正六边形每个内角为120°， ∴∠ACB＝360°﹣2×120°＝120°， ∴△ABC是顶角为120°的等腰直角三角形， ∴AB＝BC4， 在Rt△BCD中，∠DBC＝30°， ∴CD2， 点D到x轴的距离为2+4+2＝8， ∴A（4，8．）． 故答案为：A（4，8．）． 三．解答题（共26小题） 21．（2024•朝阳区二模）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，点M在边AB上，且AM＝10，过点M作MH⊥AB，交AC于点H，MH＝5．动点P从点M出发，沿折线MB﹣BC向终点C运动．作∠PMQ＝90°，MQ交边AC于点Q，连结PQ． （1）线段BC的长为 　 　． （2）如图②，当点P在边BC上运动时，△PMQ的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由． （3）当PQ与△ABC的一边平行时，求线段PQ的长． （4）当点P在边BC上运动时，作点M关于直线PQ的对称点N，连结PN、QN．当△ABC的边将四边形MPNQ的面积分为1：9两部分时，直接写出线段PB的长． 【解答】（1）解：∵MH⊥AB， ∴∠AMH＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴， 设BC＝x，则AC＝2x， 根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2， 即（2x）2+x2＝152， 解得， ∴，， 故答案为：3； （2）证明：∵AM＝10，AB＝15， ∴BM＝15﹣10＝5， ∴MH＝BM＝5， ∵∠A+∠B＝∠A+∠AHM＝90°， ∴∠B＝∠AHM， ∵MP⊥MQ， ∴∠PMQ＝90°， ∴∠HMQ+∠HMP＝∠HMP+∠PMB＝90°， ∴∠HMQ＝∠PMB， ∴△MHQ≌△MBP， ∴MP＝MQ， ∴△PMQ为等腰直角三角形； （3）解：当点P在BM上，PQ∥BC时，如图所示， ∵AM＝10，MH＝5， ∴， ∴， ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， 即， 解得； 当点P在BC上，PQ∥AB时，如图所示， ∵PQ∥AB，MH⊥AB， ∴MH⊥PQ， ∵△PMQ为等腰直角三角形，∠PMQ＝90°， ∴， ∵PQ∥AB， ∴△HQK∽△HAM， ∴， 即， ∴， ∴， 解得， 综上，； （4）解：根据（2）可知△PMQ为等腰直角三角形，∠PMQ＝90°，MP＝MQ， ∵M与N关于直线PQ对称， ∴NQ＝MQ，NP＝MP， ∴MQ＝NQ＝NP＝MP， ∴四边形MPNQ为菱形， ∵∠PMQ＝90°， ∴四边形MPNQ为正方形， ∴S△MPQ＝S△NPQ， 根据（2）可知△MQH≌△MPB， ∴PB＝QH， 当BC将四边形MPNQ的面积分为1：9两部分时，如图所示， ∵S△MPQ＝S△NPQ，S△PNE：S四边形PMQE＝1：9， ∴S△PNE：S△PQE＝1：4， ∴， ∵QN＝PN， ∴， ∵∠ACB＝∠PNQ＝90°，∠CEQ＝∠NEP， ∴△CEQ∽△NEP， ∴， 设CE＝x，则CQ＝5x， 根据（3）可知， ∴， 在Rt△CEQ中，根据勾股定理得， ∴， ∴， 在Rt△PEN中，根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当AC将四边形MPNQ的面积分为1：9两部分时，如图所示， ∵S△MPQ＝S△NPQ，S△QNE：S四边形PMQE＝1：9， ∴S△QNE：S△PQE＝1：4， ∴， ∵QN＝PN， ∴， ∵∠ACB＝∠PNQ＝90°，∠CEP＝∠NEQ， ∴△CEP∽△NEQ， ∴， 设CE＝x，则CP＝5x， 在Rt△CEP中，根据勾股定理得， ∴， ∴， 在Rt△QEN中，根据勾股定理得， ∴， 根据（3）可知， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，PB的长为． 22．（2024•朝阳区二模）图①、图②均是9×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，按要求完成下列问题． （1）线段AB的长为 　 　． （2）只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． ①在图①中，作△ABC的角平分线BD． ②在图②中，作△ABC内切圆与AB的切点P． 【解答】解：（1）AB． 故答案为：5； （2）①如图1中，线段BD即为所求； ②如图2中，点P即为所求． 23．