4.1.1 数列的概念与简单表示法-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

第4章　数列 4.1　数列 第1课时　数列的概念与简单表示法 [学习目标]　1.理解数列及有关概念,了解数列和函数之间的关系.2.了解数列的通项公式,会用数列的通项公式写出数列的任意一项.3.会根据数列的前几项写出它的一个通项公式. [素养目标]　水平一:1.了解数列与函数之间的关系.(数学抽象)2.能根据数列的通项公式写出数列的项.(数学运算) 水平二:根据数列的前几项写出它的一个通项公式.(逻辑推理) 学习引语　 1.一尺之捶,日取其半,万世不竭. 1,,,,,… 2.三角形数 3.正方形数   这些数有什么规律?与它所表示图形的序号有什么关系? 探究活动1　数列的概念与分类 内容索引 探究活动2　数列的通项公式 课时作业 巩固提升 探究活动3　数列的通项公式的简单应用 课堂达标·素养提升 6 探究活动1　数列的概念与分类 问题　观察以下几列数: ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯,上面的数字依次为:7,49,343,2 401,16 807; ②从学号1开始,记下本班的每一个同学参加高考的时间:2 026,2 026,2 026,…,2 026; ③小明为了记住刚设置的手机密码,只听他不停地说:7,0,2,5,7,0,2,5,…; ④-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数:-,,-,,…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗? 提示　共同点:都是按照确定的顺序进行排列的.不同点:从项数上来看:①②项数有限,③④项数无限;从项的变化上来看:①每一项在依次变大,②项没有发生变化,③项呈现周期性的变化,④项的大小交替变换. 1.按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫作这个数列的　　　　.数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第　　　项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫作这个数列的第　　　　项,用a2表示……第n个位置上的数叫作这个数列的第n项,用　　　　表示.其中第1项也叫作　　　　.  2.数列的一般形式是a1,a2,a3,…,an,…,简记为　　　　.  知识生成 项　 2　 an 首项 {an} 1　 3. 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数　　　　的数列  无穷数列 项数　　　　的数列  按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 有限　 无限 例1 　(1)(多选)下列说法错误的是(　 　) A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列 C.数列0,1,2,3,…是递增数列 D.数列1,3,5,7与数列1,3,5,7,…是同一数列 知识应用 ABD (1)A中说法错误,构成数列的数是有顺序的,而集合中的元素是无序的;B中说法错误,两个数列的数的排列顺序不相同,所以不是同一数列;D中说法错误,数列1,3,5,7是有穷数列,而数列1,3,5,7,…是无穷数列. (2)下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1,,,,… B.sin,sin,sin,… C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, C (2)A是递减数列,B是摆动数列,D是有穷数列. 　　解答数列概念题要紧扣相关定义,观察数列的项数特征,确定是有穷数列还是无穷数列,观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性,也可以借助函数的单调性判断数列的增减. 反思感悟 1.已知下列数列: (1)2,22,222,2 222; (2)0,,,…,,…; (3)1,,,…,,…; (4)-1,0,-1,0,…,,…; (5)a,a,a,a,…. 其中,有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　　,递减数列是　　　　,常数列是　　　　.(将正确的序号填在横线上)  跟踪训练 (1)　 (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (5) (1)是有穷递增数列;(2)是无穷递增数列;(3)是无穷递减数列;(4)是无穷数列,也是摆动数列;(5)是无穷数列,也是常数列. 探究活动2　数列的通项公式 问题　我们发现探究活动1中问题中的①②④,项与项数之间存在某种联系,你能发现它们的联系吗? 提示　对于①,a1=7,a2=7×7=72,a3=7×7×7=73,…,于是an=7n,n∈{1,2,3,4,5}; 对于②,an=2 026,n∈{x|x是本班学生的学号}; 对于④,an=,n∈N*. 一般地,如果数列{an}的第n项与　　　　之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列的　　　　.  知识生成 序号n　 通项公式 　根据下面数列的前4项,写出数列{an}的一个通项公式. (1)2,4,8,16,…; 例2 知识应用 [解]　(1)易知该数列的一个通项公式为an=2n. (2)1,-3,5,-7,…; [解]　(2)正负号可用(-1)n+1调节,故该数列的一个通项公式为 an=(-1)n+1(2n-1). (3),2,,8,…; [解]　(3)数列中的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:,,,,…,易知该数列的一个通项公式为an=. (4)3,33,333,3 333,…. [解]　 (4)将原数列改写为×9,×99,×999,…,故所求的数列的一个通项公式为an=(10n-1). 