精品解析：广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题

2023—2024学年度第二学期期中学科素养测评 高中一年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则（ ） A B. C. D. 7. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 设函数，，其中，若对任意及任意，和中至少有一个为非负值，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分． 9. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C ，则 D. ，则 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若与的夹角为，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A. 若，则满足条件点有且只有一个 B. 若，则点的轨迹是一段圆弧 C. 若∥平面，则长的最小值为2 D. 若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分． 12. ______. 13. 定义运算：，则函数的值域为____________． 14. 在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求CD的长． 16. 已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围. 17. 如图：在正方体中，棱长，M为的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 18. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示： （天） 10 20 25 30 （个） 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元. （I）求的值; （II）给出以下二种函数模型： ①，②， 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式; （III）求该商品的日销售收入（元）的最小值. （函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增.性质直接应用.） 19. 已知是函数的零点，． （1）求实数的值； （2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期中学科素养测评 高中一年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举集合A中的元素，得 【详解】，因为，所以. 故选：C. 2 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模公式及复数除法法则，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得. 所以. 故选：A. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为6， 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的变换，利用诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：D 5. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为， 所以， 故选：A 6. 已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数是幂函数，得到，再由在区间上是奇函数，得到，然后用函数的单调性判断. 【详解】因为函数是幂函数， 所以 ， 所以， 又因为在区间上是奇函数， 所以， 即， 因为， 又为增函数， 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 7. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米． 故选：D． 8. 设函数，，其中，若对任意及任意，和中至少有一个为非负值，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用反证法证明时条件不满足，然后在时通过证明说明条件满足，即可得到实数的最大值是. 【详解】若，则对，有 ，. 从而此时不满足条件. 而当时，对任意及任意，有 . 从而由，可知和中至少有一个为非负值，满足条件. 综上，实数的最大值是. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分． 9. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面之间的基本关系判断A，根据面面平行的判定定理判断BCD. 【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 故选：ABC． 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若与的夹角为，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求解判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】向量，， 对于A，与的夹角为，，， 因此，A错误； 对于B，由，得，因此，B错误； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：CD 11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A. 若，则满足条件的点有且只有一个 B. 若，则点的轨迹是一段圆弧 C. 若∥平面，则长的最小值为2 D. 若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 若，由于与重合时，此时点唯一；，则，即点的轨迹是一段圆弧；当为中点时，DP有最小值为，可判断C；平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，可得D. 【详解】如图： ∵正四棱柱的底面边长为2， ∴，又侧棱， ∴，则与重合时，此时点唯一，故A正确； ∵，，则，即点的轨迹是一段圆弧，故B正确； 连接，，可得平面平面，则当为中点时，DP有最小值为，故C错误； 由C知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分． 12. ______. 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用指数幂的运算法则求解即可. 【详解】 , 故答案：0. 13. 定义运算：，则函数的值域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求解函数的解析式，再根据指数函数的性质求函数的值域. 【详解】当时，，当时，， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 14. 在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据海伦公式，结合题意，用边长表示的面积，根据的取值范围，求面积的最大值. 详解】由题意可知 ，且 则 ， 当且仅当 即时， ，且，符合题意. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求CD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化得，进而得； （2）根据题意得，进而在中，由余弦定理即可得答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以由正弦定理可得， 所以，即， 因为，所以，故， 因为，所以． 【小问2详解】 解：由（1）可知，又； 所以，，， 所以， 在，由余弦定理可得， 即， 解得． 16. 已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果； （2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 ，，解得：或， 当时，，； 当时，，； 综上所述：或10 【小问2详解】 若共线，则，解得：或， 当时，，，此时同向； 当时，，，此时反向； 若与的夹角为锐角，则，解得：且， 的取值范围为. 17. 如图：在正方体中，棱长，M为的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用等体积转化求三棱锥的体积； （2）利用线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，构造中位线，即可证明； （3）构造面面平行，即可说明线面平行. 【小问1详解】 因为 故三棱锥的体积为． 【小问2详解】 证明：连接，设，连结， 因为，分别是和的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 存在点为的中点时，使平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面，且平面， 且，平面， 所以平面平面, 若，则平面， 所以平面 所以线段上存在中点，使平面. 18. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示： （天） 10 20 25 30 （个） 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元. （I）求值; （II）给出以下二种函数模型： ①，②， 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式; （III）求该商品的日销售收入（元）的最小值. （函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增.性质直接应用.） 【答案】(I)1,(II) ;(III) 121元 【解析】 【分析】（I）利用列方程，解方程求得的值. （II）根据题目所给表格的数据，判断出日销售量不单调，由此确定选择模型②.将表格数据代入，待定系数法求得的值，也即求得的解析式. （III）将写成分段函数的形式，由计算出日销售收入的解析式，根据函数的单调性求得的最小值. 【详解】（I）依题意知第10天该商品的日销售收入为 ，解得. （II）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②. 从表中任意取两组值代入可求得 （III）由（2）知 ∴ 当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增， 所以当时，取得最小值，且; 当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且. 综上所述，当时，取得最小值，且 故该商品的日销售收入的最小值为121元. 【点睛】本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用，考查利用函数的单调性求最值，考查运算求解能力，属于中档题. 19. 已知是函数的零点，． （1）求实数的值； （2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值； （2）先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 ∵是函数的零点 ∴，解之得； 【小问2详解】 由（1）得，则， 则方程 可化为， ∵，∴两边同乘得： ，则此方程有三个不同的实数解. 令则，则，解之得或， 当时，，得； 当时，，则此方程有两个不同的实数解， 则，解之得． 则实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$