（2024•朝阳区二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，BF⊥CD于点F，DE⊥BC于点E，且BF＝DE，分别延长AD和BF交于点G． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若∠A＝45°，则的值为 　 　． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BF⊥CD，DE⊥BC， ∴S平行四边形ABCD＝BC•DE＝CD•BF， 又∵BF＝DE， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝45°， ∴AB＝AD＝BC，∠C＝∠A＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠G＝∠CBG， ∵BF⊥CD，AB∥CD， ∴BF⊥AB，∠BFC＝90°， ∴△BFC、△ABG都是等腰直角三角形， ∴BF＝CF，AGAB， 设BF＝CF＝a，则AB＝AD＝BCBFa， ∴AGAB＝2a， ∴DG＝AG﹣AD＝（2）a， ∴1， 故答案为：1． 24．（2024•朝阳区二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，⊙O的半径为2，点A是⊙O外的一个定点，OA＝4．点P在⊙O上，作点P关于点A的对称点Q，连结PA、AQ．当点P在⊙O上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图②，延长OA至点M，使AM＝OA，连结OP、MQ，通过证明△OAP≌△MAQ，可推出点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长OA至点M，使AM＝OA，连结OP、MQ． 1°当点P在直线OA外时， 证明过程缺失 2°当点P在直线OA上时， 易知OP＝MQ＝2． 综上，点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形ABCD中，点E、F分别为边AB、CD的中点，连结EF，点O是EF中点，点M是线段OF上的任意一点，AB＝4，BC＝8．点P是平面内一点，AP＝2，连结AP．作点P关于点M的对称点Q，连结PM、MQ． （1）当点M是线段OF中点时，点Q的运动路径长为 　 　． （2）当点M在线段OF上运动时，连结EQ．设线段EQ长度的最大值为a，最小值为b，则a+b＝　 　． 【解答】【问题解决】证明：延长OA至点M，使AM＝OA，连接OP、MQ， 1°当点P在直线OA外时，在△AOP和△AMQ中， ∴△AOP≌△AMQ（SAS）， ∴QM＝OP＝2； 2°当点P在直线OA上时，则OP＝MQ＝2， 综上，点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆； 【结论应用】解：（1）由【问题解决】可得，当点M是线段OF中点时，点Q的运动路径为2为半径的圆， ∴点Q的运动路径长为2π×2＝4π， 故答案为：4π； （2）由【问题解决】可得，点Q的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点M与点O重合时，此时点Q的运动路径为以C为圆心，2为半径的圆，连接CE交圆C于Q，此时EQ的长度最小， 由题意得，CQ＝2，BC＝8，∠ABC＝90°， ∴由勾股定理得， ∴线段EQ长度的最小值为； 如图，当点M与点F重合时，此时点Q的运动路径为以G为圆心，2为半径的圆，连接CG，连接EG 交圆G于Q，此时EQ的长度最大， 由题意得AF＝FG，DF＝CF， ∵∠AFD＝∠GFC， ∴△ADF≌△GCF（SAS）， ∴∠D＝∠GCF＝90°，CG＝AD＝8， ∵∠DCB+∠GCF＝180°， ∴E、C、G在同一直线上， ∴BG＝BC+CG＝8+8＝16， ∴， ∴线段EQ长度的最大值为， ∴， 故答案为：22． 25．（2024•长春二模）如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC、AD的中点． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若△AEC的周长为18，AF＝5，则菱形AECF的面积为 　 　． 【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中， ∴BC＝AD，BC∥AD， 又∵E，F分别是边BC，AD的中点， ∴ECBC，AFAD， ∴EC＝AF，且EC∥AF ∴四边形AECF为平行四边形． 