5.2.1 基本初等函数的导数-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第5章　导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 [学习目标]　1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. [素养目标]　水平一:能利用导数定义推导几个常用的函数的导数公式.(数学运算) 水平二:能利用基本初等函数的导数公式正确计算有关导数.(数学运算) 学习引语　 　　前面我们学习了求简单函数的导函数,回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数,而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数,而是幂函数的线性组合,那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢,今天让我们一探究竟. 探究活动1　基本初等函数的求导公式 内容索引 探究活动2　利用导数公式研究曲线的切线方程 课时作业 巩固提升 探究活动3　由切线求参数值 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　基本初等函数的求导公式 问题1　回顾之前所学,你学过哪些基本初等函数? 提示　幂函数,指数函数,对数函数,三角函数. 问题2　如何求f(x)=kx+b的导数? 提示　因为 =k, 所以=k.故f'(x)=k. 基本初等函数的导数: (1)(xα)'=　　　　(α为常数);  (2)(ax)'=　　　　(a>0,且a≠1);  (3)(ex)'=　　　　;  (4)(logax)'=(a>0,且a≠1); 知识生成 α axln a ex (5)(ln x)'=; (6)(sin x)'=　　　　;  (7)(cos x)'=　　　　.  cos x -sin x 例1 　求下列函数的导数: (1)y=x7; 知识应用 [解]　(1)y'=7x7-1=7x6. (2)y=; [解]　(2)∵y=x-2,∴y'=-2x-2-1=-2x-3. (3)y=; [解]　(3)∵y=,∴y'=. (4)y=2sin; [解]　(4)∵y=2sin=sin x,∴y'=cos x. (5)y=lox. [解]　(5)∵y=lox, ∴y'=(lox)'=. 　　求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然后求导,最后将变量的值代入导函数便可求解. 反思感悟 1.求下列函数的导数: (1)y=lg 4; 跟踪训练 解:(1)y'=(lg 4)'=0. (2)y=2x; 解: (2)y'=(2x)'=2xln 2. (3)y=; 解: (3)∵y=,∴y'=()'=. (4)y=2cos2-1. 解: (4)∵y=2cos2-1=cos x, ∴y'=(cos x)'=-sin x. 探究活动2　利用导数公式研究曲线的切线方程 　已知曲线y=. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程; 例2 知识应用 [解]　(1)∵P(1,1)在曲线y=上,且y'=-, ∴在点P(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=-1, ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程. [解]　(2)设曲线y=过点Q(1,0)的切线与曲线相切于点A, 则切线的斜率k=-, ∴切线方程为y-(x-x0), ∵点Q(1,0)在切线上, ∴-(1-x0),解得x0=. 故所求的切线方程为4x+y-4=0. 1.常用函数求导数可依据结论直接写出结果,不必再按定义求解. 2.先求曲线在这点上的导数,这点对应导数值即为过此点切线的斜率,再用点斜式写出直线方程. 反思感悟 2.曲线y=sin处的切线方程是　　　　　　　　　.  跟踪训练 π+1=0 y=sin=cos x,y'=-sin x, 点A上的点, 当x=-时,k=y'=-sin, 所求的切线方程为y-, 即π+1=0. 探究活动3　由切线求参数值 　曲线y=ax(a>0,且a≠1)在x=0处的切线方程是-xln 2-y+1=0,则a=(　　) A.　　　　　　　　　　 B.2 C.ln 2 D.ln 例3 知识应用 A y'=axln a,则y'|x=0=ln a,易知切点为(0,1), ∴切线方程为xln a-y+1=0,∴a=.   　　解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用以下三个条件联立方程解决:(1)切点处的导数值是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点又在曲线上. 反思感悟 3.若直线y=-x+b(b为实数)为函数y=图象的切线,则b的值是　　　　.  跟踪训练 2或-2 设切点坐标为(x0,y0),由y=,得y'=-,由直线y=-x+b,得斜率为-1,即-=-1,解得x0=±1,把x0=-1代入y=中,得y0=-1,把x0=1代入y=中,得y0=1,所以切点坐标是(-1,-1)或(1,1),把切点坐标(-1,-1)代入直线的方程y=-x+b,得b= -2;把切点坐标(1,1)代入直线的方程y=-x+b,得b=2.综上所述,b=2或-2. 1.熟记基本初等函数的求导公式. 2.掌握1种方法 利用公式求导时,一般遵循“先化简,再求导”的原则. 3.注意1个易错点 混淆指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xα(α为常数)的求导公式而导致错误. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列结论不正确的是(　　) A.若y=3,则y'=0 B.若y=,则y'=- C.若y=,则y'= D.若y=x,则y'=1 B 常数的导数为零,故A正确;y'=()'=-,故B错误;y'=()'=,故C正确;y'=x'=1,故D正确. 2.函数y=在点P处的切线斜率为-4,则P的坐标为(　　) A. C. C ∵y=,∴y'=-,∵曲线y== -4,∴x=±时,y=2,当x=-时,y=-2,即点P. 3.已知直线y=kx是曲线f(x)=ex的切线,则k的值等于　　　　.  e 设切点的坐标为(x0,y0),由f(x)=ex,可得y'=f'(x)=ex,又k=,f'(x0)=,所以且y0=,解得x0=1,y0=e,故k==e. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(　　) A.4x-y+3=0　　　　　　 B.x+4y-5=0 C.4x-y-3=0 D.x+4y+3=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 由题意得,y'=4x3,设切点坐标为(x0,y0),则切线l的斜率k=y',由直线l与直线x+4y-8=0垂直,得4=4,解得x0=1,故切点坐标为(1,1),则l的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知P,Q为抛物线y=x2上两点,点P,Q横坐标分别为4,-2,在P,Q两点分别作抛物线的切线,两切线交于点M,则点M的坐标为(　　) A.(1,-4) B.(2,4) C.(1,4) D.(-2,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A y'=x,kPM=y'=4,kQM=y'=-2. 因为P(4,8),Q(-2,2), 所以PM的直线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8, QM的直线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2,联立方程 所以M的坐标为(1,-4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是(　　) A. B.[0,π) C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 设切点P的坐标为(x0,y0),切线的倾斜角为α, ∵y'=(sin x)'=cos x, ∴k=y'=cos x0=tan α. ∵-1≤cos x0≤1,∴-1≤tan α≤1. 又∵0≤α<π,∴0≤α≤≤α<π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)下列各式正确的有(　　) A. B. C.(2x)'=x·2x-1 D.(ln x)'= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD ,故A正确;'=0,故B错误;(2x)'=2xln 2,故C错误;(ln x)'=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为(　　) A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC y'=3x2,因为k=3, 所以3x2=3,所以x=±1, 则P点坐标为(-1,-1)或(1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.曲线y=ln x在点(a,ln a)(a>0)处的切线方程为y=x-1,则a=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 y'=,当x=a时,y'==1,解得a=1,经验证,符合题意. 7.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y'=ex,则y'|x=2=e2,所以曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),故在坐标轴上的截距为-e2和1,所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. 8.求下面函数的导数: f(x)=-2sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:因为f(x)=-2sin= 2sin=sin x, 所以f'(x)=(sin x)'=cos x. 9.求曲线y=过点(3,2)的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:∵点(3,2)不在曲线y=上, ∴设过(3,2)与曲线y=相切的直线在曲线的切点为(x0,y0),则y0=. ∵y=,∴y'=()'=. ∴根据导数的几何意义,曲线在点(x0,y0)处的切线斜率k=. ∵切线过点(3,2), ∴,即, 整理得()2-4+3=0,解得x0=1或x0=9, ∴切点坐标为(1,1)或(9,3). (1)当切点坐标为(1,1)时,切线斜率k=, ∴切线方程为y-2=(x-3),即x-2y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)当切点坐标为(9,3)时,切线斜率k=, ∴切线方程为y-2=(x-3),即x-6y+9=0. 综上可知,曲线y=过点(3,2)的切线方程为: x-2y+1=0或x-6y+9=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 024(x)= (　　) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A f0(x)=sin x,则f1(x)=f'0(x)=(sin x)'=cos x,f2(x)=f'1(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x)=f'2(x)=(-sin x)'=-cos x,f4(x)=f'3(x)=(-cos x)'=sin x,f5(x)=f'4(x)=(sin x)'=cos x,…,又2 024=506×4,故f2 024(x)=f4(x)=sin x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知直线3x-y-b=0与函数f(x)=ln x的图象相切,则切点的横坐标为 　　　　,实数b=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　 ln 3e f'(x)=,设直线3x-y-b=0与函数f(x)=ln x的图象相切于点P(x0,ln x0),则切线斜率k=f'(x0)==3,得x0=,点P,故切线方程为y-ln,即3x-y-ln 3e=0,所以b=ln 3e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak). 又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0), ∴ak+1=ak,即数列{ak}是首项为a1=16,公比为q=的等比数列, ∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 13 14 13.求证:双曲线xy=1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明:由xy=1,得x≠0,所以y=,从而y'=-. 在双曲线xy=1上任取一点P, 则在点P处的切线斜率k=-. 切线方程为y-(x-x0),即y=-. 设该切线与x轴、y轴分别相交于A,B两点, 则A(2x0,0),B, 故S△OAB=|OA|·|OB|=|2x0|·=2. 所以双曲线xy=1上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$