2025年高考一轮复习第二次月考卷01（测试范围：集合+不等式+函数+三角+导数+复数+平面向量）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

2025年高考一轮复习第二次月考卷01 （满分150分，考试用时120分钟） （测试范围：集合+不等式+函数+三角+导数+复数+平面向量） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，，则 ． 2．设复数，则 . 3．陈述句“且”的否定形式是 ． 4．函数的严格减区间为 ． 5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 . 6．关于x的不等式的解集为 ． 7．设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 8．若实数，满足，则的最小值为 . 9．已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为 ． 10．已知函数，若m满足，则实数m的取值范围是 11．已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 12．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“”成立的（    ） A．充要条件； B．充分非必要条件； C．必要非充分条件； D．既非充分也非必要条件． 14．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 15．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 16．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中 （1）有5个不同的值；（2）若则与无关；（3）若，则与无关；（4）若，则；（5）若，，则与的夹角为．正确的是（　　） A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（5） D．（1）（4） 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分.) 17．已知函数，. (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，若，求. 18．已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 19．经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 20．已知函数，． (1)当时，若有最大值4，求的值； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值； (3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围． 21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”． (1)试分别判断函数，和，是不是“卓然”函数？并说明理由； (2)若是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围； (3)证明：是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考一轮复习第二次月考卷01 （满分150分，考试用时120分钟） （测试范围：集合+不等式+函数+三角+导数+复数+平面向量） 一、填空题 1．已知全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】求出，再求可得答案. 【解析】因为，所以， 故答案为：. 2．设复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解. 【解析】由题意知，， 所以. 故答案为： 3．陈述句“且”的否定形式是 ． 【答案】“或” 【分析】根据命题的否定理解. 【解析】“且”的否定形式是“或”. 故答案为：“或”. 4．函数的严格减区间为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答. 【解析】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的严格减区间为. 故答案为： 5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案. 【解析】向量在向量方向上的投影， 即. 故答案为：. 6．关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，求出的单调性，又根据，把不等式转化为，由的单调性即可求得不等式的解集. 【解析】令，则的定义域为，     因为和在上均单调递减， 所以在上单调递减，又， 则不等式等价于， 所以，原不等式的解集为. 故答案为：. 7．设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由奇函数定义求出，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. 【解析】函数是奇函数，则恒成立， 而不恒为0，因此，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为： 8．若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可. 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 9．已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】先用辅助角公式得到，结合得到，求出，得到答案. 【解析】， 因为，，所以， 因为函数在上有唯一的最小值-2， 所以，解得， 故的取值范围是. 故答案为： 10．已知函数，若m满足，则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】先判断出的奇偶性，再结合单调性和题干条件，得到，求出实数m的取值范围. 【解析】定义域为R，且，所以为偶函数， 因为，所以， 所以等价于， 而，所以， 又因为当时，且单调递增，且 单调递增， 所以在为单调增函数， 故，解得：. 故答案为： 11．已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【解析】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 12．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可. 【解析】原问题等价于， 当时，函数图象如图 此时， 则，解得：； 当时，函数图象如图 此时， 则，解得：； 当时，函数图象如图 此时， 则，解得：； 当时，函数图象如图 此时， 则，解得：； 综上，满足条件的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想. 二、单选题 13．“”是“”成立的（    ） A．充要条件； B．充分非必要条件； C．必要非充分条件； D．既非充分也非必要条件． 【答案】A 【分析】解不等式求出，再根据充要条件的定义判断可得答案. 【解析】由得，由得， 所以是成立的充要条件. 故选：A. 14．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象和的奇偶性判断. 【解析】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 15．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过二次求导得到的对称中心，利用对称性求解即可. 【解析】由题意可得，， 令解得， 又， 所以的图象的对称中心为，即， 所以 ， 故选：B 16．