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC边中点， ∴AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：∵BC＝4， ∴AD＝BC＝10， ∵∠BAC＝90°， ∴AEBC＝5， ∵△AEC的周长为18， ∴AC＝8， ∴AB6， ∴S△AECS△ABC6×8＝12， ∵四边形AECF是菱形， ∴四边形AECF的面积＝2S△AEC＝24， 故答案为：24． 26．（2024•长春二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知⊙O半径是3，点A是⊙O上的一个动点，点P是平面内一点，OP＝8，求证：线段PA的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将PO延长交⊙O于点A，并猜想此时PA最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合），连结PB、OB， 证明过程缺失 则PA＞PB， 则此时，PA最大，最大值为8+3＝11． 【问题延申】如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边AC上的一个动点，连结DB，过点A作AF⊥BD于点F，连结CF，则线段CF的最小值是 　 　． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC＝80米，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊CF最短为 　 　米．（结果保留根号） 【解答】【问题解决】证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合），连结PB、OB， 在△OBP中，OB+OP＞PB， ∵OA＝OB， ∴OA+OP＞PB， 则PA＞PB， 则此时，PA最大，最大值为8+3＝11； 【问题延申】解：如图3， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴点F在以AB为直径的圆上，以AB为直径作⊙O，连接OC交BD于F，由点圆关系得此时CF最小， ∵AB＝6， ∴OB＝3＝OF， ∵BC＝8， ∴OC， ∴CF3， 故答案为：3； 【拓展提升】解：如图4，取AC、AB中点M、N，连接MN， 以MN为直径作⊙O，连接OC交⊙O于点P， 作OQ⊥BC于Q，连接CE、BE， ∵点F为AE中点， ∴MF、NF分别为△ACE和△ABE的中位线， ∴MF∥CE，NF∥BE， ∴∠AFM＝∠AEC，∠AFN＝∠AEB， ∵BC为半圆直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴F在以MN为直径的圆上，即在⊙O上，由点圆关系得，CP为CF的最小值， ∵M、N为AC、AB中点， ∴MN为△ABC中位线， ∴MNBC＝40米，MN∥BC， ∴ON＝20米， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BNO＝90°， ∵OQ⊥BC， ∴四边形ONBQ为矩形， ∴BQ＝ON＝20米， ∴CQ＝80﹣20＝60（米）， ∵∠ACB＝60°， ∴AB＝BC•tan60°＝80米， ∴BN＝40米， ∴OQ＝BN＝40米， ∴OC20（米）， ∵OP＝ON＝20米， ∴CP＝2020（米）． 故答案为：（2020）． 27．（2024•长春二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．请仅用无刻度的直尺按下列要求画出图形，并保留作图痕迹． （1）在图①中找格点C，使得tan∠CBA＝1； （2）在图②中，画一个以AB为直角边的直角三角形ABD，使△ABD的面积为； （3）在图③中找点E，作∠EBA使得． 【解答】解：（1）如图①，格点C即为所求； （2）如图②，直角三角形ABD即为所求， △ABD的面积为； （3）如图③，点E即为所求， 找格点H，G，连接GH，交AM于点E，连接BE，设AM交BH的延长线于点N， ∵AH∥GM， ∴△AHE∽△MGE， ∴， 设AE＝x，则EM＝3x， ∴AB＝AM＝AE+EM＝4x， ∴BEx， ∴sin∠EBA． 28．