第5章 5.2.1 基本初等函数的导数（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数，系统梳理常见函数导数公式，通过回顾上节课“由定义求导”引入，衔接新旧知识，搭建从具体函数到一般公式的学习支架，助力学生理解导数公式的推导与应用。 其亮点在于以数学眼光抽象概括导数公式，通过例题变式训练培养数学思维，如切线方程分“在点处”“过点处”讨论，结合反思感悟总结方法。规范的数学语言表达与分层练习，帮助学生构建知识体系，教师可高效开展教学，提升学生运算与推理能力。

5.2.1 基本初等函数的导数 第5章　导数及其应用 <<< 1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 学习目标 同学们，上节课我们学习了如何由定义求简单函数的导数，回想我们学过的几种常见函数，他们的导数是什么样子呢？今天让我们一探究竟. 导 语 一、基本初等函数的导数 二、利用导数公式求函数的导数 课时对点练 三、利用导数公式求曲线切线的斜率 随堂演练 内容索引 基本初等函数的导数 一 提示　因为＝＝k， 所以＝k.故f'(x)＝k. 如何求f(x)＝kx＋b(k，b为常数)的导数？ 问题 1.常见函数的导数： (1)(kx＋b)'＝ (k，b为常数)； (2)C'＝ (C为常数)； (3)(x)'＝ ； (4)(x2)'＝ ； (5)(x3)'＝ ； (6)'＝ ； (7)()'＝______. k 0 1 2x 3x2 － 知识梳理 2.基本初等函数的导数： (1)(xα)'＝ (α为常数)； (2)(ax)'＝ (a>0，且a≠1)；  (3)(ex)'＝ ； (4)(logax)'＝logae＝_______(a>0，且a≠1)； (5)(ln x)'＝___； (6)(sin x)'＝ ；  (7)(cos x)'＝ .  αxα－1 axln a ex cos x －sin x 对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f'(x)＝. 注 意 点 <<< 9 　求下列函数的导数： (1)y＝x0(x≠0)； 例 1 y'＝0. 解 (2)y＝； y'＝ln＝－ln 3. 解 10 (3)y＝lg x； y'＝. 解 (4)y＝； ∵y＝， ∴y'＝＝. 解 11 (5)y＝2cos2－1. ∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y'＝(cos x)'＝－sin x. 解 12 (1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求导. (2)若所求函数不是基本初等函数，则对原函数先化简或变形后再求导. (3)要特别区分“与ln x”“ax(a>0，且a≠1)与logax(a>0，且a≠1)”“sin x与cos x”的导数. 反 思 感 悟 13 　求下列函数的导数： (1)y＝ln 2 025； 跟踪训练 1 因为y＝ln 2 025，所以y'＝0. 解 (2)y＝； 因为y＝， 所以y'＝－＝－. 解 14 (3)y＝4x； 因为y＝4x，所以y'＝4xln 4. 解 (4)y＝log3x. 因为y＝log3x，所以y'＝. 解 15 二 利用导数公式求函数的导数 　求函数f(x)＝在x＝1处的导数. 例 2 ∵f(x)＝， ∴f'(x)＝()'＝－， ∴f'(1)＝－. 解 17 求函数在某点处的导数需要先求导函数，最后将变量的值代入导函数求解，在求导函数时，注意对函数进行变形，从而选择合适的导数公式. 反 思 感 悟 18 (1)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f'(x)－g'(x)＝　　　　　.  跟踪训练 2 ∵f'(x)＝3x2，g'(x)＝， ∴f'(x)－g'(x)＝3x2－. 解析 3x2－ 19 (2)已知函数f(x)＝在x＝a处的导数为－2，则实数a的值是　　　　.  f'(x)＝－，当x＝a时，f'(a)＝－＝－2，即a＝±. 解析 ± 20 利用导数公式求曲线切线的斜率 三 　已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 例 3 ∵y'＝， ∴k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 解 22 　已知y＝kx＋1是曲线f(x)＝ln x的一条切线，则k＝　　　. 延伸探究 1 设切点坐标为(x0，y0)，由题意得f'(x0)＝＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝. 解析 23 　求曲线y＝ln x过点O(0，0)的切线方程. 延伸探究 2 设切点为(x0，ln x0)，因为y'＝， 则切线的斜率k＝， ∴切线方程为y－ln x0＝(x－x0)， 又切线过点O(0，0)，则－ln x0＝×(－x0)，即ln x0＝1， 解得x0＝e. ∴切线方程为y－ln e＝(x－e)，即x－ey＝0. 解 24 利用导数的几何意义求切线方程 (1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程 此时点P(x0，y0)是切点，先求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，然后写出切线方程y－y0＝f'(x0)(x－x0). (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程 此时点P(x0，y0)可能是切点，也可能不是切点，具体步骤如下 注：过点P(x0，y0)的切线方程可能不止一条. 反 思 感 悟 25 　(1)若过点P(1，0)作曲线y＝x3的切线，则这样的切线共有 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 跟踪训练 3 设切点为(x0，)，由y＝x3，所以y'＝3x2，所以切线斜率为3， 所以切线方程为y－＝3(x－x0)，即y＝3x－2. 因为切线过点P(1，0)，所以0＝3－2，解得x0＝0或x0＝， 所以过点P(1，0)作曲线y＝x3的切线可以作2条. 解析 √ 26 (2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为　　　.  设切点为(x0，ln x0)， 由y＝ln x得y'＝. 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1. 所以＝1，即x0＝1， 所以切点为(1，0)，所以1－0＋c＝0， 所以c＝－1. 解析 －1 27 1.知识清单： (1)基本初等函数的导数. (2)利用导数公式求函数的导数. (3)利用导数公式求曲线切线的斜率. 2.方法归纳：方程思想、待定系数法. 3.常见误区：未先化简或变形，就对函数进行求导. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列选项正确的是 A.y＝ln 2，则y'＝ B.f(x)＝，则f'(3)＝－ C.y＝2x，则y'＝2xln 2 D.y＝log2x，则y'＝ √ √ √ 对于A，y'＝0，故A错； 对于B，∵f'(x)＝－，∴f'(3)＝－，故B正确； 显然C，D正确. 解析 1 2 3 4 2.若f(x)＝a3(a>0，且a≠1)，则f'(2)等于 A.8 B.12 C.8ln 3 D.0 √ f(x)＝a3(a>0，且a≠1)是常数函数， 所以f'(x)＝0，所以f'(2)＝0. 解析 1 2 3 4 3.已知f(x)＝，则f'(8)等于 A.0 B.2 C. D.－1 √ f(x)＝，得f'(x)＝， ∴f'(8)＝×. 解析 1 2 3 4 4.曲线y＝在点M(3，1)处的切线方程是　　　　　　　　.  ∵y'＝－， ∴曲线在点M(3，1)处的切线斜率k＝－， ∴曲线在点M(3，1)处的切线方程为y－1＝－(x－3)， 即2x＋3y－9＝0. 解析 2x＋3y－9＝0 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C A AC A BC x－4(x≠0) 题号 8 11 12 13 14 15 答案 4 C D D cos x D 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近. 