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中 （1）有5个不同的值；（2）若则与无关；（3）若，则与无关；（4）若，则；（5）若，，则与的夹角为．正确的是（　　） A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（5） D．（1）（4） 【答案】B 【分析】依题意，可求得S有3种结果：①；②；③．可判断（1）错误；进一步分析有，即中最小为；再对（2）（3）（4）（5）逐一分析即可得答案． 【解析】∵均由2个和3个排列而成∴可能情况有三种： ①；②；③．故（1）错误； ∵∴中最小为． 若，则，与无关，故（2）正确； 若，则，与有关，故（3）错误； 若，则，故（4）正确； 若，， ∴，∴，即与的夹角为，（5）错误． 综上所述，命题正确的是（2）（4） 故选： 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题． 三、解答题 17．已知函数，. (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，若，求. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简可得，利用正弦函数的单调性得到在递增，在递减，进而求出最值； （2）根据题意得到，然后利用正弦定理得到，再结合余弦定理和三角形面积公式即可求解. 【解析】（1）， 由，，得 的单调递减区间为，， 故在递增，在递减， 故，. （2），则， ，，所以， 所以，， 因为，所以由正弦定理得，① 由余弦定理得，即，② 由①②解得：，. 故. 18．已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 【答案】(1)函数在区间上的单调递减，证明见解析； (2)当时，，当且时，. 【分析】（1）利用定义法结合对数函数单调性即可得到其单调性； （2）利用（1）中的结论即可得到大小关系. 【解析】（1）在区间上单调递减， 证明：当时，任取， 则， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 当时，任取， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 综上所述，在区间上单调递减， （2）当时，时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 由（1）在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 当时，，， ， ，即， ， 当时，，，，且， 所以， 综上，当时，， 当且时，. 19．经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数） (2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析 【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可； （2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可 【解析】（1）若选择模型（1），将以及代入可得 解得，即，经验证，符合题意； 若选择模型（2），将以及代入可得， 解得，即， 当时，，故此函数模型不符题意， 因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数） （2）记日销售利润为， 当且为整数时，， 对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元） 当且为整数时，， 当时，利润单调递减， 故当时取得最大值，且最大值为（百元） 所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型. 20．已知函数，． (1)当时，若有最大值4，求的值； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值； (3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用二次函数的最值，求出的值； （2）利用二次函数的最值研究两个函数的最值，先求出的最值取得时的值，再求出最值取得时的值，令两者相等，即可求出； （3）由条件，利用区间转换法求出在定义域上的解析式，再与联立，利用根的分布知识，即可求出实数m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 若，，则在上单调递减，无最大值，不成立， 所以，为二次函数， 要使有最大值，必须， 且当时，， 因为有最大值4，所以， 所以. （2）若，在上单调递减，无最大值，不成立， 所以，为二次函数， 要使有最大值，必须， 即， 此时，时，有最大值， 又因为取最小值时，， 依题意有， 可得，且 因为，且，为整数， 所以， 因为，所以或， 所以满足条件的所有整数对是：和. （3）当整数对是：或时，， 因为， 所以， 所以是以4为周期的周期函数， 又因为，， 所以， 因为，所以， 所以对任意的，， 所以对任意的，都有， 即对任意的，都有， 对于任意的都存在，使得， 则， 则，， 所以，即， 所以是奇函数， 函数的零点的个数可转化为的图像与的图像交点的个数， 因为这两个函数都是奇函数，所以它们在轴右侧交点的个数为2， 当，，则，， 所以， 当，，则，， 所以， 显然，不符合题意， 当时，考虑两个函数在轴右侧有且只有两个公共点， 则有两组解， 即有两解， 利用根的分布知识，可得， 且无解， 即无解， 利用根的分布知识，可得， 所以此时可得； 当时，考虑两个函数在轴右侧有且只有两个交点， 所以有一组解， 即有一解， 利用根的分布知识，可得， 且有一组解， 即有一组解， 利用根的分布知识，可得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题求解的关键是把零点个数转化为两个函数图象的公共点个数，结合方程根的区间分布来求解. 21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”． (1)试分别判断函数，和，是不是“卓然”函数？并说明理由； (2)若是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围； (3)证明：是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围． 【答案】(1)是；不是；理由见解析 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）根据“卓然”函数的定义判断即可； （2）由题意可得有解，利用导数确定函数的单调区间，求出函数的值域即可得答案； （3）按照“卓然”函数的定义证明即可，再结合导数、零点存在定理及分类讨论思想求“卓然值”的取值范围即可. 【解析】（1）函数是“卓然”函数，因为， 当时，则有，，满足； 因为，， 当时，，而，所以，不可能成立， 即不存在实数，满足成立， 所以，不是“卓然”函数； （2）由题意可得，， 所以有解，即有解． 对于函数： 因为，， 所以；， 令，则，解得：， 所以严格增区间：， 严格减区间：，值域：． 所以实数的取值范围是． （3），，设， ， 当时，恒成立， 此时不存在使得成立，不合题意； 当时，在上严格减，所以在上严格增， 因为， 所以存在使，， 当时，严格减， 当时，严格增， 所以， 由，所以， 此时不存在使得成立，不合题意； 当时，若，则，从而， 所以在上严格增， 当时，设，则， 设，当时，在上严格增， 且，所以，从而， 所以在上严格增，所以， 从而，所以在上严格增， 又， 由零点存在性定理，存在使得， 即成立，符合题意； 当时，，显然存在零点符合题意； 当时，在上严格减， 且，所以，从而， 所以在上严格减， 又时，， 存在，使得，即， 当时，严格增， 当时，严格减， 又时，， 由零点存在性定理，存在使得， 即成立，符合题意； 综上所述，为“卓然”函数，该函数“卓然”取值范围是． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$