精品解析：安徽省马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期数学期中考试试题

马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期期中考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2．请将答案填写在答題卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象在点处的切线方程是，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线斜率可得，将代入切线方程求得，代入求得结果. 【详解】由切线斜率可知： 又在切线上 本题正确选项： 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，关键是明确在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题． 2. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 它的展开式共计有9项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 3. 函数的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. 【详解】由题得. 令， 令， 所以函数f(x)的增区间为，减区间为， 所以函数的最大值为. 故选B 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 5. 设函数，则 A. 的极大值点在（－1，0）内 B. 的极大值点在（0，1）内 C. 的极小值点在（－1，0）内 D. 的极小值点在（0，1）内 【答案】A 【解析】 【分析】 求得函数的导数，然后得出函数的单调区间，由此判断出极大值点和极小值点的位置. 【详解】依题意，，令，解得.当或时，，当时，，故函数在时取得极大值，在时取得极小值.故A选项正确.所以本小题选A. 【点睛】本小题主要考查乘法的导数运算，考查利用导数求函数的极大值点和极小值点的方法，属于基础题. 6. 某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（ ）种 A. 144 B. 192 C. 216 D. 324 【答案】C 【解析】 【分析】先排音乐节目，则舞蹈节目位置只能排在3、4、5，再排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得. 【详解】①先排3个音乐节目有种排法，共6种排法； ②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共种排法； ③再排3个曲艺节目，共种排法； ∴由分步乘法记数原理有种排法． 故选：C． 7. 为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 68种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案. 【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况: ①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法. ②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法. 故一共有：36种分配方法. 故选：B. 8. 已知不等式恰有2个非负整数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求. 【详解】原不等式等价于， 设，， 等价与函数在图象下方的整数解恰有2个， 函数的图象是恒过的直线， ，则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减，且， 做出和的图象可知，当时，符合题意的解的个数大于2个， 所以，从图中可看到一个解是，则另外一个解是，且， 因为，所以在可取等号， ，解之可得 故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案. 【详解】直线的斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由的导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数之和为 C. 存在常数项 D. 的系数为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，令可得；对B，由可判断；对C，求出通项公式，令的指数为0，求解可判断；对D，令的指数为4可求出. 【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，二项式系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，即常数项为第四项，故C正确； 对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查二项展开式的应用，解题的关键是正确求出二项展开式的通项公式. 11. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断A；令，可得，即可判断B；令，可得，即可判断C；令，可得，即可判断D. 【详解】对任意实数x有 ， 所以，故A正确； 令，可得，故B不正确； 令，可得，故C正确； 令，可得，故D正确． 故选：ACD． 12. 已知函数，，则（ ） A. 函数在上无极值点 B. 函数在上存在唯一极值点 C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】求出，根据函数的单调性可判断项；求出，根据函数的单调性可判断项；根据中结论，知对任意，不等式恒成立，等价于，设，根据函数的单调性与最值可判断项；若，则，且，所以，设，，根据函数的单调性与最值可判断项. 【详解】对于，， 设，则 ， 令，得，令，得， 所以即在单调递增，在单调递减， 故， 所以在单调递增，在上无极值点，故项正确； 对于，， 设，则, 令，得，令，得， 所以即在单调递增，在单调递减， 故， 所以在单调递增，在上无极值点，故错误； 对于，由知函数在单调递增， 因为对任意，不等式恒成立，所以恒成立，即. 令，则，令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减，故， 所以，故错误； 对于，若，则， 因为，所以，， 因为，所以. 当时，，设，，则， 令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减，故， 此时，故的最大值为,故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查导数与函数的单调性，最值问题.常见判断函数单调区间的方法有： （1）利用导数直接求解单调区间（不含参问题）； （2）分类谈论法求解单调区间（含参问题）； （3）二导法求解单调区间，针对一阶导数无法判断正负情形应用. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 计算：＋＋＋＝________. 【答案】210 【解析】 【分析】利用组合数及性质即得. 【详解】 . 故答案为：. 14. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 所以曲线在点处的切线斜率为. 故答案为：. 15. 已知，则________． 【答案】1013 【解析】 【分析】先求出，再求出各项的系数和， 设函数，对其求导后再求出 ，然后计算可得答案. 【详解】令，得, 令，得，则①; 设， 则， 令，得②． 由②-①，得． 故答案为：1013 16. 已知函数的定义域为，为单调函数且对任意的都有，若方程有两解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，方程化简得，变形得，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，作出图像，数形结合可得解. 【详解】令，则，所以， 又，所以，解得，可得 方程化简得，变形得 令，求导，令，解得 当时，，函数是单调增函数； 当时，，函数是单调减函数； 所以当时，函数有最大值，当时，；当时， 作出函数的图像，如图所示 由图可知，实数的取值范围是 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列. （1）求展开式中含有项的系数； （2）求展开式中的有理项. 【答案】（1）； （2）有理项：. 【解析】 【分析】（1）根据展开式通项公式，写出前三项的系数，再由三者成等差数列可求出；然后写出展开式通项，令的指数为1，求出参数的值，代入通项即可得解； （2）设展开式中第项为有理项，可知，求出的可能取值，代入通项即可得解. 【小问1详解】 展开式的通项为， ∵前3项的系数成等差数列，且前三项系数为， ∴，即，可得（舍去）或. 二项式展开式的通项为. 令，得，故含有项的系数为； 【小问2详解】 设展开式中第项为有理项，则，则时对应的项为有理项， 有理项分别为. 18. 已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题． （1）求a的值； （2）求的单调区间． 【答案】（1）任选①或②，； （2）单调递减区间为和，单调递增区间为． 【解析】 【分析】（1）选①，求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得函数在处得到函数值为0，即可得出答案；选②，根据函数的图象在处的切线方程为，即函数在处得导数值为3，即可的解； （2）由（1）得，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案. 【小问1详解】 选①． 