精品解析：山东省临沂市部分县区2023-2024学年高二下学期4月学科素养监测（期中）数学试题

2022级普通高中学科素养水平监测试卷 数学试题 2024.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 108种 2 若，且，则（ ） A. 0.10 B. 0.40 C. 0.80 D. 0.90 3. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（ ） A. 2.015 B. 2.023 C. 2.031 D. 2.083 4. 函数的单调递减区间是，则（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 0 5. 在展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 4 6. 某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时，有极大值．则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 8. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确有（ ） A. 如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B. 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C. 如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法 D. 如果4人中至少有一名女生，那么有195种不同的选法 10. 先后抛掷一枚质地均匀骰子两次，记向上的点数分别为，，设事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ） A. B. C. 事件与事件相互独立 D. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，在上单调递增 C. 若关于的方程有两个不等实根，则 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则______． 13. 已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围______． 14. 某单位安排甲、乙、丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中． （1）求展开式中各项系数之和； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率； （3）求展开式中系数最大的项． 16. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. （1）求第2次摸到红球的概率； （2）对于事件，当时，证明：； （3）利用（2）中结论，求第次都摸到红球的概率. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围． 18. 强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （1）若数学组的7名学员中恰有4人来自中学，从这7名学员中随机选取4人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 19. 已知函数，． （1）当时，证明：在上恒成立； （2）当时，证明：，； （3）是希腊字母，即的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于，如．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级普通高中学科素养水平监测试卷 数学试题 2024.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 108种 【答案】B 【解析】 【分析】根据捆绑法进行求解即可. 【详解】不同排法种数为种， 故选：B. 2. 若，且，则（ ） A. 0.10 B. 0.40 C. 0.80 D. 0.90 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，进而即可求解. 【详解】根据题意，且， 则， 故， 故选：. 3. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（ ） A. 2.015 B. 2.023 C. 2.031 D. 2.083 【答案】C 【解析】 【分析】变形，然后根据题意，计算即可得解． 【详解】． 故选：C． 4. 函数的单调递减区间是，则（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据是的实数根即可求解. 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A B. C. 20 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式的特征即可求出结果． 【详解】根据的展开式为，1，，当时，的项的系数为1； 的展开式为，1，2，3，当时，的项的系数为； 的展开式为，1，2，3，，当时，的项的系数为； 的展开式为，1，2，3，4，，当时，的项的系数为． 故含的项的系数是． 故选：C． 6. 某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案； 方法二：计算抽调3人全部为女医生的概率，利用对立事件的概率公式，求出至少有1名男医生参加的概率. 【详解】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种）， 至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种）， 所以至少有1名男医生参加的概率为. 方法二：抽调3人全部为女医生的概率为， 则至少有1名男医生参加概率为. 故选：C． 7. 已知函数，当时，有极大值．则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件列出方程组，解出，，验证即可； 【详解】由题意得， 因为时，有极大值， 所以，解得，， 经检验，当，时，, 故当在上单调递减， 当上单调递减， 故在时有极大值，符合题意，所以成立． 故选：B． 8. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可分从甲箱中随机取出一球是白色或黑色两种情况，根据全概率公式即可求解． 【详解】根据题意，若第一次从甲箱中取出的是白球，则再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率为， 若第一次从甲箱中取出的是黑球，则再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率为， 则再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率是． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ） A. 如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B. 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C. 如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法 D. 如果4人中至少有一名女生，那么有195种不同的选法 【答案】BD 【解析】 【分析】根据计数原理按照排列、组合的要求依次判断选项即可. 详解】对于A：只从男生中选择4人，有种，故A错误； 对于B：如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么在剩下的8人中任选2人，共有种选法，故B正确； 对于C：如果4人中男生女生各有2人，则共有种，故C错误； 对于D：从10人中任选4人，共有种选法，排除6名男生任选4人，有种选法， 故4人中至少有一名女生的选法有种，故D正确； 故选：BD. 10. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，设事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ） A. B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用古典概型、和事件、相互独立事件及条件概率的定义与公式计算即可. 【详解】由题意可知样本空间含个样本点， 事件， 即，故A正确； 显然，故B错误； ， 而只需为奇数，即为奇数，所以， ， 则，故C正确； 易知，则，故D错误. 故选：AC 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，在上单调递增 C. 若关于的方程有两个不等实根，则 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，直接解方程即可；对于B、C，直接求导判定其单调性、最值结合函数图象即可判定正误；对于D，构造差函数，利用导数研究单调性证明即可. 【详解】对于A，当时，， 显然或，故A正确； 对于B，当时，， 显然时，，故B正确； 对于C，易知， 则在上单调递减，在上单调递增， 即，且时，，， 所以要满足题意，需，故C错误； 对于D，由上及题设，易知， 构造， 则 ， 因为，所以，故， 即在上单调递增，， 即，则， 而在上单调递增，且，， 所以，故，故D错误. 故选：AB 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的单调性、极值与最值，结合零点存在性定理或者数形结合是解决零点问题的直接思路，构造差函数是解决极值点偏移的直接思路. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式及标准差的定义计算即可. 【详解】由二项分布的方差公式可知. 故答案为： 13. 已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得出有，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】关于的方程有两个不相等的实数根 关于的方程有两个不相等的实数根， 图象有两个交点， 令， 则， 函数在上为增函数，在上为减函数， 又，当时，， 实数的取值范围是为． 故答案为：． 14. 某单位安排甲、乙、丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有______种． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊元素优先及分类讨论的思想计算即可. 【详解】①若甲安排在周五，则乙有3种安排方法，余下的四人四天种安排方法，合计有种方法； ②同理，若乙被安排在周五，也有72种方法； ③若甲、乙都不被安排在周五， 则甲、乙可选周一、二、四三天中的两天即有种方法， 丙有余下四天中除周五的三天可选，即3种方法， 余下三人安排余下的三天，有种方法，合计有种方法， 综上不同的安排方法共种. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用特殊元素优先，先考虑周五安排方案，结合讨论甲、乙、丙三位的安排情况计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中． （1）求展开式中各项系数之和； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）2187 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法计算即可； （2）先利用二项式展开式通项公式确定有理项，再利用插孔法计算概率即可； （3）设第项系数最大，建立不等式组计算即可. 【小问1详解】 令，可得展开式中各项系数之和为． 【小问2详解】 因为，，1，2，…，7， 所以当，3，5，7时为有理项， 由插空法可得有理项不相邻的概率为． 【小问3详解】 设第项系数最大， 则， 即， 解得， 故此时， 故所求系数最大的项是第6项，为． 16. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. （1）求第2次摸到红球的概率； （2）对于事件，当时，证明：； （3）利用（2）中的结论，求第次都摸到红球的概率. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式求解； （3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可. 【小问1详解】 记事件“第次摸到红球”，则第2次摸到红球的事件为， 由题意可得，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以，得证； 【小问3详解】 由题意可知，， 由（2）中结论， 可得. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可对分类讨论求解单调性， （2）将问题转化为有两个不同的实数根，构造函数，求解函数单调性，即可结合两函数图象交点情况求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，函数在R上是增函数， 当时，令，得，即， 当，，函数的减区间为， 当，，函数的增区间， 【小问2详解】 由得， 所以． 令，得． 设，；则， 令，即，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减． 分别作出函数与的图象，如图所示， 由图象可知，时，解得，函数有两个极值点， 所以当时，函数两个极值点． 18. 强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （1）若数学组的7名学员中恰有4人来自中学，从这7名学员中随机选取4人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 【答案】（1）分布列见解析， （2）甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值． 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解， （2）根据相互独立事件乘法公式可得，即可利用二次函数的性质求解最值. 【小问1详解】 的所有可能取值是1，2，3，4． ，， ，， 所以的分布列是 1 2 3 4 P 数学期望是． 【小问2详解】 设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件A，则 ， 由，得． 令，因为，，所以， 所以，设，则， 因为，当时，取得最大值． 所以，当时，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值． 19. 已知函数，． （1）当时，证明：在上恒成立； （2）当时，证明：，； （3）是希腊字母，即的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于，如．证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明； （2）利用二倍角公式，结合换元法化简变形为证明，构造函数利用导数计算即可； （3）两边同时取对数变形为证，再利用进行适当的放缩，结合等比数列的求和公式计算即可. 【小问1详解】 时，令， 则，当且仅当，时等号成立， 所以在上单调递减，即， 所以，证毕； 【小问2详解】 时，，令， 即证， 令， 则， 易知，所以， 则，所以在是增函数，成立， 所以，成立，证毕； 【小问3详解】 要证， 即证， 令（），则， 所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以， 所以， 所以． 【点睛】思路点睛：第二问利用二倍角公式化简为证，构造函数利用导数研究其单调性及最值即可证明；第三问，两边同时取对数，结合第一问及常用的放缩，适当放缩即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$