2024年九年级数学二次函数的存在性问题讲义

课 题 二次函数的存在性问题 模块一 三角形的存在性问题 知识点一 直角三角形的存在性问问题 1．动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例 （1）代数法 1　 列出A、B、C的坐标，动点用参数表示； 2　 列出线段AB、AC、BC长度的平方； 3　 分类列方程：①，②，③； （2）几何法 （用相似三角形，暂略） 当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究： 当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似（略）③勾股定理； 原理：根据直角三角形的定义， 以直角顶点分三种情况进行讨论. 作图： 口诀： 两线一圆！ 举例如下： 若A(3， 0)、 B(0， 4)， 在直线x=1 上求点C 使得△ABC 为直角三角形. 以下分三种情况讨论： (i)当A为直角顶点时，过点A为作AB的垂线l交直线x=l 于点C， 则交点即为所求点 C. 如图 1: 有C₁ 一个点. (ii)当B为直角顶点时，过点B为作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C.如图2: 有C₂ 一个点. (iii)当Ｃ为直角顶点时，以ＡＢ为直径作圆，则该圆与直线x=1的交点即为所求点Ｃ．如图3：有 C₃ 、 C₄两个点. 2. 方法： 几何法： 构造“Ｋ 型”或“一线三垂直”相似： 代数法： 两点间的距离公式， 列方程， 解方程， 检验根(除重、查漏)； 解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点. 知识点二 等腰三角形的存在性问题 1. 构造等腰三角形的一般思路 平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。 2. 动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例： （1）代数法：分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC； （2）作图法：原理：根据等腰三角形的定义， 以两腰的三种情况进行分类讨论. 作图： 口诀： 两圆一线！ 举例如下： 若A(3， 0)、 B(0， 4)， 在坐标轴上求点C使得△ABC为等腰三角形. 以下分三种情况讨论： (i) 当AB=AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆A，则圆A与坐标轴的交点即为所求点 C. 如图 1：有C1 、 C₂、C₃三个点. (ii) 当BA=BC时，以B为圆心，AB长为半径作圆B，则圆B与坐标轴的交点即为所求点C.如图 2: 有 C₄ 、 C₅、C₆三个点. (iii) 当ＣＡ＝ＣＢ时，作线段ＡＢ的中垂线l，则直线l与坐标轴的交点即为所求点Ｃ．如图3：有C₇ 、 C₈两个点. （3）列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程 注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 （4）几何法 1　 设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标. 2　 利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度. 3　 分类列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC. 注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． 用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之 数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想. 有时几何法和代数法相结合使用，可以使得解题更快。 3. 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 知识点三 等腰直角三角形的存在性问题 1. 涉及知识点 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。 2. 基本题型 一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题 3. 解题思路 （1）分类不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。 （2）构造K型全等三角形 （3）列方程 · 直角三角形的存在性问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线++m（≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【变1】如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，恰有线段MN＝2PM，求此时点P的坐标； （3）如图2，连接CP，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． · 等腰三角形的存在性问题 【例2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【变1】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA． （1）求抛物线的表达式； （2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值； （3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标． · 等腰直角三角形的存在性问题 【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【变1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C2：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． (1)求抛物线C1的表达式； (2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）； (3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值 模块二 四边形的存在性问题 知识点一 平行四边形的存在性问题 1. 利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值 策略：①中点坐标公式：②三平三交定三点： ③两对角线端点的横、纵坐标之和分别相等(秒杀必备)： ④横平竖直做辅助。 三定一动：用②③即可秒杀(本质还是中点坐标公式) 分类 两定点之间线段是一条边 两定两动 利用①②③④综合解决 两定点之间线段是一条对角线 2. 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为()。 3.平行四边形顶点坐标公式 ABCD的顶点坐标分别为A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD）， 则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD。 