则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y'＝(ex)'＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意切线的斜率存在，设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝k， 因为y'＝2x，所以k＝2x0， 又点(x0，y0)在切线上，且y0＝， 所以＋2＝2x0， 解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4， 所以切线方程为y＋2＝2或y＋2＝－4， 即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为导函数y'＝(n＋1)xn，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率k＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为，则an＝lg＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2. 基础巩固 1.下列求导运算正确的是 A.(cos x)'＝－sin x B.(x3)'＝x3ln x C.(ex)'＝xex－1 D.(ln x)'＝ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数y＝3x在x＝2处的导数为 A.9 B.6 C.9ln 3 D.6ln 3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y'＝(3x)'＝3xln 3，故所求导数为9ln 3. 解析 3.已知函数f(x)＝xα(α为常数)，若f'(－1)＝－4，则α的值等于 A.4 B.－4 C.5 D.－5 √ ∵f'(x)＝αxα－1，f'(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴α＝4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下列各式正确的是 A.(x7)'＝7x6 B.(x－1)'＝x－2 C.()'＝ D.(cos 2)'＝－sin 2 √ ∵B项，(x－1)'＝－x－2； D项，(cos 2)'＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.若函数f(x)＝sin x，则f'＋f 的值为 A. B.－1 C.1 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)＝cos x， 所以f'＋f ＝cos ＋sin . 解析 6.(多选)已知P为曲线上一点，若曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时，点P的坐标为 A.(－3，27) B.(－1，－1) C.(1，1) D.(3，27) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y'＝3x2，因为k＝3， 所以3x2＝3，所以x＝±1， 则点P的坐标为(－1，－1)或(1，1). 解析 7.设函数y＝f(x)是幂函数，若f'(1)＝－4，则f(x)＝　 　　　.  由题意设f(x)＝xα， 则f'(x)＝αxα－1，则f'(1)＝α＝－4， 故f(x)＝x－4(x≠0). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x－4(x≠0) 8.若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　　　.  因为y'＝， 所以切线方程为y－(x－a)， 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝－a， 由题意知··a＝2，所以a＝4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 9.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近. 则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y'＝(ex)'＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为. 解 10.已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意切线的斜率存在，设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝k， 因为y'＝2x，所以k＝2x0， 又点(x0，y0)在切线上，且y0＝， 所以＋2＝2x0， 解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4， 所以切线方程为y＋2＝2或y＋2＝－4， 即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0. 解 11.已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则a等于 A. B.2 C.e D.3 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f'(x)＝，所以f'(1)＝， 又因为直线x＋y－3＝0的斜率为－1， 所以f'(1)＝＝1，即a＝e. 解析 12.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f'(2)等于 A.－4 B.3 C.－2 D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图象可得，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点， 则l：x＋y＝4， ∴f＝2，f'(2)＝－1，f(2)＋f'(2)＝1. 解析 13.下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是 A.f(x)＝ex B.f(x)＝x3 C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1. 因为A项中，(ex)'＝ex>0，B项中，(x3)'＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)'＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D. 解析 14.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f'0(x)，f2(x)＝f'1(x)，…，fn＋1(x)＝f'n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x， f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依此类推，可得函数呈周期变化，且周期为4，则f2 025(x)＝f1(x)＝cos x. 解析 cos x 15.若直线y＝x与曲线y＝logax(a>0且a≠1)无公共点，则实数a的取值范围是 A.(1，e) B. C.(，＋∞) D. 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当0<a<1时，直线y＝x与曲线y＝logax必有一个公共点，不合题意； 当a>1时，若直线与曲线相切，设直线y＝x与曲线y＝logax相切于点(x0，y0)，则＝1，得x0＝. 由切点在切线上，得y0＝x0＝， 由切点在曲线上，得y0＝logax0＝＝logae， 所以x0＝e，a＝. 如图所示， 故当直线y＝x与曲线y＝logax(a>0且a≠1)无公共点时，a>. 解析 16.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为导函数y'＝(n＋1)xn，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率k＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为，则an＝lg＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2. 解 第5章　导数及其应用 <<< $