（2024•南关区二模）如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG． （1）求证：四边形OGEF为矩形． （2）求GF的最小值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠GOF＝90°， ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴∠EGO＝∠GOF＝∠EFO＝90°， ∴四边形OGEF为矩形； （2）解：如图，连接OE， 由（1）可知，四边形OGEF为矩形， ∴GF＝OE， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12， ∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝8，OD＝OB6， ∴∠COD＝90°， ∴CD10， 当OE⊥CD时，OE最小，则GF最小， 此时，S△CODCD•OEOC•OD， ∴CD•OE＝OC•OD， ∴OE， ∴GF的最小值为． 29．（2024•南关区二模）如图是由小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，O，B都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，在射线OA上画点C，使∠CBO＝∠AOB； （2）在图（2）中，在射线OA上画点D，使∠ABD＝∠AOB； （3）在图（3）中，画∠AOB的平分线OE． 【解答】解：（1）如图1中，点C即为所求； （2）如图2中，点D即为所求； （3）如图3中，射线OE即为所求． 30．（2024•朝阳区二模）【感知】如图①，△BDC内接于半径为R的⊙O，点A是⊙O上动点，且点A、D位于BC两侧，则弦AD的最大值为 　 　；（用含R的代数式表示） 【探究】如图②，△BDC内接于⊙O，点A是⊙O上动点，且点A、D位于BC两侧．若⊙O的半径为6．∠BDC＝120°，求点A到BC距离的最大值．下面是小明的部分求解过程： 解：连结OB、OC，过点A作AH⊥BC于点H． 过点O作OH′⊥BC于点H′，并反向延长，交⊙O于点A'，连结OA． 证明过程缺失 ∵AH≤OA+OH′＝OA′+OH′＝6+3＝9， ∴点A到BC距离的最大值为9． 请你补全解答过程． 【拓展】如图③，现计划建一个四边形空地ABCD，按规划要求：AB＝80m，BC＝60m，∠ABC＝90°，∠ADC＝135°，调整点D的位置，使四边形ABCD的面积最大，则这个最大面积为 　 　m2． 【解答】解：【感知】∵直径是圆中最长的弦， ∴当AD为圆的直径时，AD取得最大值， ∴AD的最大值为2R． 故答案为：2R； 【探究】连结OB、OC，过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OH′⊥BC于点H′，并反向延长，交⊙O于点A'，连结OA，如图②， ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠BAC+∠BDC＝180°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OB＝OC，OH′⊥BC， ∴∠BOH′＝∠COH′∠BOC＝60°，BH′＝CH′BC， ∴OH′＝OB•cos∠BOH′＝6×cos60°＝3， ∵AH≤OA+OH′＝OA′+OH′＝6+3＝9， ∴点A到BC距离的最大值为9． 【拓展】∵AB＝80m，BC＝60m，∠ABC＝90°， ∴AC100（m）， ∴△ABC的面积一定，若使四边形ABCD的面积最大，则△ADC的面积最大即可． 作AC的垂直平分线MN，在NM上取一点M，使∠连接MA，MC，使∠CMA＝45°，如图， ∵∠ADC＝135°， ∴∠ADC+∠CMA＝180°， ∴点A，D，C，M在同一个圆上， 作出该圆⊙O，则圆心O在MN上， 连接OA，OC，直线MN交⊙O于点D′，连接AD′，CD′， 由【探究】的结论可知：当点D，D′重合时，△ACD的面积最大为S△AD′C． ∵∠AOC＝2∠AMC， ∴∠AOC＝90°． ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴OA＝OCAC＝50（m），ONAC＝50（m）， ∴OD′＝OA＝OC＝50（m）， ∴D′N＝OD′﹣ON＝（5050）m． ∴△ACD的面积的最大值为S△AD′C100×（5050）＝（25002500）m2， ∵60×80＝2400m2， ∴四边形ABCD的最大面积＝25002500+2400＝（2500100）m2． 故答案为：2500100． 31．（2024•朝阳区二模）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格、每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，点M在格点上，画出点M关于直线BD的对称点N； （2）在图②中，点E、F在格点上，在线段BD上确定一点O，连结OE、OF，使∠BOE＝∠DOF； （3）在图③中，点P在BC上且不是格点，在线段CD上确定一点Q，使BP＝DQ． 