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。 知识点二 菱形的存在性问题 1. 菱形依据，有一组邻边相等的平行四边是是菱形。 对比于平行四边形的判定，还有邻边相等条件，因此，相比较于平行四边形(AC作为对角线），坐标系中还需要满足以下三个等式： 解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等) (1)选定点、半动点组成的三角形，三边作为对角线再分类讨论； (2)利用中点坐标公式列方程：；（AC为对角线时） (3)对角线垂直： 或者邻边相等： 知识点三 矩形的存在性问题 1.运用公式 （1）两点间坐标公式; （2）平行四边形顶点公式; （3）矩形的判别：对角线相等的平行四边形 平面四点坐标A（，），B（ ，），C（），D（，） 由以上得到矩形判别公式：（以AC，BD为对角线为例） 2. 公式解读： 上式中①和②式子是判定平行四边形依据，③式为对角线相等，从而判定为矩形。 由上可以知矩形最多可以有三个未知量，带入以上方程组可以得到一个三元一次方程组，可解。 由三个未知量，则可以判别出矩形至少有两个动点，最多可以有三个动点。 （1） 两个定点+1个全动点+一个半动点 （2） 一个定点+3个半动点。 注释：（半动点是横纵坐标其中一个已知，一个未知） 3. 求解方法： 确定半动点和定点----分类讨论-----列出公式求解。 · 平行四边形的存在性问题 【例1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣6，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝x+1交于点A、C，且点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求点C的坐标； （2）若点P是直线AC下方的抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）若点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在点E使以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． · 菱形的存在性问题 【例2】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值． （3）连接OP，把△OCP沿着y轴翻折，使点P落在P'的位置，四边形CPOP'能否构成菱形，若能，求出点P的坐标，如不能，请说明理由； 【变1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； · 矩形的存在性问题 【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变1】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为 　　； （3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 1. 如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标． 1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），直线y＝mx+n经过点A，与y轴交于点，与抛物线交于点D，点△ABD的面积为5． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上一动点E在直线y＝mx+n的图象下方，当△ACE的面积最大时，求点E的坐标； （3）若点P是y轴上一点，在（2）的条件下，当△PAE为直角三角形时，直接写出PA的最大值． 2. 综合与探究 如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 二次函数的存在性问题 模块一 三角形的存在性问题 知识点一 直角三角形的存在性问问题 1．动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例 （1）代数法 1　 列出A、B、C的坐标，动点用参数表示； 2　 列出线段AB、AC、BC长度的平方； 3　 分类列方程：①，②，③； （2）几何法 （用相似三角形，暂略） 当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究： 当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似（略）③勾股定理； 原理：根据直角三角形的定义， 以直角顶点分三种情况进行讨论. 作图： 口诀： 两线一圆！ 举例如下： 若A(3， 0)、 B(0， 4)， 在直线x=1 上求点C 使得△ABC 为直角三角形. 以下分三种情况讨论： (i)当A为直角顶点时，过点A为作AB的垂线l交直线x=l 于点C， 则交点即为所求点 C. 如图 1: 有C₁ 一个点. (ii)当B为直角顶点时，过点B为作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C.如图2: 有C₂ 一个点. (iii)当Ｃ为直角顶点时，以ＡＢ为直径作圆，则该圆与直线x=1的交点即为所求点Ｃ．如图3：有 C₃ 、 C₄两个点. 2. 方法： 几何法： 构造“Ｋ 型”或“一线三垂直”相似： 代数法： 两点间的距离公式， 列方程， 解方程， 检验根(除重、查漏)； 解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点. 知识点二 等腰三角形的存在性问题 1. 构造等腰三角形的一般思路 平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。 2. 动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例： （1）代数法：分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC； （2）作图法：原理：根据等腰三角形的定义， 以两腰的三种情况进行分类讨论. 作图： 口诀： 两圆一线！ 举例如下： 若A(3， 0)、 B(0， 4)， 在坐标轴上求点C使得△ABC为等腰三角形. 以下分三种情况讨论： (i) 当AB=AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆A，则圆A与坐标轴的交点即为所求点 C. 如图 1：有C1 、 C₂、C₃三个点. (ii) 当BA=BC时，以B为圆心，AB长为半径作圆B，则圆B与坐标轴的交点即为所求点C.如图 2: 有 C₄ 、 C₅、C₆三个点. (iii) 当ＣＡ＝ＣＢ时，作线段ＡＢ的中垂线l，则直线l与坐标轴的交点即为所求点Ｃ．如图3：有C₇ 、 C₈两个点. （3）列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程 注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 （4）几何法 1　 设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标. 2　 利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度. 3　 分类列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC. 