6.1 平面向量的概念课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.1　平面向量的概念 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.通过对力、速度、位移的分析,了解向量的实际背景,理解向量的概念. 2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念. 3.理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　向量的概念 1.向量:在数学中,我们把既有　　　　又有　　　　的量叫做向量. 在物理上称为矢量 2.数量:把只有　　　　没有　　　　的量称为数量.    　　　　　 在物理上称为标量 名师点睛 向量不能比较大小,这是因为向量是由大小和方向两方面确定的.向量的大小是代数特征,方向是几何特征. 大小 方向 大小 方向 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)向量既有代数特征又有几何特征,大小是其代数特征,方向是其几何特征.(　　) (2)物理量如速度、位移、加速度、力都是向量.(　　) (3)物理量如密度、质量、温度、功都是数量.(　　) √ √ √ 2.在物理上,位移和距离这两个量有什么不同? 提示 位移既有大小又有方向,距离只有大小没有方向. 知识点2　向量的几何表示及相关概念 1.　　　　　　　的线段叫做有向线段.通常在有向线段的　　　　处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作　　　　,线段AB的长度也叫做有向线段 的长度,记作 .  2.有向线段的三个要素:　　　　、　　　　、　　　　.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.  3.向量 的大小称为向量 的　　　　(或称　　　),记作　　　　.  4.长度为　　　　的向量叫做零向量,记作0.  书写时不要忘记箭头,要写成 具有方向 终点 起点 方向 长度 长度 模 0 5.长度等于　　　　个单位长度的向量,叫做单位向量.  6.向量也可以用字母a,b,c,…表示. 名师点睛 1.表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面. 2.零向量的长度为0,方向不确定. 3.单位向量只规定了向量的大小(模长为1),并没有规定向量的方向,所以同一起点的单位向量有无数个,它们的终点构成一个单位圆. 1 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)用有向线段表示向量,使向量有了直观形象.(　　) (2)有向线段 和有向线段 的长度相等.(　　) (3)零向量没有方向.(　　) (4)单位向量的模等于1个单位长度.(　　) 2.向量可以比较大小吗? √ √ × √ 提示 向量既有大小又有方向,不能比较大小,但向量的模可以比较大小. 知识点3　相等向量与向量共线 1.方向　　　　　　　的　　　　向量叫做平行向量.向量a与b平行,记作　　　　　　.平行向量也叫做共线向量.  2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a. 3.　 　　相等且　 　　相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记作　　　　　.  名师点睛 向量平行(共线)的认识 (1)零向量与任意向量平行(规定); (2)两个非零向量共线时,它们的方向相同或相反. 相同或相反 非零 a∥b 长度 方向 a=b 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两个向量的大小相等,这两个向量就相等.(　　) (2)若两个向量是共线向量,则表示这两个向量的有向线段所在的直线可以平行,也可以重合.(　　) 2.若表示两个平行向量的有向线段有相同的起点,那么它们是否一定有相同的终点? × √ 提示 不一定,只有当两个平行向量相等时,它们才有相同的终点. 3.如图,在四边形ABCD中,如果 ,那么四边形ABCD是平行四边形吗? 重难探究·能力素养全提升 探究点一　　平面向量的相关概念 【例1】 下列说法中正确的是(　　) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 D 解析 不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确. 规律方法　明确向量及其相关概念的联系与区别 (1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关. (2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,起点、方向、长度.只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个,大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关. (3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的,零向量的方向是任意的. (4)平行向量也叫向量共线,当两向量共线的方向相同且模相等时,两向量为相等向量. (5)向量之间不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 变式训练1给出以下说法:①若 ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;②零向量的长度为零,方向是任意的;③有向线段就是向量;④单位向量大于零向量.其中正确说法的序号是　　　 .  ② 解析 A,B,C,D可能共线,故①错误;由零向量的定义可知②正确;有向线段可以用来表示向量,但它不是向量,故③错误;单位向量的模大于零向量的模,但不能说单位向量大于零向量,向量之间不能比较大小,故④错误. 探究点二　　平面向量的表示 【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量: 规律方法　1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点. 2.注意事项:在书写字母表示向量时不要忘记字母上的箭头. 变式训练2在蔚蓝的大海上,有一艘巡逻船在执行巡逻任务.它首先从点A出发向西航行了200 km到达点B,然后改变航行方向,向西偏北50°航行了400 km到达点C,最后又改变航行方向,向东航行了200 km到达点D.此时,它完成了此片海域的巡逻任务. 探究点三　　寻找相等向量和向量共线 【例3】 如图所示,四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量的起点和终点,则与 平行且长度为2 的向量有哪些?(在图中标出相关字母,写出这些向量) (2)本例中,如图所示,与向量 相等的向量有多少个? 规律方法　相等向量与向量共线的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与已知向量长度相等的向量,再确定哪些与已知向量同向. (2)寻找向量共线:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念:零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量). 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:零向量和单位向量的方向容易混淆. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.下列结论正确的个数是(　　) ①温度含零上和零下,所以温度是向量; ②向量的模是一个正实数; ③若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量; ④若|a|>|b|,则a>b. A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析 ①错误,温度只有大小,没有方向,是数量不是向量;②错误,0的模等于0;③正确;④错误,向量不能比较大小. 1 2 3 4 5 2.(多选题)下列说法错误的为(　　) A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的起点相同 ABC 1 2 3 4 5 解析 对选项A,这两个向量的方向可能相反,故选项A错误;对选项B,这两个向量只要方向和大小分别相同即可,起点也可以不同,故选项B错误;对选项C,向量 所在的直线也可以重合,故选项C错误;选项D正确.故选ABC. 1 2 3 4 5 3.设点O是等边三角形ABC的中心,则向量 是　　　　　.(填上正确的序号)  ①平行向量;②模相等的向量;③相等向量. ② 1 2 3 4 5 4.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则 =　　　　　.  1 2 3 4 5 5.如图,在正方形ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有有向线段表示的向量中,相等的非零向量共有多少对? 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 　 || 　书写用,… 提示 是平行四边形.因为,所以AB∥DC,AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形. (1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向; (2),使||=4,点B在点A正东方向; (3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向. 解 如图中的. (1)作出; (2)求||. 解 (1)如图所示,作出. (2)由题意知AB∥CD,AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC=400 km,所以||=400 km. 解 如图所示,满足与平行且长度为2的向量有,共8个. 变式探究(1)本例中,与向量同向且长度为2的向量有几个? 解 与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半,共4个. 解 图中每个小正方形的对角线所在的向量中,与向量方向相同的向量与其相等,共有8个(不包括本身). C.若,则一定有直线AB∥CD D.若向量共线,则点A,B,C必在同一直线上 与向量 解析 由点O是等边三角形ABC的中心,知点O到三个顶点A,B,C的距离相等,但三个向量的方向既不相同也不相反,所以的模相等. 解析 易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1. 在Rt△ABO中,易得||=,则||=2||=2. || 2 解 不妨设AB=2,则MN=2,AM=MB=CN=ND=1,连接AN,DM,MC,BN,图略,则AN=DM=MC=BN=. (1)模为1的相等向量有12对,其中与相等的有,这4个向量组成相等的向量有6对,即. 同理,组成相等的向量也有6对. (2)模为2的相等向量共有8对,. (3)模为的相等向量共有4对,. 综上,在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有有向线段表示的向量中,相等的向量共有24对. $$