4.3.2 第1课时 等比数列的通项公式-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的通项公式 第1课时　等比数列的通项公式 [学习目标]　1.能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式.2.掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算. [素养目标]　会推导等比数列的通项公式,并能应用该公式解决简单的等比数列问题.(数学运算) 学习引语　 　　与等差数列一样,我们也希望有一个式子来表示等比数列,这就是我们今天要研究的等比数列的通项公式. 探究活动1　等比数列的通项公式 内容索引 探究活动2　等比数列中的基本计算 课时作业 巩固提升 探究活动3　等比数列通项公式的函数特征 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　等比数列的通项公式 问题　类比等差数列,你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 提示　设一个等比数列的首项是a1,公比是q,则由定义可知=q(n∈N*且n≥2). 法一:an=×…××a1=q×q×…×q×q×a1=a1qn-1, 当n=1时,上式也成立. 法二:a2=a1q, a3=a2q=(a1q)q=a1q2, a4=a3q=(a1q2)q=a1q3, … 由此可得an=a1qn-1,当n=1时,上式也成立. 一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有an=　　　　(n∈N*).这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比.  知识生成 a1qn-1 例1 　写出下列等比数列的一个通项公式: (1)-1,1,-1,1,-1,…; 知识应用 [解]　(1)数列的首项为-1,公比为-1,所以an=(-1)×(-1)n-1=(-1)n. (2)1,,,,…; [解]　(2)数列的首项为1,公比为,所以an=. (3)5,10,20,40,…. [解]　(3)数列的首项为5,公比为2,所以an=5×2n-1. 　　写等比数列的通项公式,关键是找出该等比数列的首项和公比,这也是所有基本运算中的基本方法,需要注意的是,若公比是负数或分数时,需加括号. 反思感悟 1.已知等比数列的通项公式是an=7×21-n,试写出它的首项和公比. 跟踪训练 解:当n=1时,a1=7×21-1=7,当n=2时,a2=7×21-2=,所以q=,所以该等比数列的首项和公比分别是7,. 探究活动2　等比数列中的基本计算 　在等比数列{an}中, (1)已知a3=9,a6=243,求a5; 例2 知识应用 [解]　(1)法一:由a3=9,a6=243, 得a1q2=9,a1q5=243. ∴q3==27,∴q=3,∴a1=1, ∴a5=a1q4=1×34=81. 法二:∵a6=a3q3,∴q3==27, ∴q=3, ∴a5=a3q2=9×32=81. (2)已知a1=,an=,q=,求n. [解]　(2)∵a1=,q=,an=, ∴, ∴, ∴n-1=3,∴n=4. 等比数列的通项公式及变形的应用 1.在已知等比数列的首项和公比的前提下,利用通项公式an=a1qn-1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项. 2.在已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项. 反思感悟 2.在等比数列{an}中, (1)已知an=128,a1=4,q=2,求n; 跟踪训练 解:(1)∵an=a1·qn-1,∴4·2n-1=128, ∴2n-1=32,∴n-1=5,∴n=6. (2)已知an=625,n=4,q=5,求a1. 解: (2)a1==5,故a1=5. 探究活动3　等比数列通项公式的函数特征 对于等比数列{an},其通项公式an=a1qn-1. (1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点分布在指数型函数f(x)=a1qx-1的图象上.①当q>1,a1>0或　　　　　时, f(x)=a1qx-1为增函数,数列{an}是递增数列.②当q>1,a1<0或 　　　　　　　　时,f(x)=a1qx-1为减函数,数列{an}是递减数列.  (2)当q=1时,{an}是常数列,不具有单调性. (3)当q<0时,{an}是摆动数列,不具有单调性. 知识生成 0<q<1,a1<0 0<q<1,a1>0 已知等比数列{an}的通项公式为an=2×3n-1. (1)求公比q; 例3 知识应用 [解]　(1)由an=2×3n-1得公比q==3. (2)判断数列{an}的单调性. [解]　(2)法一:由于an=2×3n-1,公比q=3>1,且a1=2>0,所以等比数列{an}为递增数列. 法二:由an=2×3n-1,得an-an+1=2×3n-1-2×3n=-4×3n-1<0,所以an<an+1,所以等比数列{an}为递增数列. 　　对等比数列的通项公式,从函数的角度研究其图象和单调性. 反思感悟 3.在等比数列{an}中,“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 跟踪训练 C 设数列{an}的公比为q,由a1<a1q<a1q2得,若a1>0,则1<q<q2,即q>1,此时,数列{an}是递增数列;若a1<0,则1>q>q2,即0<q<1,此时,数列{an}也是递增数列,反之,当数列{an}是递增数列时,显然a1<a2<a3.故“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件. 1.牢记3个知识点 (1)等比数列的通项公式的推导. (2)等比数列的通项公式的计算. (3)等比数列通项公式的函数特征. 2.掌握2种方法 (1)累乘法. (2)基本量法. 3.注意1个易错点 借助指数函数的图象研究等比数列. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知等比数列{an}的通项公式为an=3n+2(n∈N*),则该数列的公比是(　　) A.　　　　　　　　　　　 B.9 C. D.3 D 设公比为q,等比数列{an}的通项公式为an=3n+2(n∈N*),则a1=33=27,a2=34=81, ∴=q=3. 2.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 D 由公比q<0可知,该等比数列是摆动数列. 3.已知等比数列{an}为递减数列,若a7a14=6,a4+a17=5,则等于(　　) A. C. D.6 A ∵a7a14=a4a17=6,a4+a17=5,∴a4与a17是方程x2-5x+6=0的两个根,解得a4=2,a17=3或a4=3,a17=2,∵数列为递减数列,∴a4=3,a17=2, ∴,则. 4.在公比不为1的等比数列{an}中,若a1,a3,a2成等差数列,则数列{an}的公 比为　　　　.  - 由a1,a3,a2成等差数列,得2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q,∴2q2=1+q,则q=1或q=-,又等比数列{an}的公比不为1,∴q=-. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.数列1,-,,-,,…的一个通项公式为(　　) A. C.(-1)n D.(-1)n+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 根据数列可知,该数列是一个以1为首项,-为公比的等比数列, 所以该数列的通项公式为1×=(-1)2×(-1)n-1×= (-1)n+1×. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为(　　) A.4 B.8 C.6 D.32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 由等比数列的通项公式得128=4×2n-1,即2n-1=32,所以n=6. 3.