归纳数列的通项公式的方法技巧 　　要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察、分析数列中项的构成规律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,进而表示出an. 反思感悟 2.写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列各数: (1)-2,-4,-6,-8,…; 跟踪训练 解:(1)每一项都是负数,且每一项的绝对值恰好是项数的两倍,因此通项公式是an=-2n. (2)0,3,8,15,…; 解: (2)将数列变形为1-1,4-1,9-1,16-1,…,亦即12-1,22-1,32-1,42-1,…,所以通项公式是an=n2-1. (3)2,-2,2,-2,…. 解: (3)这是一个摆动数列,符号可由(-1)n+1来调节,每一项的绝对值都等于2,故通项公式为an=(-1)n+1·2. 探究活动3　数列的通项公式的简单应用 　已知数列{an}的通项公式是an=. (1)写出该数列的第4项和第7项. 例3 知识应用 [解]　(1)由通项公式an=可得 a4=,a7=. (2)试判断是否为该数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,说明理由. [解]　(2)令,得n2=9, 所以n=3(n=-3舍去), 故是该数列中的项,并且是第3项; 令,得n2=,所以n=±, 由于±都不是正整数, 因此不是数列中的项. 1.数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项,反过来,判断一个数是不是一个数列中的项,要看以n为未知数的方程有没有正整数解,有正整数解就是,否则就不是. 2.解决是否存在型问题,可先假设存在,然后代入条件或参数的值或范围,若符合题意,则存在,若不符合题意,则不存在. 反思感悟 3.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出此数列的第4项和第6项. 跟踪训练 解:(1)a4=3×42-28×4=-64, a6=3×62-28×6=-60. (2)问-49是否为该数列的一项?如果是,那么是第几项?68是否为该数列的一项呢? 解: (2)由3n2-28n=-49解得n=7或n=(舍去), 所以-49是该数列的第7项; 由3n2-28n=68解得n=-2或n=,均不合题意,所以68不是该数列的项. 1.掌握3个知识点 (1)数列的概念. (2)数列的表示. (3)数列的通项公式. 2.牢记3种方法 求通项公式的方法:观察法、归纳法、猜想法. 课堂小结 3.注意2个易错点 (1)忽略n∈N*. (2)不注意用(-1)n进行调节. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于(　　) A.11　　　　　　　　　 B.12 C.13 D.14 C 观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和,故x=5+8=13. 2.数列{an}:-,3,-3,9,…的一个通项公式是(　　) A.an=(-1)n(n∈N*) B.an=(-1)n(n∈N*) C.an=(-1)n+1(n∈N*) D.an=(-1)n+1(n∈N*) B 该数列的前几项可以写成-,,-,,…,故可以归纳为 an=(-1)n. 3.(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列4,7,3,4的首项是4 B.若数列的首项为3,则从第2项起,各项均不等于3 C.数列2,5,2,5,…,2,5,…是无穷数列 D.a,-3,-1,1,b,5,7一定能构成数列 AC 根据数列的相关概念知,第1项即为首项,故A中说法正确. 同一个数在一个数列中可以重复出现,故B中说法错误. 由无穷数列的概念可知,C中说法正确. 由数列的概念知,当a,b都代表数时可构成数列,当a,b中至少有一个不代表数时不能构成数列,故D中说法错误. 4.已知数列{an}的通项公式an=4n-1,则它的第7项是　　　　, a2 025-a2 024=　　　　.  27　 4 a7=4×7-1=27,a2 025-a2 024=(4×2 025-1)-(4×2 024-1)=4. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是(　　) A.递增数列　　　　　　　 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 法一:易知函数y=3x在R上单调递增,∴当an=3n时,数列{an}是递增数列. 法二:an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.数列1,,,,,…的一个通项公式是(　　) A.an= C.an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 易知项的分母为2n-1(n∈N*),分子为n(n∈N*),故通项公式可以为an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的(　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.非任何一项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去). 4.数列-,,-,,…的通项公式an为(　　) A.(-1)n+1 B.(-1)n+1 C.(-1)n D.(-1)n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 观察式子的分子为1,2,3,4,…,n,…,分母为3×5,5×7,7×9,…, (2n+1)(2n+3),…,而且正负间隔,故通项公式an=(-1)n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)下列说法中不正确的是(　　) A.