精品解析：广东省江门市新会区尚雅中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（A卷）

2022-2023学年广东省江门市新会区尚雅中学 七年级（下）期末数学试卷（A卷） 一、选择题 1. 四个实数－2，0，－，1中，最小的实数是（ ） A － B. 0 C. －2 D. 1 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 2023年世界泳联跳水世界杯首战于2023年4月14日在西安举行，西安市某校为了调查全校2000名学生对跳水运动的喜爱情况，随机抽取了150名学生进行统计分析，下列描述正确的是（ ） A. 2000名学生是总体 B. 抽取的150名学生是总体的一个样本 C. 样本容量150 D. 本次调查是全面调查 4. 如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小明同学在假期沿着小路的中间行走(图中虚线)，小路宽1米，则小明同学所走的路径长为（ ） A. 98米 B. 100米 C. 123米 D. 75米 5. 如图，已知，现进行如下操作：以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点D，交于点C；分别以点D、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；作射线，连接，可得，其依据是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，平分，于点P，，点Q在上，，则的面积为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 7. 如图，直线 ，，，则（ ） A. 30° B. 35 ° C. 36° D. 40° 8. 如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，在中，，分别以点B，A为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交的延长线于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分线段．其中，正确结论是（ ） A. ①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 用一根小木棒与两根长分别为、的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为__________（写出一个即可） 12. 因式分解： ______ ． 13. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 14. 已知点（3a-9，1-a），将点向左平移3个单位长度后落在y轴上，则点的坐标为_________． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是________ ． 16. 已知不等式组有解，则的取值范围为________． 17. 在一次主题灯光秀展演中，有两条笔直且平行的景观道、上放置、两盏激光灯（如图所示），若光线按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒2°的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转5秒，光线才开始转动，当光线旋转______秒时，． 二、解答题（一） 18. 计算：． 19. 已知，，求： （1）的值； （2）的值． 20. 如图，是的高，是的角平分线，F是中点，，． （1）求的度数； （2）若与的周长差为3，，则_____． 三、解答题（二） 21. 云南鲜花饼以盛开在味蕾里的沁人花香、本真而自然的美好让人食而不忘，成为云南最具特色的伴手礼．某超市现有五种口味的鲜花饼，分别是：A原味，B紫薯味，C抹茶味，D茉莉味，E坚果味．数学兴趣小组为了解人们对这五种口味鲜花饼的喜爱情况，对该超市一天的顾客进行抽样调查，然后根据统计结果绘制如下统计图： 说明：参与本次抽样调查的每一位顾客在上述五种口味的鲜花饼中，选择且只选择了一种喜爱的鲜花饼． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查顾客共有______人，m=______，n=______； （2）补全条形统计图； （3）若该超市这天有3650名顾客，估计喜爱原味鲜花饼的顾客有多少人？ 22. 如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线． （1）画出关于直线/的轴对称图形，并写出点，，的坐标． （2）直线上找一点，使得的周长最短，在图中标记出点的位置． （3）在内有一点，则点P关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含a，b的式子表示）． 23. 习近平主席曾这样谈及他对足球运动的理解：“足球是一项讲究配合的集体运动，个人能力固然重要，但团队合作才是决定比赛结果的关键，”足球教人团结协作、不惧挑战、拼搏奋进．为了响应“足球进校园”的号召，某中学到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球60个，B种品牌的足球20个，共花费4600元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元， （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）随着同学们对足球运动的热爱，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球售价为72元，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？ 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； （2）运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． （3）如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 五、解答题（三） 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O坐标原点，，且a，b满足，连接，． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 26. 教科书中这样写道：“我们把多项式或叫叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式． 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： _________； （2）【解决实际应用】在紧靠围墙的空地上，利用围墙（墙长不限）及一段长为40米的木栅栏，围成一个长方形花圃，此长方形的一边为围墙的一部分，其余三边为木栅栏，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边为x米，试说明x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ （3）【拓展延伸】若，求出a，b的值． 五、解答题（三） 27. 【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年广东省江门市新会区尚雅中学 七年级（下）期末数学试卷（A卷） 一、选择题 1. 四个实数－2，0，－，1中，最小的实数是（ ） A. － B. 0 C. －2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两个负实数绝对值大的反而小的比较方法进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴四个实数中，最小的实数是-2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，牢固掌握实数比较大小的方法是做出本题的关键． 2. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、完全平方公式、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂乘法、完全平方公式、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. ，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 3. 2023年世界泳联跳水世界杯首战于2023年4月14日在西安举行，西安市某校为了调查全校2000名学生对跳水运动的喜爱情况，随机抽取了150名学生进行统计分析，下列描述正确的是（ ） A. 2000名学生是总体 B. 抽取的150名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是150 D. 