注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． 用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之 数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想. 有时几何法和代数法相结合使用，可以使得解题更快。 3. 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 知识点三 等腰直角三角形的存在性问题 1. 涉及知识点 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。 2. 基本题型 一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题 3. 解题思路 （1）分类不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。 （2）构造K型全等三角形 （3）列方程 · 直角三角形的存在性问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线++m（≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1)+-4 (2)（-2，-4） (3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(-1,-2+)，(-1,-2) (1)解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． (2)向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大， ∵时，，，∴A点坐标为：（-4,0）， 设直线AB关系式为：，将A（-4,0），B（0，-4），代入， 得：，解得：， ∴直线AB关系式为：， 设直线AB平移后的关系式为：， 则方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根， ∴，即的解为：x=-2， 将x=-2代入抛物线解析式得，， ∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大； (3)①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：， 将A（-4,0）代入得，，解得：， ∴PA所在直线解析式为：， ∵抛物线对称轴为：x=-1，∴当x=-1时，，∴P点坐标为：（-1，3）； ②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：， 将B（0，-4）代入得，，∴PA所在直线解析式为：， ∴当x=-1时，，∴P点坐标为：（-1，-5）； ③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：， ∵PA⊥PB，∴=-1，解得：，， ∴P点坐标为：， 综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形． 【变1】如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，恰有线段MN＝2PM，求此时点P的坐标； （3）如图2，连接CP，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4 （2）P（1，﹣） （3）Q点坐标为（0，﹣）或（0，﹣） 【解答】解：（1）将A（﹣2，0）和B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4， ∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣4； （2）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4）， 设BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得， ∴y＝x﹣4，设P（t，t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），N（t，0）， ∴MN＝4﹣t，PM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t， ∵MN＝2PM，∴4﹣t＝2（﹣t2+2t），解得t＝1或t＝4， ∵P是线段BC下方抛物线上， ∴0＜t＜4，∴t＝1，∴P（1，﹣）； （3）存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，理由如下： 设Q（0，m），∴QP2＝1+（m+）2，CP2＝，CQ2＝（m+4）2， 当∠QCP＝90°时，1+（m+）2＝+（m+4）2，解得m＝﹣4（舍）； 当∠CPQ＝90°时，1+（m+）2+＝（m+4）2，解得m＝﹣，∴Q（0，﹣）； 当∠CQP＝90°时，＝（m+4）2+1+（m+）2，解得m＝﹣4（舍）或m＝﹣， ∴Q（0，﹣）；综上所述：Q点坐标为（0，﹣）或（0，﹣） · 等腰三角形的存在性问题 【例2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）M（1，2） （3）点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，） 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M， 抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣＝1，由于点A（﹣1，0），则点B（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2， ∴点M（1，2）； （3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2， 根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论： 当PC＝CD时，则12+（t﹣3）2＝10，解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去）， ∴P（1，6）； 当CD＝PD时，则10＝t2，解得：t＝±， ∴P1（1，），P2（1，﹣）； ③当PC＝PD时，则12+（t﹣3）2＝t2，解得：t＝，P（1，）； 综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，） 【变1】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA． （1）求抛物线的表达式； （2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值； （3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣1 （2）点P的坐标为（，﹣），△PCD周长取得最大值为（+1） （3）点P的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5﹣，6﹣6） 【解答】解：（1）由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1； （2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0）， ∵A（0，﹣1），B（5，4），∴，解得：， ∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1， 