【解答】解：（1）如图①中，点N即为所求； （2）如图②中，点O即为所求； （3）如图③中，点Q即为所求． 32．（2024•长春二模）将两张长为4cm，宽为1cm的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）在纸条转动的过程中，菱形ABCD面积的最大值为 　 　cm2（两张纸条不完全重合）． 【解答】（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC 于点E，AF⊥CD 于点F． ∵两条纸条宽度相同（对边平行）， ∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，AE＝AF， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形，AE＝BM＝1cm， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴S菱形ABCD＝BC•AE＝BC＝AD， ∴当AD越大时，菱形ABCD的面积越大， ∴当两张纸片旋转如图位置时，如图2，此时AD取最大值， 设AD＝AB＝x，则AM＝4﹣AD＝4﹣x， 在Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2， ∴12+（4﹣x）2＝x2， ∴x， ∴AD＝x， ∴S菱形ABCD（cm） 此时菱形ABCD的面积取得最大值为cm2， 故答案为：． 33．（2024•长春二模）【模型提出】如图①，已知线段AB的长度为4，在线段AB所在直线外有一点C，且∠ACB＝45°，想确定满足条件的点C的位置，可以以AB为底边构造一个等腰直角三角形AOB，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，则点C在⊙O的优弧ACB上．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边BC、CD上的动点，BE＝CF，连结AE、BF，AE与BF交于点G． （1）求证：AE⊥BF； （2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为 　 　； （3）若点I是△ABG的内心，连结CI，则线段CI的最小值为 　 　． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90° 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴∠BAE＝∠CBF． ∵∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠BAE+∠ABF＝90° ∴∠AGB＝90°． ∴AE⊥BF； （2）解：连接AC，BD，它们交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°． 由（1）知：∠AGB＝90°， ∴点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径为以AB为直径的圆中的的圆周长，如图， ∴点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为2π×2＝π． 故答案为：π； （3）解：∵∠ABG＝90°，点I是△ABG的内心， ∴∠AIG＝135°， ∴点I在以AB为弦，所含圆周角为135°的劣弧上运动，如图， 设这个劣弧的圆心为O，连接OA，OB，过点O作OM⊥BC，交CB的延长线于点M， ∵∠AIB＝135°， ∴∠AOB＝90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴OA＝OBAB＝2． ∵∠ABM＝90°，∠ABO＝45°， ∴∠OBM＝45°， ∴△OMB为等腰直角三角形， ∴MB＝OMOB＝2， ∴CM＝BC+MB＝6． 当点O，I，C三点在一条直线上时，CI取得最小值＝OC﹣OI． ∵OC2，OI＝OA＝2， ∴CI的最小值＝22． 故答案为：． 34．（2024•长春二模）如图，△ABC为等边三角形，，AD⊥BC于点D．点P在线段AD上运动，当点P不与点A、D重合时，过点P作AB的垂线交折线AC﹣CB于点E，交边AB于点F，以EF、FB为边作矩形EFBH．