4.4.2计算函数零点的二分法课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4．4.2　计算函数零点的二分法 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点一　二分法 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆，如图所示．工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的中点D测试，如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法． 要点二　用二分法求函数零点近似值的一般操作方法 设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0|≤ε. (1)在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0； (2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)； (3)如果|m－a|＜ε , 则取m为f(x)的零点近似值，计算终止； (4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止； (5)f(m)与f(a)同号则令a＝m，否则令b＝m，再执行(2)． 状元随笔　二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 基础自测 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）用二分法可求所有函数零点的近似值．（　　） （2）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．（　　） （3）用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．（　　） （4）用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间．（　　） × √ √ √ 2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（　　） 答案：C 解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选C. 3．用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（　　） A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4 答案：B 解析：由题意可知函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|＜0.1. 故选B. 4．已知函数y＝f（x）在区间（2，4）上连续，验证f（2）·f（4）＜0，取区间（2，4）的中点x1＝＝3，计算得f（2）·f（x1）＜0，则此时零点所在的区间为　　　　． (2，3) 解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2，3)内． 题型探究 课堂解透 题型1　二分法的概念应用 例1　（1）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（　　）   （2）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是　　　　． 答案：(1)B　(2)(1，2) 解析：(1)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点． 故选B. (2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2). 方法归纳 二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 跟踪训练1　（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（　　） A．f（x）＝3x－1 B．f（x）＝x2－2x＋1 C．f（x）＝log4x D．f（x）＝ex－2 答案：ACD 解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD. 题型2　用二分法求函数零点的近似值 例2　用二分法求函数f（x）＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．（精确度0.01） 解析：经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0. 取(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0， 因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)， 如此继续下去，如下表：   因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01， 所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125. 区间 中点值 中点函数近似值 (1，1.5) 1.25 －0.30 (1.25，1.5) 1.375 0.22 (1.25，1.375) 1.312 5 －0.05 (1.312 5，1.375) 1.343 75 0.08 (1.312 5，1.343 75) 1.328 125 0.01 (1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 －0.02 方法归纳 （1）用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）. ②取区间端点的平均数c，计算f（c），确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． （2）二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口． 跟踪训练2　根据下表，用二分法求函数f（x）＝x3－3x＋1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度为0.1）是（　　） f（1）＝－1 f（2）＝3 f（1.5）＝－0.125 f（1.75）＝ 1．109 375 f（1.625）≈ 0．416 015 63 f（1.562 5）≈ 0．127 197 27 A.1.75 B．1.625 C．0.127 197 26 D．1.562 5 答案：D 解析：因为f(1.5)＝－0.125＜0.f(1.562 5)≈0.127 197 27＞0，f(x)在(1，2)上是连续的，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5＜0.1，所以区间[1.5，1.562 5]中的任何一个值可作为函数f(x)在区间(1，2)上零点的近似值．故选D 题型3　用二分法求方程的近似解 例3　用二分法求2x＋x＝4在区间（1，2）内的近似解（精确度0.2）. 参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解析：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0. ∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2， ∴2x＋x＝4在(1，2)内的近似解可取为1.375. 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33＞0 (1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37＜0 (1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035＜0 (1.375，1.5)     方法归纳 用二分法求方程的近似解的方法 对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解． 跟踪训练3　用二分法求函数f（x）＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： x 1.600 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0 f（x）的近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解（精确度为0.01）可取　　　　． 答案：1.56 解析：由题中图表可知f(x)＝3x－x－4的零点在1.556 2和1.562 5之间，方程3x－x－4＝0的近似解在1.556 2和1.562 5之间，由题意知近似解要精确到0.01，所以方程3x－x－3＝0的近似解为1.56. 　易错辨析：精确度理解不正确致误 例4　用二分法求方程x2－5＝0的一个近似解（精确度为0.1） 解析：令f（x）＝x2－5，因为f（2.2）＝－0.16＜0，f（2.4）＝0.76＞0，所以f（2.2）·f（2.4）＜0，所以函数f（x）在区间（2.2，2.4）内有零点，设为x0.取区间（2.2，2.4）的中点x1＝2.3，f（2.3）＝0.29＞0，因为f（2.2）·f（2.3）＜0，所以x0∈（2.2，2.3）. 再取区间（2.2，2.3）的中点x2＝2.25，f（2.25）＝0.062 5＞0， 因为f（2.2）·f（2.25）＜0，所以x0∈（2.2，2.25）. 因为|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的一个近似正解可取为2.25. 易错警示 易错原因 纠错心得 误认为精确度是|f（a）－f（b）|＜ε，导致错误． 利用二分法求方程的近似解时，要随时检验区间（a，b）的长度与精确度ε的关系，一旦有|a－b|＜ε，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解． 课堂十分钟 1．用二分法求如图所示函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（　　）   A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 答案：C 解析：用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同． 故选C. 2．用二分法求函数f（x）＝2x－3的零点时，初始区间可选为（　　） A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 答案：C 解析：因为f(－1)＝2－1－3＝－<0， f(0)＝20－3＝－2<0， f(1)＝2－3＝－1<0， f(2)＝22－3＝1>0， f(3)＝23－3＝5>0， 又因为f(1)·f(2)<0， 所以f(x)＝2x－3的零点x0∈(1，2)． 故选C. 3．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（　　） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定 答案：B 解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点．又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点．由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内． 故选B. 4．用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上的近似零点（精确度为0.01），验证f（2）·f（4）＜0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f（2）·f（x1）＜0，则此时零点x0所在的区间是　　　　. (2，3) 解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0， ∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2，3)． 5．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解（精确度为0.1）的不完整的过程，请补充完整，并写出结论． 设函数f（x）＝x3＋3x－5，其图象在（－∞，＋∞）上是连续不断的一条曲线． 先求值，f（0）＝　　　　，f（1）＝　　　　，f（2）＝　　　　，f（3）＝　　　　Ｗ． 所以f（x）在区间　　　　内存在零点x0.填表： 区间 中点m f（m）的符号 区间长度                                 解析：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31， f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为 区间 中点m f(m)的符号 区间长度 (1，2) 1.5 ＋ 1 (1，1.5) 1.25 ＋ 0.5 (1，1.25) 1.125 － 0.25 (1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125 (1.125，1.187 5) 1.156 25 ＋ 0.062 5 因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1， 所以原方程的近似解可取为1.187 5. $$