设直线AB交x轴于点M，当y＝0时，x＝1， ∵OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°，∴∠OAB＝45°， ∵CP∥y轴，∴∠DCP＝∠OAB＝45°， ∵PD⊥AB，∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD， ∴PC＝＝CD，即CD＝PD＝PC， ∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（+1）PC， 设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1）， ∴（+1）PC＝（+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（+1）[（x﹣）2﹣]， ∵﹣（+1）＜0， ∴当x＝时，△PCD周长取得最大值，最大值为（+1）， 此时点P的坐标为（，﹣）； （3）如图，过点A作P1A⊥y轴，交抛物线于点P1， ∵CP1∥y轴，∴∠ACP1＝45°， ∴△ACP1是等腰直角三角形，∴点A （0，﹣1）， ∴点P1的纵坐标为﹣1， 当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣4x﹣1，解得：x1＝4，x2＝0（舍去）， 此时点P1（4，﹣1）； 如图，当P2A⊥AB时， ∵CP2∥y轴，∴∠ACP2＝45°， ∴△ACP2是等腰直角三角形，点C，P2关于直线AP1对称， 设点P2（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1）， ∴[（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1， 解得：m1＝3，m2＝0（舍去），此时点P2（3，﹣4）； 如图，若AC＝CP3，作CE⊥y轴于点E． ∵∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，即AE＝CE，∴P3C＝AC＝＝CE， 设点P3（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1）， ∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）＝m，解得：m1＝5﹣，m2＝0（舍去）， ∴此时点p3（5﹣，6﹣6）； 综上所述，点P的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5﹣，6﹣6）． · 等腰直角三角形的存在性问题 【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）Q（1，﹣2） （3）M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0） 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3， ∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接CB交对称轴于点Q， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ， ∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC， 当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小， ∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）； （3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB， ∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）； 当∠PBM＝90°时，PB＝BM， 如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G， ∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°， ∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH， ∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2， 设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣， ∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2）， ∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）； 如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3， 解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）； 综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）． 【变1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C2：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． (1)求抛物线C1的表达式； (2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）； (3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值 【答案】(1)y＝2x2+3x﹣1 (2)t2+2 (3)t＝0 【解析】(1)解：将点A(﹣1,﹣2)、B（(﹣2,1)代入抛物线C1表达式得： ，解得：，故抛物线C1的表达式为：y＝2x2+3x﹣1； (2)解：把x=t代入y＝2x2+3x﹣1，得：y=2t2+3t﹣1， ∴点N的坐标为（t，2t2+3t﹣1）， 把x=t代入y＝3x2＋3x＋1，得：y=3t2+3t+1 ∴点M的坐标为：（t，3t2+3t+1）， 则MN＝（3t2+3t+1）﹣（2t2+3t﹣1）＝t2+2； (3)解：①当∠ＢNM＝90°时，如图1， 则BNx轴, ∵B（-2，1），∴2t2+3t﹣1=1，解得：t= -2或， 当BN＝NM时：∵BN＝t﹣（﹣2）＝t+2，NM＝t2+2，∴t＋2＝t2+2，解得：t＝0或t=1， ∴同时满足两个条件时t无解 ②当∠BMN＝90°时，如图2，∴3t2+3t+1=1，解得：t=0或-1， 当BM＝MN时， ∵BM＝t+2，NM＝t2+2，∴t+2＝t2+2，解得：t＝0或t＝1， ∴同时满足两个条件时t=0 所以当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时t＝0 模块二 四边形的存在性问题 知识点一 平行四边形的存在性问题 1. 利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值 策略：①中点坐标公式：②三平三交定三点： ③两对角线端点的横、纵坐标之和分别相等(秒杀必备)： ④横平竖直做辅助。 