4.2.2 第2课时 等差数列的性质-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的通项公式 第2课时　等差数列的性质 [学习目标]　1.掌握等差数列的有关性质.2.能灵活运用等差数列的性质解决问题. [素养目标]　水平一:在理解等差数列的定义和通项公式的基础上,探索发现等差数列的性质.(数学运算) 水平二:能够利用等差数列的性质灵活解决一些实际问题.(数学建模) 学习引语　 　　已知数列{an}的通项公式an=n,如果我们把其中的偶数拿出来,即2,4,6,8,10,…,容易发现这也是一个等差数列,同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的数列,今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质. 探究活动1　由等差数列构造新的等差数列 内容索引 探究活动2　等差数列的性质 课时作业 巩固提升 探究活动3　灵活设元求解等差数列 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　由等差数列构造新的等差数列 问题　若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,在{an}中每相邻两项之间都插入4个数,若要使之构成一个新的等差数列,你能求出它的公差吗? 提示　设新数列为{bn},公差为d',则有b1=a1,b6=a2,所以b6-b1=a2-a1=d,故有5d'=d,所以d'=d. 已知在等差数列{an}中,公差为d,则 (1)数列ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是等差数列,且公差为　　　　.  (2)数列{kan}(k为常数)是等差数列,且公差为　　　　.  (3)若数列{bn}也是等差数列,公差为d',则数列{pan±qbn}(p,q为常数)为等差数列,公差为　　　　.  知识生成 md kd pd±qd' 例1 　(多选)已知{an},{bn}是等差数列,则下列数列是等差数列的是(　 　) A.{an+bn}　　　　　　　 B.{anbn} C.{an-bn} D.{2an-bn} 知识应用 ACD 由{an},{bn}是等差数列,可设公差分别为常数d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn) =(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,(an+1-bn+1)-(an-bn)=(an+1-an)-(bn+1-bn)=d1-d2, (2an+1-bn+1)-(2an-bn)=2(an+1-an)-(bn+1-bn)=2d1-d2,所以{an+bn},{an-bn},{2an-bn}都是等差数列;对于选项B,an+1bn+1-anbn=(an+d1)(bn+d2)-anbn= and2+bnd1+d1d2,不一定是同一个常数,故{anbn}不一定是等差数列. 　　解决等差数列运算问题时,一种方法是灵活运用等差数列{an}衍生的新数列的性质;另一种方法是利用通项公式,转化为求等差数列的首项与公差,属于通用方法.这些方法都运用了整体代换与方程的思想. 反思感悟 1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为(　　) A.30 B.27 C.24 D.21 跟踪训练 A 设b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也成等差数列,所以b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30. 探究活动2　等差数列的性质 问题1　如果{an}是等差数列,a3=5,d=2,如果不求首项,你能求数列的通项公式吗? 提示　由定义可知a3=a1+2d,an=a1+(n-1)d,两式相减得an-a3=(n-3)d,即an=a3+(n-3)d. 问题2　若数列{an}是等差数列,公差为d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am,an,ap,aq这四项之间有什么样的关系? 提示　由等差数列的定义可知,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap=a1+(p-1)d, aq=a1+(q-1)d,容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,故有am+an=ap+aq. 1.下标性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an= 　　　　.  2.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则有am+an=　　　　.  知识生成 ap+aq 2ap 　(1)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,求2a9-a10的值; 例2 知识应用 [解]　(1)由等差数列的性质,得a1+3a8+a15=5a8=120, ∴a8=24.又2a9=a8+a10, ∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24. (2)在等差数列{an}中,a15=8,a60=20,求a75的值. [解]　(2)∵a60=a15+(60-15)d,∴d=, ∴a75=a60+(75-60)d=20+15×=24. 解决本类问题的常用方法 1.运用等差数列{an}的性质:若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数); 2.利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算. 上述两种方法都运用了整体代换与方程的思想. 反思感悟 2.已知{an}为等差数列,a4+a7+a10=30,则a3-2a5的值为(　　) A.10　　　　　　　　　　 B.-10 C.15 D.-15 跟踪训练 B ∵a4+a7+a10=3a7=30,∴a7=10, 而a3-2a5=a3-(a3+a7)=-a7=-10. 3.在等差数列{an}中,已知a2+a3+a10+a11=36,则a5+a8=　　　　.  18 法一:根据题意,有 (a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=36, ∴4a1+22d=36,则2a1+11d=18. 而a5+a8=(a1+4d)+(a1+7d)=2a1+11d,因此,a5+a8=18. 法二:根据等差数列性质,可得a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷2=18. 