4.3.3 第1课时 等比数列的前n项和-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.3　等比数列 4.3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 [学习目标]　1.探索等比数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等比数列的前n项和公式及其应用. [素养目标]　水平一:会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(数学运算) 水平二:会用错位相减法推导等比数列的前n项和公式.(逻辑推理) 学习引语　 　　在信息技术高度发展的今天,人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下,要求每一个人都要“不造谣,不信谣,不传谣”,否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗? 探究活动1　等比数列前n项和公式的推导 内容索引 探究活动2　等比数列中与前n项和有关的基本运算 课时作业 巩固提升 探究活动3　分组求和法 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　等比数列前n项和公式的推导 问题　若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,如何求该等比数列的前n项的和? 提示　因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an, 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1, 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn, 发现上面两式中有很多相同的项,两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn, 即(1-q)Sn=a1(1-qn),当q≠1时,有Sn=,而当q=1时,Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法,我们称为“错位相减法”. 　等比数列的前n项和公式 知识生成 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一:Sn= 公式二:Sn= 例1 　已知等比数列{an}的首项为1,且4a5,a3,2a4成等差数列,求数列{an}的前n项和Sn. 知识应用 [解]　设{an}的公比为q, ∵4a5,a3,2a4成等差数列, ∴2a3=4a5+2a4,∴2a1q2=4a1q4+2a1q3, 即2q2+q-1=0,解得q=或q=-1. 当q=时,Sn=; 当q=-1时,Sn=. 　 求等比数列的前n项和,要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比,应注意公比q=1是否成立. 反思感悟 1.等比数列1,2,4,…的前7项和为(　　) A.63　　　　　　　　　 B.64 C.127 D.128 跟踪训练 C 因为首项a1=1,公比q=2,所以该数列的前7项和S7==127. 2.设{an}是公比为-2的等比数列,且a4+2a6=72,则S5=　　　　.  -11 {an}是公比为-2的等比数列,且a4+2a6=72,则(-2)3a1+2×(-2)5a1=72,解得a1=-1, 则S5==-11. 探究活动2　等比数列中与前n项和有关的基本运算 　在等比数列{an}中, (1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n; 例2 知识应用 [解]　(1)法一:由Sn=,an=a1qn-1, 以及已知条件得 ∴a1·2n=192, ∴2n=. ∴189=a1(2n-1)=a1, ∴a1=3. 又∵2n-1==32, ∴n=6. 法二:由公式Sn=及条件得 189=,解得a1=3,又由an=a1·qn-1, 得96=3·2n-1,解得n=6. (2)若a3=,S3=,求a1和公比q. [解]　(2)①当q≠1时,S3=, 又a3=a1·q2=, ∴a1(1+q+q2)=, 即(1+q+q2)=, 解得q=-(q=1舍去), ∴a1=6. ②当q=1时,S3=3a1, ∴a1=. 综上得 1.在等比数列中,对于a1,q,n,an,Sn五个量,若已知其中三个量就可求出其余两个量,常常列方程组来解答问题,有时会涉及高次方程或指数方程,求解可能遇到困难,这时要注意表达式有什么特点,再采取必要的数学处理方法,如换元. 2.在解决与等比数列前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 反思感悟 3.(1)在等比数列{an}中,若q=2,S4=1,求S8; 跟踪训练 解:(1)设首项为a1. 因为q=2,S4=1,所以=1,解得a1=. 所以S8==17. (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30.求an和Sn. 解: (2)设{an}的公比为q,由题意得 解得 当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1); 当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1. 探究活动3　分组求和法 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列? 例3 知识应用 [解]　(1)因为点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上, 所以an+1=3Sn+1, 当n≥2时,an=3Sn-1+1. 于是an+1-an=3(Sn-Sn-1)⇒an+1-an=3an⇒an+1=4an. 又当n=1时,a2=3S1+1⇒a2=3a1+1=3t+1, 所以当t=1时,a2=4a1,此时,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn. [解]　(2)由(1),可得an=4n-1,an+1=4n, 所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n, 那么Tn=c1+c2+…+cn =(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n) =. 分组求和的适用题型 　　一般情况下形如cn=an±bn,其中数列{an}与{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列,求数列{cn}的前n项和,分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可. 反思感悟 4.已知数列{an}满足a1=1,且an+1-an=2. (1)求数列{an}的通项公式; 跟踪训练 解:(1)数列{an}满足a1=1,且an+1-an=2, 所以数列{an}是等差数列,且首项为1,公差为2, 因此,an=1+2(n-1)=2n-1. (2)已知数列{bn}满足b1=-,b2=-,设cn=an+bn,若数列{cn}为等比数列,求数列{bn}的前n项和Sn. 解: (2)由已知可得c1=a1+b1=1-,c2=a2+b2=3-, 所以等比数列{cn}的公比为q=, 所以an+bn=cn=c1qn-1=, 所以bn=cn-an=-(2n-1), 因此,Sn=+…+-[1+3+5+…+(2n-1)]= . 1.牢记2个公式 (1)Sn= (2)Sn= 课堂小结 2.掌握2种方法 (1)等比数列的通项公式和前n项和公式的基本量法. (2)分组求和法. 3.注意1个易错点 前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q≠1和q=1时是不同的公式形式,不可忽略q=1的情况. 〈课堂达标·素养提升〉 1.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为(　　) A.4　　　　　　　　　　 B.-4 C.2 D.-2 A 由S5==44,解得a1=4. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比q大于1,a2a4=16,a1+a5=17,则S10等于(　　) A.511 B.512 C.1 023 D.1 024 C 由a2a4=a1a5=16,a1+a5=17,公比q>1,解得a1=1,a5=16,∴q=2,∴S10== 1 023. 3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为(　　) A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2 D 由分组法求和,得数列{an}的前n项和Sn==2n+1+n2-2. 