三定一动：用②③即可秒杀(本质还是中点坐标公式) 分类 两定点之间线段是一条边 两定两动 利用①②③④综合解决 两定点之间线段是一条对角线 2. 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为()。 3.平行四边形顶点坐标公式 ABCD的顶点坐标分别为A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD）， 则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD。 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。 知识点二 菱形的存在性问题 1. 菱形依据，有一组邻边相等的平行四边是是菱形。 对比于平行四边形的判定，还有邻边相等条件，因此，相比较于平行四边形(AC作为对角线），坐标系中还需要满足以下三个等式： 解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等) (1)选定点、半动点组成的三角形，三边作为对角线再分类讨论； (2)利用中点坐标公式列方程：；（AC为对角线时） (3)对角线垂直： 或者邻边相等： 知识点三 矩形的存在性问题 1.运用公式 （1）两点间坐标公式; （2）平行四边形顶点公式; （3）矩形的判别：对角线相等的平行四边形 平面四点坐标A（，），B（ ，），C（），D（，） 由以上得到矩形判别公式：（以AC，BD为对角线为例） 2. 公式解读： 上式中①和②式子是判定平行四边形依据，③式为对角线相等，从而判定为矩形。 由上可以知矩形最多可以有三个未知量，带入以上方程组可以得到一个三元一次方程组，可解。 由三个未知量，则可以判别出矩形至少有两个动点，最多可以有三个动点。 （1） 两个定点+1个全动点+一个半动点 （2） 一个定点+3个半动点。 注释：（半动点是横纵坐标其中一个已知，一个未知） 3. 求解方法： 确定半动点和定点----分类讨论-----列出公式求解。 · 平行四边形的存在性问题 【例1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣6，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x+12 （2）存在，Q（﹣2，8） （3）P的坐标为（﹣10，8）或（6，8）或（﹣2，﹣8） 【解答】解：（1）把A（2，0），B（﹣6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+12； （2）在该抛物线的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小，理由如下： 连接BC交对称轴直线于Q，如图： ∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16， ∴抛物线对称轴是直线x＝﹣2， 在y＝﹣x2﹣4x+12中令x＝0得y＝12， ∴C（0，12）， ∴AC＝＝＝2， ∴当CQ+AQ最小时，△QAC的周长最小， ∵Q在抛物线对称轴上， ∴AQ＝BQ， ∴CQ+BQ最小时，△QAC的周长最小，此时C，Q，B共线，CQ+BQ最小值即为CB的长度， ∵C（0，12），B（﹣6，0）， ∴CB＝＝＝6，直线CB的解析式为y＝2x+12， 在y＝2x+12中，令x＝﹣2得y＝8， ∴Q（﹣2，8）； （3）在坐标平面内存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，理由如下： 设P（m，n），又A（2，0），B（﹣6，0），Q（﹣2，8）， ①若PA，BQ是对角线，则PA，BQ的中点重合， ∴，解得，∴P（﹣10，8）； ②若PB，AQ为对角线，则PB，AQ的中点重合， ∴，解得，∴P（6，8）； ③若PQ，AB为对角线，则PQ，AB的中点重合， ∴，解得，∴P（﹣2．﹣8）， 综上所述，P的坐标为（﹣10，8）或（6，8）或（﹣2，﹣8）． 【变1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝x+1交于点A、C，且点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求点C的坐标； （2）若点P是直线AC下方的抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）若点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在点E使以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点C的坐标为（4，5） （2）点P到直线AC距离的最大值为 （3）点E的坐标为（2，﹣3）或（﹣4，21）或（6，21） 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2﹣2x+c的图象上， ∴0＝1+2+c，∴c＝﹣3，∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3， 联立直线y＝x+1得，解得或，∴点C的坐标为（4，5）； （2）过点P作PM⊥x轴交AC于点M，如图： 设P（m，m2﹣2m﹣3）（﹣1＜m＜5），则M（m，m+1）， ∴PM＝m+1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+4， ∴S△ACP＝×5（﹣m2+3m+4）＝﹣（m﹣）+， ∴当m＝时，S△ACP最大为， ∵点A（﹣1，0），点C（4，5），∴AC＝＝5， 设点P到直线AC的距离为h，∴S△ACP＝×5×h＝，∴h＝， ∴点P到直线AC距离的最大值为； （3）存在，理由如下： ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 设点F的坐标为（1，n），点E的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）， 分三种情况：①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1+4＝1+x，解得x＝2， ∴点E的坐标为（2，﹣3）； ②当AF为平行四边形的对角线时，﹣1+1＝x+4，解得x＝﹣4，∴点E的坐标为（﹣4，21）； ③当AE为平行四边形的对角线时，﹣1+x＝4+1，解得x＝6，∴点E的坐标为（6，21）； 综上，点E的坐标为（2，﹣3）或（﹣4，21）或（6，21）． · 菱形的存在性问题 【例2】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值． （3）连接OP，把△OCP沿着y轴翻折，使点P落在P'的位置，四边形CPOP'能否构成菱形，若能，求出点P的坐标，如不能，请说明理由； 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2 （2）当t＝2时，S△BCP的值最大，最大值为4 （3）四边形CPOP'能构成菱形，点P的坐标为（，﹣1）或（，﹣1） 【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2）， 令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0）， 将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （3） 过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（t，t2﹣t﹣2）， 则G（t，t﹣2），∴PG＝t﹣2﹣t2+t+2＝﹣t2+2t， ∴S△BCP＝×4（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4， ∴当t＝2时，S△BCP的值最大，最大值为4； （3）如图，由翻折得，点P、P'关于y轴对称，∴OC垂直平分PP′， 当PP′垂直平分OC时，四边形CPOP'能构成菱形， ∴点P的纵坐标为﹣1， 当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣x﹣2，∴x＝， ∴四边形CPOP'能构成菱形，点P的坐标为（，﹣1）或（，﹣1） 【变1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3 （2）点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣） 【解析】（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5， 则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0）， 则，解得， 故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）存在，理由： ∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5）， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m）， 由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26， 设点Q的坐标为（s，t）， ∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形， 故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ）， 则或， 解得或， 故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）； · 矩形的存在性问题 【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2 （2）点M坐标为（﹣4，6） 【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（4，0）代入抛物线y＝x2+bx+c， 得，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）存在．过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线相较于M，则M即为所求． 在y＝﹣2x+8中，令x＝0，则y＝8，∴C（0，8）， ∵A（0，﹣2），B（4，0）， ∴AB2＝42+22＝20，BC2＝42+82＝80，AC2＝102＝100， ∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°， ∵CM∥AB，AM∥BC，∴四边形ABCM是矩形， 设直线AB的解析式为y＝kx+m， 则，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣2， ∵CM∥AB，∴直线CM的解析式为y＝x+8， ∵AM∥BC，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，联立方程组，解得：， ∴点M坐标为（﹣4，6）． 【变1】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为 　3　； （3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣4）＝﹣x﹣4；（2）3； （4） 当t＝2时，S四边形FAOB有最大值12，点F的坐标为（2，﹣4） （4）存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（5，﹣3），Q4（1，﹣1）． 【解答】解：（1）把（4，0）代入y＝x+b，得，4+b＝0，解得：b＝4，∴y＝x﹣4， 当x＝0时，y＝0﹣4＝﹣4，∴B（0，﹣4），∴A（4，0），∴OA＝4， ∵OA＝2OC，∴OC＝2，∴C（﹣2，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 把B（0﹣4）代入得：﹣4＝a（0+2）（0﹣4），解得：a＝， ∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣4）＝﹣x﹣4； （2）y＝﹣x﹣4＝， ∵点F与抛物线的顶点重合，∴F（1，）， 设抛物线对称轴与直线AB相交于E，如图， ∵A （4，0），B（0，4）， ∴直线AB解析式为：y＝x﹣4， 则当x＝1时，y＝1﹣4＝﹣3， ∴E（1，﹣3），∴， 故答案为：3； （3）如图，过点F作FE∥x轴，交AB于点E， 设点P的横坐标为t，则P（t，）， ∵直线AB的解析式为y＝x﹣4， ∴E（t，t﹣4）， ∴＝﹣t2+4t， ∵， ∴S四边形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12（0＜t＜4）， ∴当t＝2时，S四边形FAOB有最大值12，，∴此时点F的坐标为（2，﹣4）． （4）过作FE⊥x轴于E， ∵A（4，0），F（2，﹣4），∴AE＝2，EF＝4，AF＝2， 如图，①当AF为正方形AFMQ的边时， 1）有正方形 AFM1Q1， 过Q1作Q1N1⊥x轴于N1， ∵∠AEF＝∠AN1Q1＝90°，∠FAQ1＝90°， ∴∠EAF＝∠AQ1N1， ∵AF＝AQ1， ∴△AEF≌△Q1N1A（AAS）， ∴AN1＝EF＝4，Q1N1＝AE＝2，∴Q（8，﹣2）； 2）有正方形AFQ2M2时，过Q2作Q2N2⊥EF于N2， 同理可得△AEF≌△FN2Q2（AAS），∴FN2＝AE＝2，Q2N2＝EF＝4， ∴Q2（6，﹣6）； ②当AF为正方形AFMQ的对角线时，设AF与QM相交于P， ∵A（4，0），F（2，﹣4），∴P（3，﹣2）， 1）有正方形AQ3FM3时，过Q3作Q3G⊥x轴于G，过M3作M3H⊥x轴于H， 易证△AHM3≌△Q3GA，∴AH＝Q3G，M3H＝AG， 设Q3（4+a，b），则M3（4+b，﹣a）， ∴，解得：， Q3（5，﹣3），M3（1，﹣1）， 2）有正方形AQ4FM4时，过Q4作Q4H⊥x轴于H，则Q3与M3重合， ∴Q4 （1，﹣1）， 综上，存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（5，﹣3），Q4（1，﹣1）． 1. 