4.2.1 等差数列的概念-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 [学习目标]　1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的判定方法.3.理解等差中项的概念,并能简单应用. [素养目标]　水平一:1.理解等差数列的概念.(数学抽象)2.等差数列的基本量的运算.(数学运算) 水平二:等差数列的判断与证明.(逻辑推理) 学习引语　 　　某影院有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,….你能知道第30排有多少个座位吗? 探究活动1　等差数列的概念 内容索引 探究活动2　等差数列中的基本计算 课时作业 巩固提升 探究活动3　等差数列的判定与证明 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　等差数列的概念 问题　观察下面几个问题中的数列,回答下面的问题. ①在过去的300多年里,人们记下了哈雷彗星出现的时间:1682,1758,1834,1910,1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示,常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为:275,270,265,260,255,250,…. ③为增强体质,学校增加了体育训练的项目,下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数:10,10,10,10,10. 以上数列有什么共同特征?你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗? 提示　对于①,我们发现1 758-1 682=76,1 834-1 758=76,1 910-1 834=76,1 986-1 910=76,也就是说该数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986+76=2 062.对于②,有270-275=-5,…;对于③,10-10=0,有同样的取值规律. 一般地,如果一个数列从第　　　　项起,每一项减去它的前一项所得的　　　　都等于　　　　　　　　,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的　　　　,公差通常用字母　　　　表示.  知识生成 二　 差　 同一个常数　 公差　 d 温馨提醒　(1)概念的符号表示:an-=d(n≥2);(2)定义中强调“从第二项起”,因为第一项没有前一项;(3)差必须是同一个常数;(4)公差可以是正数、负数、零;(5)当d>0时,{an}是递增数列,当d=0时,{an}是常数列,当d<0时,{an}是递减数列. 例1 　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9,…; ②9,6,3,0,-3,…; ③1,3,4,5,6,…; ④7,7,7,7,7,…; ⑤1,,,,,…. 知识应用 [解]　①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是. 　　利用定义法判断等差数列:从第二项起,检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列. 反思感悟 1.判断下列数列是不是等差数列.如果是,写出它的公差. (1),1,,2,; 跟踪训练 解:(1)由等差数列的定义可知,数列,1,,2,的等差数列. (2)4,2,0,-2,-4; 解: (2)由等差数列的定义可知,数列4,2,0,-2,-4是公差为-2的等差数列. (3)1,,,2. 解: (3)由等差数列的定义可知,数列1,,,2不是等差数列. 探究活动2　等差数列中的基本计算 　(1)若,a,成等差数列,则a=　　　　.  例2 知识应用 (1)由等差数列的定义可知a--a,解得a=. (2)若m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是　　　　　.  3 (2)由题设知,所以m+n=6,故m和n的等差中项是3. 　　若几个数成等差数列,严格按照等差数列的定义列出等式,通过解方程或方程组的方法求出未知量. 反思感悟 2.已知3和k的等差中项是2k,则实数k的值为　　　　,3k与9k的等差中项为　　　　.  跟踪训练 1　 6 由3和k的等差中项是2k,得3+k=4k,则实数k=1,则3k与9k的等差中项为6k=6. 3.若-1,a,b,c,7成等差数列,求a,b,c的值. 解:由等差数列的定义 探究活动3　等差数列的判定与证明 　已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n>1),记bn=.求证:数列{bn}是等差数列. 例3 知识应用 [证明]　(法一:定义法) ∵bn+1=, ∴bn+1-bn=(n∈N*),为常数. 又b1=, ∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. (法二:等差中项法) ∵bn=, ∴bn+1=. ∴bn+2=. ∴bn+bn+2-2bn+1==0. ∴bn+bn+2=2bn+1(n∈N*), ∴数列{bn}是等差数列. 等差数列判定的常用方法 1.定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列. 2.等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列. 反思感悟 4.已知数列{an}满足a1=2,an+1=. (1)数列是否为等差数列?说明理由; 跟踪训练 解:(1)数列是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=,∴, ∴, 即,公差为d=的等差数列. (2)求an. 解: (2)由上述可知+(n-1)d=, ∴an=. 1.牢记3个知识点 (1)等差数列的概念. (2)等差中项. (3)等差数列的判断与证明. 课堂小结 2.掌握2种方法 (1)等差数列中的基本运算. (2)判断一个数列是否为等差数列的常用方法: ①an+1-an=d(d为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列; ②2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列; 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可. 3.注意1个易错点 判断等差数列时忽视n的取值而致误. 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列数列中成等差数列的是(　　) A.,,　　　　　　　 B.lg 5,lg 6,lg 7 C.1,, D.2,3,5 C 对于A,,A不是等差数列;对于B,lg 5+lg 7=lg 35≠lg 36=2lg 6,B不是等差数列;对于C,1+,C是等差数列;对于D,2+5=7≠2×3,D不是等差数列. 2.已知a=4,b=8,则a,b的等差中项为(　　) A.6 B.5 C.7 D.8 A 设a,b的等差中项为m,则2m=a+b.又a=4,b=8,所以m=6. 3.(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.,,1,, D.-3,-2,-1,1,2 ABC 由等差数列的定义得, A项d=0,故是等差数列; B项d=3,故是等差数列; C项d=,故是等差数列; D项每一项与前一项的差不是同一个常数,故不是等差数列. 4.已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a3=6,则该等差数列的公差d=　　.  2 由等差数列的定义可知a2-a1=a3-a2,所以a2=4,故公差d=a2-a1=2. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.已知在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则角B等于(　　) A.30°　　　　　　 　　　 B.60° C.90° D.120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 因为A,B,C成等差数列, 所以B是A,C的等差中项,则有A+C=2B. 又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,从而B=60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.以下选项中构不成等差数列的是(　　) A.2,2,2,2 B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a(a为常数) C.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3 D.a-1,a+1,a+3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C C项不满足等差数列的定义. 3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为(　　) A.26 B.29 C.39 D.52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 由等差数列的定义可知:解得x+y+z=39. 4.已知命题p:a,b,c成等差数列,命题q:2b=a+c,那么命题p是命题q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 因为命题p:a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,故p⇒q; 由命题q:2b=a+c可得b-a=c-b,所以a,b,c成等差数列,故q⇒p. 综上,命题p是命题q的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)下列数列中是等差数列的有( 　　) A.2,5,8,11 B.1.1,1.01,1.001,1.000 1 C.a,a,a,a D.lg 2,lg 20,lg 200,lg 2 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 对于A,因为从第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数3,所以此数列是等差数列,所以A正确;对于B,因为1.01-1.1=-0.09,1.001-1.01=-0.009,即1.01-1.1≠1.001-1.01,所以此数列不是等差数列,所以B不正确;对于C,因为从第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数0,所以此数列是等差数列,所以C正确;对于D,数列lg 2,lg 20,lg 200,lg 2 000可表示为lg 2,1+lg 2,2+lg 2,3+lg 2,因为从第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数1,所以此数列是等差数列,所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)下列命题中正确的是( 　　) A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列 B.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列 C.若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列 D.若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BCD 对于A,取a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,A错误.对于B,若a=b=c⇒2a=2b=2c,B正确;对于C,∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),C正确;对于D,如:a=b=c≠0⇒,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.在-3和6之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则公差为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 由等差数列的定义可知所以d=3. 8.已知数列{an}满足+4,且a1=1,an>0,则a3=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 由等差数列的定义可知=4,故{}是以4为公差的等差数列,所以+4=5,+4=9,所以a3=3. 9.已知数列{an}是等差数列. (1)如果a1=0,a3=8,求公差d和a2; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由定义可知a2-a1=a3-a2=d,所以a2=4,d=4. (2)如果a2=3,a3=6,求公差d和a1; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由定义可知a2-a1=a3-a2=d,所以d=3,a1=0. (3)如果a1=1,a2=3,求公差d和a7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (3)由定义可知a2-a1=d=2,所以a7=13. 10.已知在数列{an}中,a3=9,a5=5,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*),试判断数列{an}是否为等差数列,若是,求数列{an}的首项和公差;若不是,请说明理由. 解:因为an+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an(n∈N*),说明这个数列从第2项起,后一项减前一项所得的差始终相等,所以数列{an}是等差数列. 由a3=9,a5=5,可知a4=7,所以d=-2,所以a1=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.已知在各项均不为零的等差数列{an}中,满足a1+a3=,则a2等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C ∵an为等差数列,∴a2-a1=a3-a2, ∴a1+a3=2a2, ∴2a2=,解得a2=2(a2=0舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列,b=2,则a+c的取值范围是(　　) A.(2,3] B.(2,4] C.(0,4] D.(2,2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在△ABC中,由A,B,C成等差数列, 可得2B=A+C, 由A+B+C=π, 得3B=π,B=, 由余弦定理b2=a2+c2-2ac·cos B, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可得4=a2+c2-2ac·cos, 即4=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac, 则(a+c)2-4=3ac≤(a+c)2, 解得-4≤a+c≤4, 又a+c>b=2, ∴a+c的取值范围是(2,4]. 13 14 13.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是 　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 a=-b或a=3b 13 由等差中项的定义知,x=,x2=, ∴, 即a2-2ab-3b2=0, ∴(a-3b)(a+b)=0, ∴a=3b或a=-b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.在数列{an}中,a1=-1,an+1=,证明:是等差数列. 证明:∵an+1=,∴-1,即=-1. 又a1=-1,则, ∴是首项为-,公差为-1的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$