本次调查是全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查和抽样调查，根据定义逐项判断即可，注意总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：A、2000名学生对跳水运动的喜爱情况是总体，故选项A不符合题意； B、抽取的150名学生对跳水运动的喜爱情况是总体的一个样本，故选项B不符合题意； C、样本容量是150，故选项C符合题意； D、本次调查是抽样调查，故选项D不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小明同学在假期沿着小路的中间行走(图中虚线)，小路宽1米，则小明同学所走的路径长为（ ） A. 98米 B. 100米 C. 123米 D. 75米 【答案】A 【解析】 【分析】由于小路宽1米，小明同学沿着小路的中间行走，则小明同学所走的路径长约为AB+BC+AD-1-1，代入计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知，由于小路宽1米， ∴小明同学所走的路径长约为：AB+BC+AD-1-1=50+25+25-2=98(米)， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，理解平移的意义，掌握平移的性质是解题的关键． 5. 如图，已知，现进行如下操作：以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点D，交于点C；分别以点D、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；作射线，连接，可得，其依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图方法即可利用证明． 【详解】解：由作图方法可知， 又∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，平分，于点P，，点Q在上，，则的面积为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作于D，利用角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式求解． 【详解】解：过点C作于D，如图， ∵，，平分， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积，作辅助线于D是解题的关键． 7. 如图，直线 ，，，则（ ） A. 30° B. 35 ° C. 36° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”． 8. 如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解． 【详解】解：五边形的内角和为（5-2）×180°=540°， 所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°， 如图，延长正五边形的两边相交于点O， 则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°， 360°÷36°=10， ∵已经有3个五边形， ∴10-3=7， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形． 9. 如图，在中，，分别以点B，A为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交的延长线于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分线段．其中，正确结论是（ ） A. ①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据等角对等边可得，再利用三角形的外角性质可得，然后根据题意可得：，，从而可得是的垂直平分线，进而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得，最后再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，从而可得，即可解答． 【详解】解：连接，， ， ， 是的一个外角， ， 由题意得：，， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， 所以，上列结论，其中正确的是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【详解】解：， 则的坐标是， 即的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加是解题的关键． 二、填空题 11. 用一根小木棒与两根长分别为、的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为__________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三根木条的取值范围． 【详解】解：设这根木棒长为， ∵这根木棒与两根长分别为、的小木棒围成三角形， ∴，即， 即的取值范围是，在这一范围内任意长度都可以． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 12. 因式分解： ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式解题关键． 13. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，即可得到答案． 【详解】解：设第三行与第二列交点的数为,根据九宫图的填法， ∴， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数加减法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 14. 已知点（3a-9，1-a），将点向左平移3个单位长度后落在y轴上，则点的坐标为_________． 【答案】（3，-3） 【解析】 【分析】向左平移3个单位则横坐标减去3，纵坐标不变，再根据y轴上点的横坐标为0即可得出答案． 【详解】解：由题意得：3a-9-3=0， 解得：a=4． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．同时考查了y轴上的点的坐标特征． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键． 16. 已知不等式组有解，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】解两个不等式求得的范围，由不等式组有解可得关于的不等式，解之可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为：， 不等式组有解， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17. 在一次主题灯光秀展演中，有两条笔直且平行的景观道、上放置、两盏激光灯（如图所示），若光线按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒2°的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转5秒，光线才开始转动，当光线旋转______秒时，． 【答案】5或 【解析】 【分析】设射线的转动时间为t，由题意得：，当时，则可分：①当射线旋转至过程中时，则有时，②当射线旋转至返回时，即，然后分类求解即可． 【详解】解：由题意可得：最长旋转时间为：（秒）， 设射线的转动时间为t，由题意得：， 当时，则可分： ①当射线旋转至过程中时，则有时，如图， ∵，， ∴ ， 即， 解得：； ②当射线旋转至返回时，即，如图， ∴， ∵，， ∴ ， 即， 解得：； 综上所述：当射线PB旋转的时间为秒或秒时，； 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 二、解答题（一） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，算术平方根的求解，零指数幂，化简绝对值，利用算术平方根的定义，绝对值的性质，零指数幂计算即可． 【详解】解： ． 19. 已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可； （2）根据同底数幂除法的逆运算法则和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【小问1详解】 ∵，． ∴， 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 如图，是的高，是的角平分线，F是中点，，． （1）求的度数； （2）若与的周长差为3，，则_____． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质和三角形的周长的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式和已知条件即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵F是中点， ∴， ∵与的周长差为3，， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（二） 21. 云南鲜花饼以盛开在味蕾里的沁人花香、本真而自然的美好让人食而不忘，成为云南最具特色的伴手礼．某超市现有五种口味的鲜花饼，分别是：A原味，B紫薯味，C抹茶味，D茉莉味，E坚果味．数学兴趣小组为了解人们对这五种口味鲜花饼的喜爱情况，对该超市一天的顾客进行抽样调查，然后根据统计结果绘制如下统计图： 说明：参与本次抽样调查的每一位顾客在上述五种口味的鲜花饼中，选择且只选择了一种喜爱的鲜花饼． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的顾客共有______人，m=______，n=______； （2）补全条形统计图； （3）若该超市这天有3650名顾客，估计喜爱原味鲜花饼的顾客有多少人？ 