4.已知等比数列{an}的前4项和为1,公比为2,则数列{an}的前8项和等于　.  17 法一:由题意得S8=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4(1+q4)=17. 法二:由题意得解得a1=,所以S8==17. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.已知等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项的和是(　　) A.179　　　　　　　　　 B.211 C.243 D.275 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B ∵q4=,且q>0,∴q=,∴S5==211. 2.已知Sn为数列{an}的前n项和,若S2=6,an+1=2an,则S100=(　　) A.252-4 B.252-2 C.2100-2 D.2101-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 因为an+1=2an,S2=6,所以{an}中的各项均不为0,所以数列{an}为等比数列,且公比q=2,所以S2=a1+2a1=6,解得a1=2,所以S100==2101-2. 3.已知数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a2 024=(　　) A.-3 036 B.-3 035 C.3 035 D.3 036 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 由an=(-1)n(3n-2),得a1+a2+…+a2 023+a2 024=-1+4+(-7)+10+…+(-6 067)+ 6 070=(-1+4)+(-7+10)+…+(-6 067+6 070)=3×1 012=3 036. 4.若{an}是等比数列,已知对任意n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,则+…+=(　　) A.(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 由Sn=2n-1得a1=S1=1,a2=S2-S1=22-2=2.∴公比为q=2,可知数列{}是等比数列,公比为q2=4.∴+…+(4n-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=1,,则(　　) A.{an}必是递减数列 B.S5= C.公比q=4或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 设等比数列{an}的公比为q,则q>0, 因为a1a5==1,a3=a1q2=1, 所以, 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当a1=4,q=时,S5=,数列{an}是递减数列; 当a1=,q=2时,S5=,数列{an}是递增数列; 综上,S5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知等比数列{an}的公比q<0,且a2=1,an+2=an+1+2an,则{an}的前2 025项和等于　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 ∵an+2=an+1+2an,∴an(q2-q)=2an,∵an≠0,∴q2-q-2=0,解得q=-1(正值舍去),由a2=1=a1×(-1),解得a1=-1,则{an}的前2 025项和S2 025==-1. 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+1,则数列{an}的通项公式为　　　　,若Sm=-127,则m=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 an=-2n-1 7 当n=1时,a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an+1)-(2an-1+1)=2an-2an-1,即an= 2an-1,∴{an}是首项为-1,公比为2的等比数列,∴an=-2n-1,Sn==-2n+1.由Sm=-127,得-2m+1=-127,解得m=7. 8.已知数列{an}为等比数列. (1)若a5=4,a7=16,求a12; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)因为a5=4,a7=16,所以q2==4,得q=±2, 当q=2时,a12=a7q5=512;当q=-2时,a12=a7q5=-512. (2)若a4-a2=24,a2+a3=6,am=125,求Sm. 解: (2)由a4-a2=24,a2+a3=6,得a2q2-a2=24,a2+a2q=6, 解得a2=1,q=5,所以a1=,所以am=a1qm-1=5m-2=125,解得m=5, 所以Sm=S5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知等差数列{an}的公差d=2,前n项和为Sn,且满足S2=a3. (1)若a1,a3,am成等比数列,求m的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)因为S2=a3,所以a1+a2=a3,即2a1+d=a1+2d, 解得a1=d=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n(n∈N*). 又a1,a3,am成等比数列,所以=a1am,即36=2×2m,解得m=9. (2)设bn=an-,求数列{bn}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)因为bn=an-=2n-4n, 所以Tn=(2×1-41)+(2×2-42)+…+(2×n-4n) =2×(1+2+…+n)-(41+42+…+4n) =2× =n(n+1)-×(4n-1)=n2+n+. [B组] 10.等比数列{an}的公比为q(q≠1),则数列a3,a6,a9,…,a3n,…的前n项和为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 依题意得等比数列{an}的通项an=a1qn-1,所以a3n=a1q3n-1, 因为=q3, 所以数列{a3n}是首项为a3,公比为q3的等比数列. 因为q≠1,所以q3≠1, 所以数列{a3n}的前n项和为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知数列{an}满足a1+a3+…+an=n,记数列{2an-n}的前n项和为Sn,则Sn等于(　　) A.2n--1 C.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 因为a1+a3+…+an=n,① 所以有a1=1, 当n≥2,n∈N*时,有a1+a3+…+an-1=n-1,② 由①-②得,an=1⇒an=2n-1,显然当n=1时,也适合, 所以an=2n-1(n∈N*),令2an-n=bn,所以bn=2n-n,因此有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Sn=(2-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n) =(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n) = = =-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,且对任意正整数m,n,都有 am+n=aman,若Sn<a恒成立,则实数a的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由于a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,所以令m=1,得an+1=ana1,所以,n∈N*,所以数列{an}是首项和公比都为的等比数列,得Sn=,若Sn<a恒成立,则a≥,所以实数a的最小值为. 13 13.已知数列{an}的通项公式为an= 求数列{an}的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:①当n为大于或等于3的奇数时, Sn=[1+13+…+(6n-5)]+(42+44+…+4n-1) =· =. 当n=1时,S1=a1=1,上式同样成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②当n为偶数时, Sn=[1+13+…+(6n-11)]+(42+44+…++4n)=. 综上,Sn= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$