设线段AP的长为2x． （1）线段AD的长为 　 　； （2）当点E在线段CD上时，用含x的代数式表示线段DE的长，并直接写出x的取值范围； （3）作点E关于直线AD的对称点E'，作直线HE'． ①当点E在边AC上时，若HE′∥AD，求线段HE'的长； ②当直线HE'将矩形EFBH分成两部分图形的面积比为1：3时，直接写出x的值． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC， ∴，，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°， ∴， ∴， 故答案为：6； （2）解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，CG与AD相交于点N， ∵AD⊥BC， ∴EF∥CG， ∴∠DEP＝∠BCG， ∵△ABC 为等边三角形，CG⊥AB， ∴∠BCG＝30°， ∴∠DEP＝30°， ∴， ∴， ∵DP＝AD﹣AP＝6﹣2x， ∴， ∵， ∴， ∴AN＝6﹣2＝4， ∵点E在线段CD上， ∴4≤2x≤6， ∴2≤x≤3； （3）①如图， ∵点E和点E'关于AD对称， ∴AE＝AE'， ∵∠BAC＝60°， ∴△AEE'为等边三角形， ∵AD⊥BC， ∴， ∵HE′∥AD， ∴∠BE'H＝∠BAD＝30°， 设BE'＝a，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； ②分三种情况：当点E在AC上时，如图，△BE′H与四边形EFE′H的面积比为1：3，连接EE'， ∵S△E′EHS矩形EFBH， ∴S△BE'H＝S△FE′E， ∴BE'＝FE'， 又∵AF＝E′F， ∴AF＝E'F＝BE'， ， ∵， ， 解得； 当点E在线段CD上时，如图，点E'在线段BD上，△HBN与四边形EFNH的面积比为1：3，连接EN， ∵S△NEHS矩形EFBH， ∴S△HBN＝S△EFN， ∴， ∴， ∵BN∥EH， ∴△BNE'∽△EHE'， ∴， ∵ED＝E'D， ∴ED＝E'D＝BE'， ∴， 由（2）知∠DEP＝30°， ∴， ∴AP＝6﹣1＝5， 即2x＝5， 解得x； 当点E在线段CD上时，如图，△EHM与四边形BFMH的面积比为1：3， ∵S△MBHS矩形EFBH， ∴S△HEM＝S△BFM， ∴EM＝FM， ∵EH∥BN， ∴∠EHM＝∠FNM， 又∵∠EMH＝∠FMN， ∴△EHM≌△FNM（AAS）， ∴EH＝FN， ∴， ∵EH∥BN， ∴△EHE'∽△BNE'． ∴， ∵ED＝E'D， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，x的值为或或． 35．（2024•绿园区二模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图①中画出一个△ABD，使S△ABD＝S△ABC，D为格点（点D不在点C处）； （2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使AE⊥BC； （3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等． 【解答】解：（1）如图①，△ABD即为所求（答案不唯一）． （2）如图②，点E即为所求． （3）由勾股定理得，AC5， 如图③，取格点D，使AD＝AC＝5，再取CD的中点E，连接AE，交BC于点F， 可知AE为∠BAC的平分线， 则点F到AB和AC所在直线的距离相等， 则点F即为所求． 36．（2024•绿园区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AC﹣CB向终点B匀速运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PD⊥AB于点D，以PD、DB为邻边作矩形PDBF、设点P运动的时间是t（秒）． （1）线段AB的长为 　 　； （2）当矩形PDBF恰好是正方形时，求t的值； （3）当DF⊥BC时，求t的值； （4）延长PD到点Q，使DQ＝2，连结FQ．