【答案】（1）200；144；20 （2）见解析 （3）1460人 【解析】 【分析】（1）用B的人数除以对应的百分比即可得到接受调查的顾客总数，用A的百分比乘以即可得到对应的圆心角度数，即可得到m的值，用C的人数除以接受调查的顾客总数即可得到C的百分比，即可得到n的值； （2）用接受调查的顾客总数减去A、B、C、E的人数即可得到D的人数，补全统计图即可； （3）用该超市这天的顾客总数乘以接受调查的顾客中喜爱原味鲜花饼的顾客的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次接受调查的顾客共有（人）． ， ， ∴． 故答案为：200；144；20． 【小问2详解】 （人）． 补全条形统计图如图所示． 【小问3详解】 （人） 答：喜爱原味鲜花饼的顾客约有1460人． 【点睛】此题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，读懂题意，准确计算是解题的关键． 22. 如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线． （1）画出关于直线/的轴对称图形，并写出点，，的坐标． （2）直线上找一点，使得的周长最短，在图中标记出点的位置． （3）在内有一点，则点P关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）作图见解析，； （2）作图见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）先画出点A、B、C关于l的对称点，再依次连接即可，最后根据图形写出相应坐标； （2）连接，于直线l交点即为点Q； （3）根据题意可知，关于l对称的点，纵坐标相同，横坐标比相反数多2．直接写出即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 由图可知：． 【小问2详解】 解：如图，点Q为所求； 【小问3详解】 解：∵轴，直线l：，点与点关于直线l：对称， ∴点与点的纵坐标相等都等于b，横坐标相加后等于2， ∴点P关于直线l的对称点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的作图和性质，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 23. 习近平主席曾这样谈及他对足球运动的理解：“足球是一项讲究配合的集体运动，个人能力固然重要，但团队合作才是决定比赛结果的关键，”足球教人团结协作、不惧挑战、拼搏奋进．为了响应“足球进校园”的号召，某中学到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球60个，B种品牌的足球20个，共花费4600元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元， （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）随着同学们对足球运动的热爱，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球售价为72元，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购买一个A种品牌的足球需50元，购买一个B种品牌的足球需80元 （2）学校共有3种购买方案，方案1：购买24个A种品牌的足球，26个B种品牌的足球；方案2：购买23个A种品牌的足球，27个B种品牌的足球；方案3：购买22个A种品牌的足球，28个B种品牌的足球 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购买一个A种品牌的足球需x元，购买一个B种品牌的足球需y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据题意，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设购买一个A种品牌的足球需x元，购买一个B种品牌的足球需y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一个A种品牌的足球需50元，购买一个B种品牌的足球需80元； 【小问2详解】 解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为26，27，28 ∴学校共有3种购买方案， 方案1：购买24个A种品牌的足球，26个B种品牌的足球； 方案2：购买23个A种品牌的足球，27个B种品牌的足球； 方案3：购买22个A种品牌的足球，28个B种品牌的足球． 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； （2）运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． （3）如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）或； （3）10． 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答； （2）由求出的值，然后根据平方根的定义求出的值即可； （3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据，然后代入相关数据计算即可． 【小问1详解】 解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴或． 【小问3详解】 解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ＝10． ∴阴影部分的面积为10． 五、解答题（三） 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O坐标原点，，且a，b满足，连接，． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算． （1）根据非负数的性质，得到关于，的方程组，求得，的值，即可得到点、点的坐标； （2）根据判定，再根据全等三角形对应边相等，即可得到，，，进而得到点的坐标为； （3）连接并延长交轴于点，连接，过点作的平行线交轴于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据，得出，最后判定，即可得到，进而得出点的坐标为． 【小问1详解】 解： ，满足， ，， ，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过作轴于，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 如图所示，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 26. 教科书中这样写道：“我们把多项式或叫叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式． 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： _________； （2）【解决实际应用】在紧靠围墙的空地上，利用围墙（墙长不限）及一段长为40米的木栅栏，围成一个长方形花圃，此长方形的一边为围墙的一部分，其余三边为木栅栏，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边为x米，试说明x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ （3）【拓展延伸】若，求出a，b的值． 【答案】（1） （2）米时，最大面积为200平方米 （3） 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答． （1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解； （2）设长方形垂直于墙的一边为x米，长方形的面积为S平方米，则平行于墙的一边为米，根据题意可得，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； （3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 解：设长方形垂直于墙的一边为x米，长方形的面积为S平方米，则平行于墙的一边为米，根据题意得： ， ∴当米时，S取得最大值，最大值为200， 即当米时，最大面积为200平方米； 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：． 五、解答题（三） 27. 【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】[发现问题] 延长到，使得，连接，先判断出，由可证，据此即可解答； [解决问题] 延长到，使，连接，，首先根据全等三角形的判定和性质，可得，再根据线段垂直平分线的性质，可得，最后根据三角形三边的关系，即可证得； [拓展应用] 延长到，使得，连接，同上的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可求解． 【详解】解：[发现问题]如图1，延长到E，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：； [解决问题] 延长到，使，连接，，如图， ∵AD是BC中点， ∴BD=DC， ∵在和中 ∴， ∵， ∴ 中， ∴ [拓展应用] 如图2，延长到，使得，连接， 由(1)知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$