如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3 （2）P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7） 【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）， 令y＝0，则x＝3，∴B（3，0）， 将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中， ∴，解得， ∴y＝﹣x2+4x﹣3； （2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下： ∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2， 设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝， ①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1， ∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）； ②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）； ③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7， ∴P（2，7）； 综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7） 2. 抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+4 （2）N点坐标为（，）或（，﹣） 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则x＝4，∴B（4，0）， 将C（0，4），B（4，0）代入y＝ax2﹣ax+b， ∴，解得，∴y＝﹣x2+x+4； （2）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝， 设M（t，﹣t2+t+4），N（，n）， 令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣3，∴A（﹣3，0）， ①当AN为平行四边形的对角线时， ，解得，∴N（，）； ②当AM为平行四边形的对角线时， ，解得，∴N（，﹣）； 综上所述：N点坐标为（，）或（，﹣）； 1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），直线y＝mx+n经过点A，与y轴交于点，与抛物线交于点D，点△ABD的面积为5． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上一动点E在直线y＝mx+n的图象下方，当△ACE的面积最大时，求点E的坐标； （3）若点P是y轴上一点，在（2）的条件下，当△PAE为直角三角形时，直接写出PA的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣ (2)当t＝时，S△ACE的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣） (3）当△PAE为直角三角形时，PA的最大值为 【解答】解：（1）∵直线y＝mx+n经过点A（﹣1，0），， ∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+， ∵AB＝3﹣（﹣1）＝4，S△ABD＝AB•yD＝2yD＝5，∴yD＝， 当y＝时，＝x+，解得：x＝4，∴D（4，）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）和点D（4，）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣； （2）设E（t，t2﹣t﹣）（﹣1＜t＜4），过点E作EF∥y轴交AC于点F，如图1， 则F（t，t+），∴EF＝x+﹣（t2﹣t﹣）＝﹣t2+t+2， ∴S△ACE＝EF•（xC﹣xA）＝×（﹣t2+t+2）×1＝（t﹣）2+， ∵﹣＜0，﹣1＜t＜4， ∴当t＝时，S△ACE的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）； （3）设P（0，y），由（2）知：E（，﹣），A（﹣1，0）， 如图2，设EF交x轴于点G，过点E作EH⊥y轴于点H， 则AG＝﹣（﹣1）＝，EG＝，EH＝，PH＝|y﹣（﹣）|＝|y+|， 由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝（）2+（）2＝， PA2＝OA2+OP2＝1+y2，PE2＝EH2+PH2＝（）2+|y+|2＝y2+y+， 当△PAE为直角三角形时，AE为定值，当且仅当PA为斜边时，PA最大， ∴AE⊥PE， 由勾股定理得：PA2＝PE2+AE2， ∴1+y2＝y2+y++，解得：y＝﹣， ∴PA＝＝＝， ∴当△PAE为直角三角形时，PA的最大值为． 2. 综合与探究 如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 【答案】（1）直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6；直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6 （2）①存在，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）； ②DM的长为3 【解析】（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0）， 当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6）， ∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6， ∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6； （2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2， ∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形， ∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣2）， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）； 如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形， ∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6）， ∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（2﹣2，2）； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）； ②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC， ∴设直线l的解析式为y＝3x+b， ∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6， ∴M（﹣2，﹣4m﹣12）， ∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N（﹣2，﹣4）， ∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8， ∵S△DMN＝S△AOC，∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6， 整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M的坐标为（﹣2，8）， ∴DM＝＝3， 答：DM的长为3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$