当直线QF分矩形PDBF的面积为1：5两部分时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， 故答案为：5； （2）∵矩形PDBF恰好是正方形， ∴PD＝BD， ∵PD⊥AB， ∴∠PDB＝90°， ∴∠ADP＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△APD∽△ABC， ∴， ∵AP＝t， ∴AD，PD， BD＝AB﹣AD＝5， ∴t＝5， ∴t， ∴t的值为； （3）由（2）知，BD＝5t，PDt， ∵DF⊥BC， ∴∠BDF+∠ABC＝90°， ∵∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BDF， ∵矩形PDBF， ∴PD＝FBt，∠DBF＝∠ACB＝90°， ∴△DFB∽△ABC， ∴， ∴， ∴t， ∴t的值为； （4）QF与BD交于点M， ①当点P在AC上时， ∵PF∥BD， ∴， ∴DM， ∵直线QF分矩形PDBF的面积为1：5两部分， ∴S梯形DMFPS矩形PDBF或S梯形DMFPS矩形PDBF， ∴（DM+PF）•PDPD•BD或（DM+PF）•PDPD•BD， ∵PF＝BD， ∴1（舍去）或， ∵PQ＝PD+DQ＝2t， ∴t； ②当点P在BC上时， ∵PF∥BD， ∴， ∴DM， ∵直线QF分矩形PDBF的面积为1：5两部分， ∴S梯形DMFPS矩形PDBF或S梯形DMFPS矩形PDBF， ∴（DM+PF）•PDPD•BD或（DM+PF）•PDPD•BD， ∵PF＝BD， ∴1（舍去）或， ∵△PDB∽△ACB， ∴， ∵PB＝7﹣t， ∴PD， ∴PQ＝PD+DQ＝2， ∴t； 综上，t的值为 或 ． 37．（2024•绿园区二模）【感知】如图①，在正方形ABCD中，E、F分别在边AB、BC上，CE⊥DP于点O．猜想线段CE与DF的数量关系为 　 　； 【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究： （1）如图②，在正方形ABCD中，若点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，EG⊥FH于点O，求证：EG＝FH； （2）如图③，将（1）中的条件“在正方形ABCD中”改为“在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a”，其他条件不变，则线段EG与FH的数量关系是 　 　； （3）如图④，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°•∠BCD＝60°，AB＝BC＝CD＝6，点M在AB上，且BM＝2，连结CM，过点D作DN⊥CM交CM于点O，交BC于点N，直接写出线段DN的长． 【解答】【感知】解：CE＝DF；理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠B＝90°， 又∵DF⊥CE， ∴∠CDO+∠DCO＝90°＝∠DCO+∠BCE， ∴∠CDO＝∠BCE， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（ASA）， ∴CE＝DF， 故答案为：CE＝DF； 【探究】（1）证明：过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴MG＝HN， ∵HF⊥EG， ∴∠MGE＝∠NHF， ∴△HFN≌△GEM（ASA）， ∴HF＝EG； （2）解：EG＝2FH；理由如下： 过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P， 由（1）可得，∠QHF＝∠PGE， ∴△QHF∽△PGE， ∴， ∵AB＝a，BC＝2a， ∴PG＝2a，HQ＝a， ∴， ∴EG＝2FH， 故答案为：EG＝2FH； （3）解：如图4，过点D作DS⊥BC于S， ∴∠DSN＝∠DSC＝∠B＝90°， ∵∠DCS＝60°，CD＝6， ∴DSCD＝3， ∵BM＝2，BC＝6， ∴CM2， 由（1）知△BCM∽△SDN， ∴， ∴ 解得DN． 38．（2024•长春二模）如图①，在▱ABCD中，∠A＝135°，AB＝6，▱ABCD的面积为12，点E在边AB上，且AE＝2，动点P从点E出发，沿折线EA﹣AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止．将射线EP绕点E逆时针方向旋转45°得到射线EQ，点Q在折线段B﹣C﹣D上，连结PQ．设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）． （1）AD的长为 　 　； （2）当EQ将▱ABCD的面积分为1：2时，求t的取值范围； （3）如图②，当点Q在边BC上时，求PE：EQ的值； （4）如图③，作点Q关于PE的对称点Q′，在点P从点E出发运动到点C的过程中，点Q′经过的路径长为 　 　． 