数列1,3,5,7,…,2n-1可以表示为1,3,5,7,… B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列 C.数列 D.数列0,2,4,6,8,…可记为{2n} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 在A中,数列1,3,5,7,…,2n-1,n取某一具体值时为有穷数列,而数列1,3,5,7,…为无穷数列,故A中说法错误;在B中,数的次序不同就是两个不同的数列,故B中说法错误;在C中,ak=,故C中说法正确;在D中,an=2n-2,故D中说法错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3,则下列可以作为其通项公式的是(　　) A.an=n B.an=n3-6n2-12n-6 C.an=n+1 D.an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AD 对于A,若an=n,则a1=1,a2=2,a3=3,符合题意;对于B,若an=n3-6n2-12n-6,则a1=-23,不符合题意;对于C,若an=n+1,则a3=4≠3,不符合题意;对于D,若an=,则a1=1,a2=2,a3=3,符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.数列2,-3,4,-5,…的一个通项公式为　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 an=(-1)n+1(n+1) 观察发现奇数项为正,偶数项为负,且每一项的绝对值都是序号加1,故它的一个通项公式为an=(-1)n+1(n+1). 8.写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式: 　　　　　　　　　　　　.  ①无穷数列;②递减数列;③每一项都是正数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 an=(答案不唯一) 根据题意可得,数列{an}的通项公式可以为an=.(答案不唯一) 9.写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)各项是从4开始的偶数,所以an=2n+2,n∈N*. (2),,,,,…; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,…,分子分别比分母少1,故所求数列的通项公式可写为an=,n∈N*. (3)-1,,-,,…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (3)通过观察,数列中的数正、负交替出现,且先负后正,则选择(-1)n.又第1项可改写成分数-,则每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成(2n+1)的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,…,可写成n(n+2)的形式.所以此数列的一个通项公式为an=(-1)n·,n∈N*. 10.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,n∈N*. (1)写出数列的前3项; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)在通项公式an=2n2-n中依次取n=1,2,3,可得{an}的前3项分别为1,6,15. (2)判断45是否为数列{an}中的项,3是否为数列{an}中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)令2n2-n=45,得2n2-n-45=0,解得n=5或n=-(舍去),故45是数列{an}中的第5项. 令2n2-n=3,得2n2-n-3=0,解得n=-1或n=,均不符合题意,故3不是数列{an}中的项. [B组] 11.1766年,德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等行星,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为(　　) A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8项是192,0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…的规律是原数列的每一项加4,再除以10,计算即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续做下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C A.an=n,n∈N* B.an=,n∈N* C.an=,n∈N* D.an=n2,n∈N* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…, ∴a1=1,a2=,a3=,…,an=. 13 14 13.在如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 an=4n+2 13 我们把图案按如下规律分解:   这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+4×2,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.在数列{an}中,an=. (1)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)证明:因为an=(n∈N*), 所以0<an<1, 故数列的各项都在区间(0,1)内. (2)区间内有没有数列中的项?若有,有几项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)解:令,则<n2<2,n∈N*, 解得n=1,即在区间内有且只有1项数列中的项,为a1. $$