由题意知，， 依题意得，， 即，经检验符合题意． 选②． 由题意知，， 因为函数的图象在处的切线方程为， 所以，得． 【小问2详解】 由（1）得， ， 令得，或， 列表： -1 3 - 0 + 0 - 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． 19. 从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问： （1）能组成多少个不同的四位数？ （2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？ （3）两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示） 【答案】（1）216 （2）108 （3）108 【解析】 【分析】（1）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将取出的四个数全排列，最后利用分步计数原理求解； （2）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，最后利用分步计数原理求解； （3分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，最后利用分步计数原理求解. 【小问1详解】 解：分三步完成： 第一步，取两个偶数，有种方法， 第二步，取两个奇数，有种方法， 第三步，将取出的四个数全排列，有种方法， 由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数； 【小问2详解】 解：分三步完成： 第一步，取两个偶数，有种方法， 第二步，取两个奇数，有种方法， 第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有种方法， 由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数； 【小问3详解】 解：分三步完成： 第一步，取两个偶数，有种方法， 第二步，取两个奇数，有种方法， 第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有种方法， 由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数； 20. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在上的最值； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为1 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数后，可得其在上单调性，借助其单调性计算即可得其最值； （2）求出导函数后，分及讨论函数单调性后，结合零点的存在性定理判断即可得. 【小问1详解】 由得，所以， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以，又，， 所以；即在上的最大值为，最小值为1． 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，即在上单调递增，不可能有两个零点； 当时，若，则； 若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增； ， 为使有两个零点，必有，即； 又， 令，，则在上恒成立， 即在上单调递增， 所以，即， 所以根据零点存在性定理可得，存在，使得； 又， 根据零点存在性定理可得，存在，使得， 综上，当时，函数有两个零点． 21. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求实数的值； （2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据极值点对应的导数值为零求解出的可取值，然后检验的取值下在处是否取极大值，由此确定出的值； （1）先将问题转化为“时，”，再通过换元将问题转化为“恒成立”，然后构造函数，采用分类讨论的方法分析的最小值与的关系，由此求解出的值. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处取极大值，所以，所以，所以 当时，， + 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以在处取极大值，符合题意； （2）当时， ，． 又因为对，不等式，所以时，， 所以时，， 令，因为为上的增函数，且的值域为，所以， 故问题转化为“恒成立”，不妨设，所以， 当时，，所以在上单调递增，且， 所以当时，，这与题意不符； 当时，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以，所以， 记， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 又因为，即，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法： （1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围； （2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集. 22. 已知数列满足，． （1）试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项． （2）如果时，数列的前项和为．试求出，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，变形为，令，利用等比数列的定义求解； （2）由，得，则，再利用错位相减法求解，进而由，得到，则，利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 解：， ， 令，则， ， 当时，，则． 数列0，0，…不是等比数列． 当时，数列不是等比数列； 当时，，则数列是等比数列，且公比为2． ， 即． 解得. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， ． 令，① 则，② 由①②： ， ， 则． ， 当时，，则． ， 则． 因此，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期期中考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2．请将答案填写在答題卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象在点处的切线方程是，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 3. 函数的最大值为 A. B. C. D. 4. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则 A. 的极大值点在（－1，0）内 B. 的极大值点在（0，1）内 C. 的极小值点在（－1，0）内 D. 的极小值点在（0，1）内 6. 某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（ ）种 A. 144 B. 192 C. 216 D. 324 7. 为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 68种 D. 84种 8. 已知不等式恰有2个非负整数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数之和为 C. 存在常数项 D. 的系数为12 11. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，，则（ ） A. 函数在上无极值点 B. 函数在上存在唯一极值点 C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 计算：＋＋＋＝________. 14. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为______． 15. 已知，则________． 16. 已知函数的定义域为，为单调函数且对任意的都有，若方程有两解，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列. （1）求展开式中含有项的系数； （2）求展开式中的有理项. 18. 已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题． （1）求a的值； （2）求的单调区间． 19. 从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问： （1）能组成多少个不同的四位数？ （2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？ （3）两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示） 20. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在上的最值； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 21. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求实数的值； （2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值． 22. 已知数列满足，． （1）试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项． （2）如果时，数列的前项和为．试求出，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $