4.1.2 数列的递推公式-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.1　数列 第2课时　数列的递推公式 [学习目标]　1.理解数列的递推公式,能根据递推公式写出数列的前n项.2.会根据数列的递推公式求出一些特殊数列的通项公式. [素养目标]　水平一:1.正确理解数列的函数特征.(数学抽象)2.会求数列中的最大(小)项.(数学运算、逻辑推理) 水平二:利用数列的递推公式求具体项或求通项.(逻辑推理) 探究活动1　数列的递推公式 内容索引 探究活动2　由递推公式求通项公式 课时作业 巩固提升 探究活动3　数列的函数特征 课堂达标·素养提升 3 探究活动1　数列的递推公式 问题1　某剧场有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.写出前五排座位数. 提示　20,22,24,26,28. 问题2　第n排与第n+1排座位数有何关系? 提示　第n+1排比第n排多2个座位. 问题3　第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗? 提示　能.an+1=an+2. 一般地,如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用　　　　　　来表示,那么这个公式就叫作这个数列的　　　　.  知识生成 一个公式　 递推公式 例1 　已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项. 知识应用 [解]　∵a1=1,an+1=, ∴a2=, a3=, a4=, a5=. 故该数列的前5项为1,,,,.   　　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律性. 反思感悟 1.已知数列{an}满足an+1=2an+2,若a1=1,则a4=　　　　.  跟踪训练 22 因为数列{an}满足an+1=2an+2,a1=1,所以a2=4,a3=10,a4=22. 探究活动2　由递推公式求通项公式 　(1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,求通项公式an; 例2 知识应用 [解]　(1)∵an+1-an=, ∴a2-a1=;a3-a2=;a4-a3=; … an-an-1=(n≥2). 以上各式累加得,an-a1=+…+ +…+(n≥2). ∴an+1=1-(n≥2), ∴an=-(n≥2). 又∵n=1时,a1=-1,符合上式, ∴an=-(n∈N*). (2)设数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求通项公式an. [解]　(2)∵a1=1,an=an-1(n≥2), ∴(n≥2),an=×…××…×(n≥2). 又∵n=1时,a1=1,符合上式, ∴an=(n∈N*). 　　由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式,即: (1)累加法:当an=an-1+f(n)(n≥2)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式. (2)累乘法:当=g(n)(n≥2)时,常用·…··a1求通项公式. 反思感悟 2.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+(n≥2),写出该数列的前5项,并归纳出它的通项公式. 跟踪训练 解:由题易得a1=1,a2=a1+, a3=a2+, a4=a3+, a5=a4+. 故数列{an}的前5项依次为1,,,,. 由于1=,,,,, 故数列{an}的一个通项公式为an=. 由a1和递推公式可知,{an}是确定的, 又∵an=,a1满足推导公式, ∴an=就是通项公式. 探究活动3　数列的函数特征 问题1　根据通项公式如何求数列中的第几项?怎么确定某项是否为数列的项?若是,是第几项? 提示　根据an,求第几项,采用的是代入法,如第5项就是令n=5,求a5.判断某项是不是数列中的项,就是解方程.令an等于该项,解得n∈N*即是,否则不是. 问题2　已知数列{an}的通项公式为an=-n2+2n+1,该数列的图象有何特点?试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项. 提示　由数列与函数的关系可知,数列{an}的图象是分布在二次函数y=-x2+2x+1图象上的离散的点,如图所示,从图象上可以看出该数列是一个递减数列,且前两项为正数项,从第3项往后各项为负数项. 知识生成 通项公式就是数列的函数解析式,以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的,而数列是自变量为离散的数的函数. 温馨提醒　(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式.(2)数列还可以用列表法、图象法表示. 　已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)·(n∈N*),试求数列{an}中的最大项. 例3 知识应用 [解]　∵an=(n+1), ∴an+1=(n+2),an-1=n·. 设an是最大项,∴n∈N*且n≥2, 即解得8≤n≤9, 当n=8时,a8=; 当n=9时,a9=. ∴最大项为a8,a9,且a8=a9=. 求数列{an}的最大(小)项的方法 1.利用判断函数单调性的方法,先判断数列的单调性,再求数列的最大项或最小项. 2.设ak是最大项,则有对任意的k∈N*且k≥2都成立,解不等式组即可;设ak是最小项,则有对任意的k∈N*且k≥2都成立,解不等式组即可. 反思感悟 3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数? 跟踪训练 解:(1)令an=n2-5n+4<0,解得1<n<4. 又∵n∈N*, ∴n=2或3,即数列中仅有两项是负数. (2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值. 解: (2)an=n2-5n+4=. 其对称轴为n==2.5, 又∵n∈N*,∴当n=2或3时,an取得最小值,最小值为=-2. 1.牢记3个知识点 (1)数列的4种表示方法 ①图象法;②列表法;③通项公式法;④递推公式法. (2)通项公式和递推公式的区别. (3)数列是特殊的函数,具有函数的性质. 课堂小结 2.掌握求通项公式的常用方法 (1)观察法;(2)累加法;(3)累乘法. 3.注意1个易错点 累加(累乘)法求通项公式时,易忽略验证n=1. 〈课堂达标·素养提升〉 1.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(　　) A.an=an-1+2(n≥2) B.an=2an-1(n≥2) C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) D.a1=2,an=2an-1(n≥2) C A,B中没有说明某一项,无法递推,D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意. 2.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3(n≥2),则数列的通项公式an=(　　) A.3n+1　　　　　　　　 B.3n C.3n-2 D.3(n-1) C 根据条件可以写出前5项为:1,4,7,10,13,可以归纳出an=3n-2. 3.(多选)下面四个结论中正确的是(　　) A.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数 B.若用图象表示数列,则图象是一群孤立的点 C.数列的项数是无限的 D.数列的通项公式是唯一的 AB 数列可看作一个函数,它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集,其图象是一群孤立的点,故A,B中结论正确.数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,故C中结论错误.数列通项的表达式可以不唯一,例如,数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是an=sin,也可以是an=cos,故D中结论错误. 4.设数列{an}的通项公式为an=n2+bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围为　　　　.  (-3,+∞) 因为数列{an}是单调递增数列, 所以对任意n∈N*,an+1>an, 所以(n+1)2+b(n+1)>n2+bn,化为b>-(2n+1). 因为数列{-(2n+1)}是单调递减数列,所以当n=1,-(2n+1)取得最大值-3, 所以b>-3. 即实数b的取值范围为(-3,+∞). 课时作业 巩固提升 [A组] 1.在数列{an}中,a1=1,an+1=-1,则此数列的前4项和为(　　) A.0　　　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A ∵a1=1,an+1=-1, ∴a2=12-1=0,a3=02-1=-1, a4=(-1)2-1=0, ∴前4项和a1+a2+a3+a4=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.在数列{an}中,a1=-2,an+1=1-,则a2 025的值为(　　) A.-2 B. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B ∵a1=-2,an+1=1-,∴a2=1+,a3=1-,a4=1-=1-3=-2,∴数列{an}是周期T=3的周期数列,∴a2 025=a3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.在数列{an}中,an=,则{an}(　　) A.是常数列 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 在数列{an}中,an=,由反比例函数的性质得{an}是递减数列. 4.数列{an}的通项公式an=3n2-28n,则数列各项中最小项是(　　) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B an=3时,an最小.又由于n为正整数,∴n=5时,an最小. 5.(多选)数列1,3,7,15,31,63,…满足的递推关系式可以为(　　) A.an+1=an+2n-1 B.an+1=an+2n C.an+1=2an+1 D.an+1=2an+n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC a2=a1+2,a3=a2+4=a2+22,a4=a3+8=a3+23,a5=a4+16=a4+24,观察可得an+1=an+2n,易得an+1=2an+1也满足上式. 6.(多选)数列{an}的通项公式为an=n+,则(　 　) A.当a=2时,数列{an}的最小项是a1=a2=3 B.当a=-1时,数列{an}的最小项是a1=0 C.当0<a<4时,a是数列{an}中的项 D.当a<2时,{an}为递增数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 当a=2时,an=n+,由f(x)=x+的单调性及a1=3,a2=3,可知A正确;当a=-1时,an=n-,显然是递增数列,故最小项为a1=0,B正确;令an=n+=a,得n2-na+a=0,当0<a<4时,Δ=a2-4a<0,故方程无解,所以a不是数列{an}中的项,C不正确;若{an}是递增数列,则an+1>an,即n+1+,得a<n2+n,又n2+n≥2,所以a<2,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 设f(x)=-x2+11x,则当x=时,f(x)取得最大值,又an=-n2+11n(n∈N*),且5<<6,故当n=5或n=6时,此数列取得最大项,为a5=a6=30,故此数列最大项的值是30. 8.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1,且a1=1,则a100=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 050 由(n-1)an=(n+1)an-1,即, 则a100=a1···…·×…×=5 050. 9.在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*). (1)求a2,a3,a4; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)∵a1=1,an+1=, ∴a2=,a3=,a4=. (2)猜想an(不用证明). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)猜想:an=. 10.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:∵an+1=an+ln, ∴an-an-1=ln(n≥2),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln+…+ln=2+ln n(n≥2). 又a1=2满足上式, 故an=2+ln n(n∈N*). [B组] 11.已知数列{an}的通项公式an=-58+16n-n2,则(　　) A.{an}是递增数列 B.{an}是递减数列 C.{an}先增后减,有最大值 D.{an}先减后增,有最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C an=-(n-8)2+6,an是二次函数f(x)=-(x-8)2+6在x=n处的函数值,图象开口向下,当n≤8时,数列{an}单调递增,当n>8时,数列{an}单调递减,当n=8时,a8最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式是(　　) A.an+1=an+n,n∈N* B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2 C.an+1=an+(n-1),n∈N* D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题图易知,a1=1,a2=3=a1+2,a3=6=a2+3,a4=10=a3+4.故该数列的一个递推公式是an=an-1+n,n∈N*,n≥2. 13 14 13.费马数是以数学家费马命名的一组自然数,具有如下形式:Fn=+1(n=0,1,2,…).若bn=(n∈N*),则数列{bn}的最大项、最小项分别为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 b6,b5 13 bn=,因为函数f(n)=2n-36(n=1,2,…)单调递增,且当n≤5时,bn<0,当n≥6时,bn>0,所以数列{bn}的最大项为b6,最小项为b5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a4=4,求m所有可能的取值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1. 若a2为奇数,则3a2+1=1,a2=0(舍去), 若a2为偶数,则=1,a2=2. 若a1为奇数,则3a1+1=2,a1=(舍去), 若a1为偶数,=2,a1=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若a3为偶数,则=4,a3=8. 若a2为奇数,则3a2+1=8,a2=(舍去), 若a2为偶数,则=8,a2=16. 若a1为奇数,则3a1+1=16,a1=5, 若a1为偶数,则=16,a1=32. 故m所有可能的取值为4,5,32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$