探究活动3　灵活设元求解等差数列 　(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数; 例3 知识应用 [解]　(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d, 则 解得∴这三个数为4,3,2. (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. [解]　(2)法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d), 依题意,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 把a=1-d代入a(a+3d)=-8, 得=-8, 即1-d2=-8, 化简得d2=4,所以d=2或-2. 又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2, a=-2. 故所求的四个数为-2,0,2,4. 常见设元技巧 1.某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:a-d,a+d,公差为2d. 2.三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a-d,a,a+d,公差为d. 3.四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d. 反思感悟 4.已知成等差数列的四个数,四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列. 跟踪训练 解:设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d). 由题设知 解得 ∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 1.牢记3个知识点 (1)由等差数列构造新的等差数列. (2)等差数列的性质. (3)等差数列中项的设法. 2.掌握2种常用方法 (1)等差数列的常见设法. (2)整体思想的运用. 3.注意1个易错点 解题时注意运用相关性质的限制条件. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(　　) A.12　　　　　　　　　　 B.16 C.20 D.24 B 因为数列{an}是等差数列,所以a2+a10=a4+a8=16. 2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(　　) A.7 B.5 C.3 D.1 D 易知数列{2an-3bn}为等差数列,公差为2d1-3d2=4-3=1. 3.(多选)已知{an}是等差数列,则下列数列一定是等差数列的是(　　) A.{2an} B.{2-an} C.{an+an+1} D.{} ABC {an}是等差数列,设公差为d,则an+1-an=d,则2an+1-2an=2d,(2-an+1)-(2-an)=an-an+1=-d,(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d,故选项A,B,C符合题意;对于选项D,=(an+1-an)·(an+1+an)=d(an+1+an),不一定是定值,故{}不一定是等差数列. 4.在等差数列{an}(n∈N*)中,若a1=a2+a4,a8=-3,则a20的值是　　　　.  -15 ∵数列{an}是等差数列,∴a1+a5=a2+a4.又a1=a2+a4,∴a5=0, ∴d==-1,故a20=a5+15d=-15. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37=(　　) A.0　　　　　　　　　　 B.37 C.100 D.-37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,所以{cn}的公差d=c2-c1=0,所以c37=a37+b37=100. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 2.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为(　　) A. C.- 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 D 6 由等差数列的性质得,a1+a7+a13=3a7=4π, ∴a7=. ∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 3.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可组成首项为的等差数列,则a+b的值为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 D 6 设4个根构成的等差数列为{an}.由于两个方程对应二次函数f(x)=x2-x+a,g(x)=x2-x+b的对称轴均为x=.由根的对称性可判断,a1与a4是同一方程的根,a2与a3是另一方程的根.于是,a1+a4=1,又a1=,所以a4=,则公差d=(a4-a1)=,于是a2=,a3=,所以a+b=a1a4+a2a3=. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 4.(多选)在无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn},则(　　) A.b1=-7 B.b2=27 C.an=8-5n D.{bn}中的第507项是{an}中的第2 024项 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 AC 6 ∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n,故C正确;数列{an}中项的序号被4除余3的项有第3项,第7项,第11项,…,∴b1=a3=-7,b2=a7=-27,故A正确,B错误;设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第k项,则m=3+4(k-1)=4k-1,∴当k=507时,m=4×507-1=2 027,即数列{bn}中的第507项是{an}中的第2 027项,故D错误. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 5.(多选)在等差数列{an}中,公差d>0,a1+a2+…+a10=0,则下列一定成立的是(　　) A.a1<0 B.a10>0 C.a5+a6=0 D.a2+a11<0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 ABC 6 由d>0,得{an}是递增数列,因此由a1+a2+…+a10=0得a1<0,a10>0,故A,B正确;a1+a2+…+a10=5(a1+a10)=5(a5+a6)=0,即a5+a6=0,a1+a10=0,故C正确;a2+a11=a1+a10+2d>0,故D错误. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 法一:设{an}的公差为d,则=40. 