已知等比数列{an}单调递增,且a1+a5=51,a2a4=144,则=(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 设{an}的公比为q,因为{an}为等比数列,且单调递增,所以(舍去)或=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知等比数列{an},下列选项能判断{an}为递增数列的是(　　) A.a1>0,0<q<1 B.a1>0,q<0 C.a1<0,q=1 D.a1<0,0<q<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D a1>0,0<q<1,则an=a1·qn-1=·qn单调递减,故A不符合题意;a1>0,q<0,则an=a1·qn-1=·qn的符号会随着n取奇数或偶数发生改变,故数列为摆动数列,故B不符合题意;a1<0,q=1,则{an}=a1为常数列,不具有单调性,故C不符合题意;a1<0,0<q<1,∵<0,y=qx在R上单调递减,∴an=a1·qn-1= ·qn为递增数列,故D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)已知正项等比数列{an}满足a1=2,a4=2a2+a3,若设其公比为q,则(　 　) A.q=2 B.an=2n C.18是数列中的项 D.an+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 由题意2q3=4q+2q2,得q2-q-2=0,解得q=2(负值舍去),选项A正确;an=2×2n-1=2n,选项B正确;将18代入an=2n中,得出的n∉N*,选项C错误;an+an+1=3an,而an+2=4an>3an,选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知在数列{an}中,a2=2,a6=32,则下列说法正确的是(　 　) A.若{an}是等比数列,则a4=-8或8 B.若{an}是等比数列,则a5=16或-16 C.若{an}是等差数列,则a4=17 D.若{an}是等差数列,则公差为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BCD 由a2=2,a6=32,数列{an}是等比数列,得a6=a2·q4=32,所以q4=16,解得q=±2,则a4=a2·q2=8,a5=a2·q3=±16,故A错误,B正确;由a2=2,a6=32,数列{an}是等差数列,得2a4=a2+a6,解得a4=17,故C正确;由a2=2,a6=32,数列{an}是等差数列,得a6=a2+4d=32,解得d=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.在等比数列{an}中,a1+a2+a3=26,a4-a1=52,则该数列的通项公式为an= 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2×3n-1 由a1+a2+a3=26,a4-a1=52,可得 两式相除得=q-1=2,解得q=3, 代入a1q3-a1=52,得a1=2,所以an=2×3n-1,n∈N*. 8.一个各项均为正数的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之 和,则公比q=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得:an=an+1+an+2, 所以1=q+q2,即q2+q-1=0, 解得q=(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.在等比数列{an}中, (1)已知a3=4,a7=16,且公比q>0,求an; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)∵=q4=4, ∴q2=2,又q>0,∴q=, ∴an=a3·qn-3=4·(n∈N*). (2)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)∵a3=a1·q2=8, ∴q2=4,∴q=±2. 当q=2时,an=a1qn-1=2×2n-1=2n, 当q=-2时,an=a1qn-1=2×(-2)n-1=(-1)n-12n,∴数列{an}的公比为2或-2, 对应的通项公式分别为an=2n和an=(-1)n-12n. 10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由题意可得a2=,a3=. (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得 2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,所以. 故{an}是首项为1,公比为的等比数列, 因此an=,n∈N*. [B组] 11.已知数列{an}为等比数列,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则a1·a2·a3·…·an的最大值为(　　) A.5 B.512 C.1 024 D.2 048 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C a2·a3=a1q·a1q2=2a1, ∴a4=2, ∴a4+2a7=a4+2a4q3=2×, ∴q=,a1==16. 故an=16×=24×21-n=25-n, ∴a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=<1, ∴数列的前4或5项的积最大,且最大值为16×8×4×2=1 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9=6a8,若存在两项am,an使得=4a1,则的最小值为(　　) A.4 B. C. D.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9=6a8, 可得a8q2+a8q=6a8,即q2+q-6=0, 解得q=2或q=-3(舍去). ∵=4a1, ∴2m+n-2=16, ∴m+n=6, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴(m+n)=. 当且仅当,即m=2,n=4时,等号成立. 故. 13 14 13.数列{an}中,a1=,am+n=aman(∀m,n∈N*),则a6=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 由于∀m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=, 令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列, 所以an=a1qn-1=, 故a6=. 14.从①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d>1),前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,且a1=b1,d=q,　　　　;求数列{an},{bn}的通项公式.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:选条件①: 因为a3=5,所以a1+2d=5, 因为a2+a5=6b2,a1=b1,d=q,所以2a1+5d=6a1d, 联立(舍去), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1. 选条件②: 因为b2=2,a1=b1,d=q,所以a1d=2, 因为a3+a4=3b3,所以2a1+5d=3a1d2, 联立(舍去), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1. 选条件③: 因为S3=9,所以3a1+3d=9, 因为a4+a5=8b2,a1=b1,d=q,所以2a1+7d=8a1d, 联立(舍去), 则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$