4.2.2 第1课时 等差数列的通项公式-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的通项公式 第1课时　等差数列的通项公式 [学习目标]　1.掌握等差数列的通项公式,能利用等差数列的通项公式进行基本的运算.2.能在实际问题中抽象出等差数列,并解决一些简单的问题. [素养目标]　水平一:等差数列的通项公式及运用.(数学运算) 水平二:等差数列的实际应用.(数学建模) 学习引语　 　　如图,第一层有一个球,第二层有2个球,最上层有16个球,那么,从上面数第二层有几个球? 　　每隔一层的球数有什么规律? 　　每隔二层呢? 　　每隔三层呢?   探究活动1　等差数列的通项公式及相关运算 内容索引 探究活动2　等差数列的实际应用 课时作业 巩固提升 探究活动3　等差数列与一次函数 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　等差数列的通项公式及相关运算 问题　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗? 提示　设一个等差数列的首项为a1,公差为d, 由等差数列的定义可知,an-an-1=d(n≥2). 思路一:an=an-1+d,故有a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,…, 归纳可得,an=a1+(n-1)d(n≥2). 思路二:a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d, … an-an-1=d, 左右两边分别相加可得,an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d(n≥2). 　首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=____________. 知识生成 a1+(n-1)d 例1 　在等差数列{an}中, (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; 知识应用 [解]　(1)设数列{an}的公差为d. ∵a5=-1,a8=2, ∴ (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. [解]　(2)设数列{an}的公差为d. 由已知得, ∴an=1+(n-1)×2=2n-1,∴a9=2×9-1=17. 等差数列通项公式的主要应用 1.已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量. 2.由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项. 3.根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项. 反思感悟 1.(1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an; 跟踪训练 解:(1)∵a5=10,a12=31, 则 ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5, ∴通项公式an=3n-5(n∈N*). (2)已知数列{an}为等差数列,a3=,a7=-,求a15的值. 解: (2)由得 解得a1=,d=-. ∴a15=a1+(15-1)d =. 探究活动2　等差数列的实际应用 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫……”其大意为有一女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织5尺,最后一天织1尺,三十天织完……,则该女子第十一天织布(　　) A.尺 C.尺 例2 知识应用 B 设女子每天的织布数构成的数列为{an},由题设可知{an}为等差数列,且a1=5,a30=1,故公差d=,故a11=a1+(11-1)×. 解决等差数列实际问题的基本步骤 1.将已知条件翻译成数学(数列)问题; 2.构造等差数列模型(明确首项和公差); 3.利用通项公式解决等差数列问题; 4.将所求出的结果回归为实际问题. 反思感悟 2.在我国古代9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圜丘的底面由扇环形的石板铺成(如图),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则第六圈的石板块数是(　　)   A.45 B.54 C.72 D.81 跟踪训练 B 设第n圈有an块石板,由题意可知{an}构成首项a1=9,公差d=9的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=9+(n-1)×9=9n.所以第六圈的石板块数a6=6×9=54. 探究活动3　等差数列与一次函数 　已知数列{an}满足an=2n-7. (1)证明数列{an}是等差数列; 例3 知识应用 (1)[证明]　由an=2n-7得an+1-an=[2(n+1)-7]-(2n-7)=2, 所以{an}是公差d=2的等差数列. (2)判断数列的单调性. (2)[解]　法一:由于an=2n-7,公差d=2>0,所以等差数列{an}为递增数列. 法二:由an=2n-7,得an-an+1=(2n-7)-[2(n+1)-7]=-2<0,所以an<an+1,所以等差数列{an}为递增数列. 　　等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是一固定常数;当d≠0时,an相应的函数是一次函数,点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一系列孤立的点. 反思感悟 3.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n(n∈N*),则实数a=　　　　.  跟踪训练 0 因为数列{an}是等差数列,且an=an2+n,所以an是关于n的一次函数,即a=0. 1.牢记2个知识点 (1)等差数列的通项公式. (2)等差数列与一次函数的关系. 2.掌握2种方法 (1)运用通项公式求基本量法. (2)2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列. 3.注意1个易错点 判断等差数列时忽视n的取值而致误. 课堂小结 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为(　　) A.2　　　　　　　　　　　　 B.3 C.-2 D.-3 C 由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2. 2.在等差数列{an}中,若a1=,a2+a5=4,an=35,则n=(　　) A.50 B.51 C.52 D.53 D 依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入a1=,得d=, 所以an=a1+(n-1)d=+(n-1)×.令an=35,解得n=53. 3.在等差数列{an}中,a2=2,a4=8,则公差d=　　　,通项公式an=　　　　.  3 3n-4 法一:由题意得 所以an=a1+(n-1)d=3n-4. 法二:由题意得d==3,所以an=a2+(n-2)d=3n-4. 4.为了参加冬季运动会的1万米长跑比赛,某同学给自己安排了7天的训练计划:第一天跑1万米,以后每一天比前一天多跑1千米,则第7天跑　　万米.  1.6 设该同学第n天跑an万米,由题意得{an}是等差数列且a1=1,公差d=0.1,所以an=a1+(n-1)d=0.1n+0.9,所以a7=1.6. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.已知数列{an}的通项公式为an=5-3n,则此数列(　　) A.是公差为-3的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为3的等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 由{an}的通项公式的函数特征知,数列{an}是以-3为公差的等差数列. 2.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7等于(　　) A.10　　　　　　　　　　 B.18 C.20 D.28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 设公差为d,则a3+a8=a1+2d+a1+7d=2a1+9d=10. ∴3a5+a7=3(a1+4d)+(a1+6d)=4a1+18d=20. 3.在数列{an}中,a3=2,a7=1.若为等差数列,则a5=(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A ∵,=1,且数列是等差数列,∴公差d=, ∴,∴an=,∴a5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在等差数列{an}中,若a1=84,a2=80,则使an≥0,且an+1<0的n为(　　) A.21 B.22 C.23 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 公差d=a2-a1=-4, ∴an=a1+(n-1)d=84+(n-1)×(-4)=88-4n. 令⇒21<n≤22.又∵n∈N*,∴n=22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)已知在等差数列{an}中,a1=2,且a4+a8=,则公差d等于(　　) A.0 B. C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AB 根据题意知,a4+a8=⇒a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2. 又a1=2,则4+10d=(2+2d)2, 解得d=或d=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)在等差数列{an}中,a1=3,公差为d(d∈N*),若2 023是该数列中的一项,则公差d可能是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 由2 023是该数列中的一项,得2 023=3+(n-1)d,所以n=+1,易知d是 2 020的约数,结合选项知d可能是2,4和5,不可能是3. 7.等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8,则此数列的通项公式为 　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 an=10-2n 由 ∵d<0,∴a2=6,a4=2,∴d=-2,∴an=10-2n. 8.一架飞机在起飞时,第一秒滑行了2 m,以后每秒都比前一秒多滑行4 m,又知离地前一秒滑行了58 m,则这架飞机起飞所用的时间为　　　秒.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 飞机起飞前每秒滑行的距离组成等差数列,记为{an},其中a1=2,d=4,an=58,代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,得2+4(n-1)=58,所以n=15(秒). 9.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7. (1)求数列的第10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:设数列{an}的公差为d, 则 (1)a10=a1+9d=-2+27=25. (2)问112是数列{an}的第几项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)an=-2+(n-1)×3=3n-5, 由112=3n-5,解得n=39. 所以112是数列{an}的第39项. (3)在80到110之间有多少项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (3)由80<3n-5<110, 解得28, 所以n的取值为29,30,…,38,共10项. [B组] 10.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则(　　) A.an=3n B.an= C.an=n- D.an=3n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D ∵点(,)在直线x-y-=0上, ∴,即数列{}是首项为,公差为的等差数列. ∴数列{}的通项公式为+(n-1)n,即an=3n2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 024这2 024个数中,能被3除余1,且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a10等于(　　) A.190 B.211 C.232 D.253 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 由题意可得an能被3除余1,且被7除余1, 则an-1是21的倍数,即an-1=21(n-1), 即an=21n-20,∴a10=21×10-20=190. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若F1F2,AF1,F1B成等差数列,则此椭圆的离心率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意可知,F1F2=2c,AF1=a-c,F1B=a+c,又F1F2,AF1,F1B成等差数列,所以2AF1=F1F2+F1B,即2(a-c)=2c+a+c,所以a=5c,则e=. 13 13.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…), 且a1=1, 所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3. 从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)数列{an}不可能为等差数列, 证明如下: 由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an, 得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ, 解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2, a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与{an}为等差数列矛盾.所以,不存在实数λ使{an}是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$