【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥CD， 在▱ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝6， ∴AB∥CD，AB＝CD＝6，S▱ABCD＝CD•AF＝12， ∴AF⊥AB，AF＝2， ∴∠FAD＝135°﹣90°＝45°， ∴△AFD为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）当点P在线段EA上时， ∵将射线EP绕点E逆时针方向旋转45°得到射线EQ， ∴∠AEQ＝45°， ∴∠AEQ+∠A＝180°， ∴AD∥EQ， ∵AD∥BC，CD∥AB， ∴BC∥EQ， ∴四边形BEQC和四边形AEQD为等高的两个平行四边形， ∵AE＝2，AB＝6， ∴BE＝4， ∴四边形BEQC和四边形AEQD的面积比为，满足题意， ∵动点P从点E出发，沿折线EA﹣AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度运动，此时0＜t≤2； 当点Q与点C重合时：如图， 此时， ∴，满足题意， 过点C作CM⊥BE，则， ∴CM＝2， ∵， ∴， ∴EM＝BE﹣BM＝2＝BM， ∴CM＝ME， ∴∠CEM＝45°， ∵∠PEC＝45°， ∴∠MEP＝90°＝∠CMB， ∴CM∥PE， ∵CP∥AB， ∴四边形CMEP为矩形， ∴CP＝ME＝2， ∴点P运动的路程为， ∴， 综上，0＜t≤2或． （3）如图，连接EC，过点C作CF⊥BE， 同 （2）可得到CF＝BF＝EF＝2，∠CEB＝45°， ∴， ∴∠CBE＝∠CEB＝45°， ∴∠BCE＝90°， ∵∠BEC＝∠PEQ＝45°， ∴∠BEQ＝∠CEP＝45°﹣∠CEQ， ∵▱ABCD， ∴∠BCD＝∠A＝135°， ∴∠PCE＝135°﹣90°＝45°＝∠B， ∴△BQE∽△CPE， ∴； （4）当点P在线段EA上时，此时，点Q'的位置固定不变，连接QQ'，如图， ∵旋转， ∴∠PEQ＝∠PEQ'＝45°，QE＝Q′E， 由（2）知， ∴∠QEQ'＝90°，， ∴△QEQ'为等腰直角三角形， ∴， 过点E作EF⊥QQ'，则， ∴F，A重合，Q，A，Q′三点共线， 当点P从点A运动至EP⊥CD时，过点E作EG⊥AB，交CD于点G， ∵CD∥AB，由（1）知平行四边形的高线长为2， ∴EG⊥CD，EG＝2＝AE， ∵∠QEQ'＝∠AEG＝90°， ∴∠QEG＝∠AEQ'＝90°﹣∠QEA， ∵QE＝Q′E， ∴△EGQ≌△EAQ'， ∴∠EGQ＝∠EAQ'＝90°， ∴Q'的运动轨迹为当点P在线段EA上时线段Q'Q，运动的路径长为4， 当点P从EP垂直于CD运动至点C时，如图， 连接CE，过点E作EK∥AD，连接KQ'， 则四边形EKDA为平行四边形，∠BCE＝90°，， ∴，∠EKD＝∠A＝∠BCD＝135°， ∴∠EKC＝180°﹣∠EKD＝45°，∠ECK＝∠BCD﹣∠BCE＝45°， ∴∠CEK＝90°＝∠Q'EQ， ∴∠CEQ＝∠Q′EK， ∵EQ＝EQ'， ∴△ECQ≌△EKQ'， ∴∠ECQ＝∠EKQ'＝90°， ∴∠CKQ'＝45°， ∴Q'在射线KQ'上运动， 当P运动到点C时，此时点Q与点B重合，此时，Q'在BC的延长线上，且， ∴∠KCQ'＝180°﹣∠BCD＝45°， ∴∠KQ'C＝90°， ∴△KQ'C为等腰直角三角形， ∴， 综上，点Q运动路径长为． 29．（2024•长春二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝40°，以边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E．求的长． 【解答】解：如图，连接OD、OE、AE， ∵∠BAC＝40°，OA＝OD， ∴∠ODA＝40°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝EC， ∵BO＝OA， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AC， ∴∠DOE＝∠ODA＝40°， ∴的长为：π． 40．（2024•长春二模）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的线段AC上找一点M，连结BM，使∠BMA＝∠BMC； （2）在图②中的线段AB、BC上分别找一点P、Q（点P、Q不在格点上），连结QA、PC，使QA＝PC； （3）在图③中，点D在边AB上，且∠ACD＝22.5°，在线段CD上找一点N，连结AN，使∠CAN＝∠BAN． 【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求； （2）如图②中，点P，Q即为所求（位置不唯一）； （3）如图③中，点N即为所求． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$