法二:由等差数列的性质可得a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40. 法三:因为{an}是等差数列,所以a5,a15,a25,…是等差数列,且首项为a5=10,公差为a15-a5=15,因此a25=10+2×15=40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知在等差数列{an}中,a5=10,a15=25,则a25=　　　　.  40 7.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为 　　　　.  1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 -21 6 设这三个数为a-d,a,a+d, 则 解得 ∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.∴它们的积为-21. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 8.在等差数列{an}中. (1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13; 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 解:(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48, 得4a13=48, ∴a13=12. (2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 解: (2)由a2+a3+a4+a5=34, 得2(a2+a5)=34, 即a2+a5=17, 由 解得 ∴d==-3. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 9.在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28. (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 解:(1)根据题意,设等差数列{an}的公差为d, 若a3+a8+a13=12,则3a8=12,则a8=4. 又由a3a8a13=28,得a3a13=(4-5d)(4+5d)=7, 解得d=±. 当d=时,an=a8+(n-8)d=; 当d=-时,an=a8+(n-8)d=. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 (2)求a23的值. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 解: (2)由(1)的结论,当d=时,an=,此时a23==13, 当d=-时,an=,则a23==-5, 则a23=13或-5. [B组] 10.已知数列是等差数列,且a3=2,a9=12,则a15=(　　) A.10 B.30 C.40 D.20 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 B 6 法一:设数列的公差为d. ∵a3=2,a9=12,∴6d=, ∴d=,∴+12d=2,故a15=30. 法二:由于数列是等差数列,故2×, 即=2,故a15=30. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 11.(多选)已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增,公差为d,且a5=2,则(　　) A.公差d的取值范围是 B.2a7-a9=2 C.a3·a7>a4·a6 D.的最小值为1 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 AB 6 由题意得d>0,a1>0,又a5=2,∴2-4d>0,解得d<,∴d∈,故A正确;2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确;由a3·a7-a4·a6=(2-2d)(2+2d)-(2-d)(2+d)=-3d2<0,可知a3·a7<a4·a6,故C错误;由a1+a9=2a5=4,得(a1+a9)=1,则(a1+a9)·=1,当且仅当a1=a9时取等号,但a1≠a9,故不能取等号,所以D错误. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 12.已知两个等差数列{an}:5,8,11,…,与{bn}:3,7,11,…,它们的公共项组成数列{cn},则数列{cn}的通项公式cn=　　　　;若数列{an}和{bn}的项数均为100,则{cn}的项数是　　　　.  1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 12n-1　 6 25 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 由于数列{an}和{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,且公差为3×4=12.又c1=11,故cn=11+12(n-1)=12n-1.又a100=302,b100=399,所以解得1≤n≤25.25,故{cn}的项数为25. 13 6 13.已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成新数列c1,c2,c3,…,cn,…. (1)求c1,c2,c3,c4的值; 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 (1)解:c1=9,c2=11,c3=12,c4=13. (2)证明:在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,,…; 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 (2)证明:①对任意n∈N*, 设=3(2n-1)+6=6n+3=bk=2k+7, 则k=3n-2,即; ②假设∉N*,矛盾,所以∉{bn}, 所以在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,,…. (3)求数列{cn}的通项公式. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 (3)解:因为=2(3k-2)+7=6k+3=, 所以设=dk, 则dk+1==6k+9. 因为=6k+5,=6k+6,=6k+7, 所以dk<<dk+1.所以当k=1时, 依次有b1=a1=c1,b2=c2,a2=c3,b3=c4,…, 所以cn=其中n∈N*. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 $$