辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高三8月模拟预测数学试题

2024-2025（上）8月月度质量监测暨第零次诊断测试 高 三 数 学 参考答案及解析 【命题单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A D B B D A D ACD AC ABD 1． 【详解】因为集合，， 所以， 所以集合的子集为，共四个. 2． 【详解】由，可得， 3. 【详解】在椭圆中，，，则， 易知该椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的焦点的坐标为，. 4． 【详解】解：根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里， 此时只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可； 将11个球排成一列，排好后，有10个空位， 在10个空位中任取2个，插入挡板，有种方法，即有45种将11个球分为3组的方法， 将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数， 则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种， 5． 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得， ，， 设上底面面积为，下底面面积为， 则体积为. 6． 【详解】因为函数为R上的奇函数，所以， 又当时，，所以， 所以， 故选：D. 7． 【详解】，，且， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以， 即， . 8． 【详解】对于A，由已知得，即，故不关于对称，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，故C错误； 对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，故D正确； 9． 【详解】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对； 对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错； 对于C，由方差， 可得，即此组数据众数唯一，C对； 对于D，， ，D对. 10． 【详解】A选项，依题意，抛物线的准线方程为，即，所以， 即抛物线的方程为，则抛物线的焦点为. 设直线的方程为，，， 联立消去整理得恒成立， 则， 则，， 又因为线段为的直径，与的准线相切于点， 所以 ， 整理得， 即， 即，解得，所以直线的方程为，所以A正确； B选项，因为垂直于准线，且，所以点的纵坐标为， 代入直线的方程，即，解得， 可得点，所以B错误； C选项，根据抛物线的定义可得，所以的半径为， 所以的周长为，所以C选项正确； D选项，圆心到直线的距离为， 所以直线与相交，不相切，所以D错误. 11． 【详解】对于A，由题意得，则 ， 当 时，，递增 ，当 时，，递减， 由于，所以，即， 整理得，即，所以，故正确； 对于B，由于，由于当 时，递减，故 ， 即，即， 因为 ， 故，即， 综上，，故B正确； 对于C，因为，即，即， 设 ，由于当 时，递增 ，当 时， 递减， 故单调减函数，故，即， 由于，不妨设， 则 ，即，故C错误； 对任意两个正实数，且，若，不妨设 ， 即，设，则， 则，， 分析法知：要证目标不等式只需 ， 设 令 ，则， 即为单调增函数，故， 即成立，故，所以，即，故D正确， 12．/ 【详解】因为为锐角， 所以，则. 13． 【详解】因为，， 所以 在上的投影向量为， 14．①②③④ 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，， 又平面，所以平面平面，所以①②正确； 进一步三棱锥的体积为，所以③正确； 设三角形的外心为，过作平面， 则三角形的外接圆的半径为， 设为三棱锥外接球的球心， 则，，所以， 所以，解得， 所以外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为，所以④正确． 15．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为 ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 共有24种情况． 恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为 ，，，，，， 故其概率为． （2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为 ，，，，，，， 故其概率为． （3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为 ，，，，，， ，，， 故其概率为． 16．（1）证明：因为为的中点，可得， 又因为平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. （2）证明：因为为的直径，点是上的点，所以， 又因为垂直于所在的平面，且在所在的平面内，所以， 又由且平面，所以平面， 又因为，所以平面. 17．(1)极大值为；极小值为；(2). 【详解】（1）当时，， 则定义域为，； 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减； 的极大值为；极小值为. （2）假设与相切于点， ， ，即， 又， ，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即有唯一解：， ，解得：. 18．(1)；(2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上， 于是，双曲线C的方程为，即， 所以双曲线C的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设， 由消去y并整理得， 有，且，即且， 有，又， ，由，得， 整理得， 于是，化简得， 即，解得或，均满足条件， 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾， 当时，直线的方程为，直线过定点； 当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：， 由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点， 综上得直线过定点， 由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径， 所以存在定点，使为定值. 19．（1），，，； （2）见解析； (3)见解析. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以，，， （2）（必要性）当数列是等差数列时，设其公差为d 当时，，所以，所以，， 当，，所以，所以， 当是，，所以，所以， 综上，总有 所以 ，所以数列是等差数列 （充分性）当数列是等差数列时，设其公差为 因为， 根据，的定义，有以下结论： ，，且两个不等式中至少有个取等号 当，则必有，所以， 所以是一个单调递增数列，所以，， 所以 所以，即为等差数列 当时，则必有，所以 所以是一个单调递减数列，所以，， 所以 所以，即为等差数列 当， 因为，中必有一个为0， 根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 所以，，所以为常数数列，所以为等差数列 综上，结论得证. （3）假设结论不成立. 因为，即或者， 所以对任意，一定存在，使得，符号相反 所以在数列中存在，，，……，，……，其中 且 ， ， 因为，即， 注意，，且有且仅有一个等号成立， 所以必有 ， 所以，所以 因为，所以，所以 所以 所以 所以 …… 所以 所以 所以， 这与矛盾，所以假设错误， 所以存在，使得，有. 注：具体评分变更信息（分值、答案等）请阅卷教师关注阅卷群。 高三数学答案及解析 第 学科网（北京）股份有限公司 $$ 秘密★启用前 2024-2025（上）8月月度质量监测暨第零次诊断测试 高 三 数 学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 命题人：陈建骐、林晓萍、刘光辉 校题人：刘梦娜、罗鑫、黄伟 【命题单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，.则的子集共有 高三数学 页 学科网（北京）股份有限公司 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知复数，则 A． B． C．2 D． 3．椭圆的焦点的坐标为 A．， B．， C． D．， 4．把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为 A．36 B．45 C．72 D．165 5．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是 A． B． C． D． 6．若函数为R上的奇函数，且当时，，则 A． B． C． D． 7．已知数列满足，，则数列的前100项的和是 A． B． C． D． 8．声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是 A．为的对称轴 B．为的对称中心 C．在区间上有3个零点 D．在区间上单调递增 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．给出下列说法，其中正确的是 A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 10．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于A，B两点，以线段为直径的与的准线相切于点，则 A．直线的方程为 B．点的坐标为 C．的周长为 D．直线与相切 11．已知函数，是自然对数的底数，则 A． B． C．若，则 D．，且，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12．若为锐角，，则 . 13．若向量，，则在上的投影向量为 ． 14．在三棱锥中，已知，，，平面平面，且，则以下结论正确的是 （填序号）． ① ②平面平面 ③三棱锥的体积为 ④三棱锥的外接球的表面积为 四、解答题（本大题共5小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． (1)恰有两名同学拿对了书包； (2)至少有两名同学拿对了书包； (3)书包都拿错了． 16．如图，是圆的直径，点是圆上的点，过点的直线VC垂直于圆所在平面，分别是的中点. 求证： (1)平面； (2)平面. 17．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求实数的值. 18．已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值. 19．记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令 （1）若，请写出的值； （2）求证:“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件； （3）若 ，求证:存在，使得，有. $$