4.5.2形形色色的函数模型课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4．5.2　形形色色的函数模型 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点一　几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数a≠0） 反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数且k≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 指数型函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数， b≠0，a＞0且a≠1） 对数型函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数， b≠0，a＞0且a≠1） 幂函数型模型 f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0） 要点二　数学建模的步骤 (1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息．根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设． (2)建立数学模型：在上述基础上，利用恰当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构． (3)求得数学问题的解． (4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和实用性． 状元随笔　建立函数模型解决实际问题的基本思路 基础自测 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）实际问题中两个变量之间一定有确定的函数．（　　） （2）解决某一实际问题的函数模型是唯一的．（　　） （3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．（　　） （4）对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．（　　） × × × √ 2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　) A．200副　　B．400副 C．600副 D．800副 答案：D 解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0. 解得x≥800. 故选D. 3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 答案：B 解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元). 故选B. 4．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若这种动物第一年有100只，则到第15年会有　　　只． 400 解析：当x＝1时，y＝100 代入y＝alog2(x＋1)可得100＝alog22＝a ∴a＝100 ∴y＝100log2(x＋1) ∴当x＝15时，100log216＝400. 题型探究 课堂解透 题型1　二次函数模型的应用 例1　科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润p(单位：万元)与投入的月研发经费x(15≤x≤40，单位：万元)有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，p＝－x2＋8x－90；当投入月研发经费高于36万元时，p＝0.4x＋54.对于企业而言，研发利润率y＝×100%，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小． (1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围． 解析：(1)由已知，当15≤x≤36时， y＝＝－x－＋8≤8－2＝2. 当且仅当x＝，即x＝30时，取等号； 当36<x≤40时，y＝＝0.4＋. 因为y＝0.4＋在(36,40]上单调递减，所以y<0.4＋＝1.9 因为2>1.9，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%. (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%， 由(1)可知，此时月研发经费15≤x≤36. 于是，令y＝－x－＋8≥1.9， 整理得x2－61x＋900≤0，解得25≤x≤36. 因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是. 方法归纳 二次函数模型解题思路 二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． 跟踪训练1　有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？ 解析：设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元． 所以Q1＝x，Q2＝. 所以y＝x＋ (0≤x≤3)， 令t＝ (0≤t≤)，则x＝3－t2. 所以y＝ (3－t2)＋t＝－＋. 当t＝时，ymax＝＝1.05(万元)， 即x＝＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元). 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元． 题型2　指数函数模型 例1 (1)　酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6 mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（　　） （参考数据：lg 3≈0.477） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 解析：设他至少经过t小时才可以驾车， 则0.6×100(1－10%)t＜20， 即3×<1，即t×lg＜lg， 所以t＞≈10， 所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车， 故选B. (2)　有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差（参考数据：lg 2＝0.30，31.2＝3.74，31.4＝4.66）. （1）当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min? （2）当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ （3）若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 解析：(1)由题意，x0＝2，x＝8 100，得v＝－lg 2＝1.7，故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得0＝－lg 5，即＝2lg 5解得x＝466，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位． (3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2， 由题意得： 两式相减可得1＝log3()， 解得＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 方法归纳 指数型函数在实际问题中的应用：解析式可以表示为y＝N（1＋p）x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．本节中，我们给出指数型函数模型y＝max＋b（a＞0，a≠1，m≠0），有关人口增长、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示． 跟踪训练2 (1)　某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为（　　） A．y＝360× B．y＝360×1.04x C．y＝ D．y＝360× 答案：D (2)　某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是　　　　．（参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845） ①y＝0.025x； ②y＝1.003x； ③y＝1＋log7x； ④y＝x2. ③ 解析：由题意知，符合公司要求的模型只需满足： 当x∈[10，1 000]时， (ⅰ)函数为增函数； (ⅱ)函数的最大值不超过5； (ⅲ)y≤x·25%＝x， ①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x>200时，y>5不满足公司要求； ②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x>600时，y>5不满足公司要求； ③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋log71 000＝1＋<5，且1＋log7x≤x恒成立，故满足公司要求； ④中，函数y＝x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求． 题型3　建立拟合函数模型解决实际问题 例3　某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%. （1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx ＋5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7）. （2）若采用函数f（x）＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 解析：(1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)，x＝100时，y＝9，代入解得k＝，所以y＝lg x＋＋5.当x∈[50，500]时，y＝lg x＋＋5是递增的，但x＝50时，y＝lg 50＋6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求． (2)对于函数模型f(x)＝＝15－，a为正整数，函数在[50，500]上递增；f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x，即x∈[50，500]恒成立，所以a≥315.综上所述315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315. 方法归纳 函数拟合与预测的一般步骤 （1）根据原始数据、表格，绘出散点图． （2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． （3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． （4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 跟踪训练3　某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f（x）（万件）之间的关系如下表所示：   若f（x）近似符合以下三种函数模型之一：f（x）＝ax＋b，f（x）＝2x＋a，f（x）＝logx＋a. 找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式． x 1 2 3 4 f（x） 4.00 5.58 7.00 8.44 解析：符合条件的是f(x)＝ax＋b，理由如下： 若模型为f(x)＝＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合． 若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知数据相差太大，不符合． 由已知得解得所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N*. 易错辨析　忽略题目中的限制条件致误 例4　某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为升，其中k为常数，且60≤k≤100. (1)若汽车以120千米/时的速度行驶，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围． (2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值． 解析：(1)由题意得当x＝120时，＝＝11.5，解得k＝100. 由≤9，即x2－145x＋4 500≤0， 解得45≤x≤100.又因为60≤x≤120，所以60≤x≤100， 即每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]. (2)设该汽车行驶100千米油耗为y升，则 y＝·＝20－(60≤x≤120)， 令t＝，则t∈， 即有y＝90 000t2－20kt＋20＝90 000＋20－， 对称轴为直线t＝， 由60≤k≤100，可得∈， ①若，即75≤k≤100， 则当t＝，即x＝时，ymin＝20－； ②若＜，即60≤k＜75，则当t＝，即x＝120时，ymin＝. 答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；当60≤k＜75时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升． 易错警示 易错原因 纠错心得 忽视自变量的取值范围，特别是运用换元法求二次函数的最值时易忽视新元范围，直接得出t＝时，ymin＝20－，导致漏解． 解答函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义． 课堂十分钟 1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　) A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*) 答案：D 解析：由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次， 则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8 ＝0.5x＋1 600－0.8 x ＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*). 故选D. 2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是（　　） A．10% B．15% C．18% D．20% 答案：D 解析：设平均每次降价的百分率为x，则2000·(1－x)2＝1280，所以x＝20%. 故选D. 3．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约是（lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－1.045 8）（　　） A. 2025年 B．2021年 C. 2020年 D. 2018年 答案：B 解析：设2005年总值为a，经过x年翻两番． 则a·(1＋9%)x＝4a，所以x＝＝≈16. 故选B. 4．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是________． 答案：x＝ 解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，即x＝. 5．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y＝f的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解析：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3， ∵x是整数，∴3≤x≤6，x∈Z； 当x>6时，y＝[50-3(x-6)]·x－115＝－3x2＋68x－115， 令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20，x∈Z. ∴f(x)＝； (2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，显然当x＝6时，ymax＝185； 对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋ (6<x≤20，x∈Z) 当x＝11时，ymax＝270. ∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． 解析：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，一年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为，2年后，人均占有粮食产量为，…，x年后，人均占有粮食产量为，即所求解析式为y＝360×. $$