江苏省阜宁中学2024-2025学年高三上学期周练数学试卷（二）

高三数学周练（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 2．函数在上的平均变化率等于（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（    ） A． B． C． D． 7．已知均为正实数，若直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列选项中正确的有（    ） A．若，则 B．若集合，且，则实数a的取值所组成的集合是． C．若不等式的解集为，则不等式的解集为或 D．已知函数的定义域是，则的定义域是． 10．是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 11．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 三、填空题 12．已知集合 则 . 13．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 14．已知函数f(x)＝，当x∈(－∞，m]时，f(x)∈，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 15．已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 16．已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 17．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示． (1)写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式； (2)写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式； (3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天） 18．已知函数. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：存在实数，使. 19．已知函数， (1)若，讨论在的单调性； (2)若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学周练（二）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解两个集合，再根据补集和并集的定义，即可求解. 【详解】，得，所以， 函数中，，即，所以， ，所以. 故选：B 2．函数在上的平均变化率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求平均变化率，再根据导数公式，即可求解. 【详解】在[1，2]上的平均变化率为， . 故选：D 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出函数的定义域，并判断出的奇偶性，利用的性质，得到时，，结合图象，可得选项C正确，选项A，B和D错误，从而求出结果. 【详解】易知函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，又当时，，所以， 得到，又，所以， 得到，又，所以， 由奇函数的性质知，当时，，结合各个选项的图象， 所以选项C正确，选项A，B和D错误， 故选：C. 4．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为命题“，不等式”为真命题，求出的取值范围，根据必要不充分判定选项即可. 【详解】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是， 故选：A 5．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出，然后带入，即可求出15h后还剩污染物的百分数. 【详解】根据题意时，，又在前5h消除了的污染物， 则， 则15h后还剩污染物为， 所以15h后还剩污染物的百分数为. 故选：C 7．已知均为正实数，若直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】设切点为，根据导数的几何意义可求出，即得，继而根据“1”的巧用，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为， 而，故，解得， 故，均为正实数， 故， 当且仅当，结合，即得时等号成立， 故的最小值是10， 故选：C 8．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，函数的图像关于直线对称且关于点对称，分别画出函数与函数在同一坐标系下的图像，利用交点坐标关于对称即可求得所有根之和. 【详解】因为，所以的图像关于点对称， 又因为，则用替换得，， 所以的图像关于直线对称.由得，，则，所以是以为一个周期的周期函数. 又当时，，则在恒成立，即在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为方程的根即为的根，即为的图像与直线交点的横坐标，当时，在直线上对应点的纵坐标为， 所以由数形结合得，的图像与直线在区间上有个交点，所以由图像关于点对称，得方程所有根之和为. 故选：B. 二、多选题 9．下列选项中正确的有（    ） A．若，则 B．若集合，且，则实数a的取值所组成的集合是． C．若不等式的解集为，则不等式的解集为或 D．已知函数的定义域是，则的定义域是． 【答案】CD 【分析】利用不等式的性质判断A，讨论集合为空集或非空集两种情况，求的取值，判断B，根据不等式的解集，结合韦达定理，利用不等式的解法，即可求解，判断C，利用抽象函数定义域的求解方法，即可判断D. 【详解】对于A，当时，若，有，不满足，故A错误； 对于B，当时，方程无解，则； 当时，由方程，解得，可得或，解得或， 综上所述，a的解集为，故B错误； 对于C，由题意，方程的解为，且， 由韦达定理可得，则，解得， 则不等式为， 由，则不等式变为，解得或，故C正确； 对于D，由题意，则，所以函数的定义域为， 对于函数，则，解得，所以其定义域为，故D正确； 故选：CD． 10．是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由题可得单调性，.A选项，通过取可构造反例；B选项，由题可得，结合单调性可判断选项；C选项，当时，显然正确；当时，在时，，则此时，后结合单调性可判断选项；D选项，通过取可构造反例. 【详解】构造函数.则， 当时，； 时， . 即在上单调递减，在上单调递增. 又由题. A选项，取，则，因在上单调递增， 则满足题意，但此时，故A错误； B选项，若，，则，又由题可知， 且在上单调递增，则，故B正确； C选项，若，当时，，满足题意； 当时，构造函数，注意到当时， ，又，则. 又因，则.因，在上单调递增， 则.综上，若，则，故C正确； D选项，取，则，又在上单调递减， 则满足题意，但此时，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点精：本题涉及证明不等式，常需通过观察找到题目中的相同结构，进而构造出需要的函数，此外此题作为选择题，找到合适的反例可帮助我们快速解决问题. 11．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 【答案】BCD 【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误. 【详解】，， ，， 关于对称，， ，，， ，故C正确； 关于对称，，，为偶函数， ，，，，，为偶函数，故A错误； ，图象关于点中心对称， 存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ， ，故D正确； 由得，又，所以， 由得，所以，故B正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项： （1）赋值法使用，注意和题目条件作联系； （2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变. 三、填空题 12．已知集合 则 . 【答案】 【分析】化简集合A，B，根据交集求解. 【详解】， ， 故答案为：. 13．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题先判断原函数的奇偶性，然后对抽象不等式按照奇偶性进行等价转换，解出不等式即可. 【详解】因为，易得为偶函数，且在上单调递增， 则 ， 所以任意恒成立， ①对任意恒成立，得， ②对任意恒成立，得， ①②同时成立，则有 综上得. 故答案为：. 14．已知函数f(x)＝，当x∈(－∞，m]时，f(x)∈，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数进行讨论． 【详解】当时，， 令，则或；，则， 函数在上单调递减，在单调递增， 函数在处取得极大值为， 在出的极小值为. 当时，， 综上所述，的取值范围为 故答案为： 四、解答题 15．已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 16．已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. （2）解：由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示． (1)写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式； (2)写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式； (3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天） 【答案】(1) (2)， (3)从2月1日开始的第50天时，西红柿纯收益最大.理由见详解. 【分析】（1）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式； （2）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式； （3）结合（1）（2）列出纯收益的解析式，然后求出利润的最大值． 【详解】（1）由已知条件，设， 当时，，． 当时，，． 故图（1）表示的函数关系式为 （2）设，则，所以． 所以图（2）表示的函数关系式为 ，． （3）设时刻的纯收益为，则由题意得， 即， 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值100． 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值87.5． 综上，由可知，在区间上可以取得最大值100． 此时，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 18．已知函数. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：存在实数，使. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导结合曲线在处的切线与直线垂直，可得，求解即可； （2）由已知可得对任意恒成立，设，利用导数求得最小值即可； （3）①当时，易得存在实数使；②当时，求导可得是的极小值，进而令，可得有唯一的极值，极大值，从而可得，可得结论. 【详解】（1）因为，则， 因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以切线的斜率为2， 所以． （2）当时， 所以不等式即， 转化为对任意恒成立， 设，则的解为， 1 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以最小值为 所以 所以实数的取值范围； （3）①当时，显然有，即存在实数使； ②当时，由可得， 所以在时，，所以函数在上递减， 时，，所以函数在上递增， 即是的极小值. 设，则，令，得，故有下表： 1 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以有唯一的极值，极大值. 所以当时，，所以. 综上，若，存在实数使. 【点睛】要熟练导数的切线方程求法，导数在切点的横坐标取值即为切线斜率，对于存在问题，则只需证明有即可，根据参数可以分类讨论，在研究函数时一定要多分析其单调性，确定最值，从而解决存在问题，一般我们在解题时，任意和存在问题都归结为最值问题. 19．已知函数， (1)若，讨论在的单调性； (2)若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导函数研究函数的单调性； （2）构造函数，多次求导连锁反应研究导函数的单调性，进而分类讨论探究函数的极值点与单调性，通过函数值范围判断不等式是否恒成立即可； （3）由（2）问中当时，不等式恒成立结论，赋值、累加法证明不等式. 【详解】（1）因为， 所以， 在上，，在上，, 所以，函数在上单调递增，在上单调递减． （2） 不等式可化为：，设， 令， 则，令， 则，再令， 则，所以在单调递增，则， 即，所以在单调递增， 所以，， 则的值域为． ①当时，即时，，即， 则在单调递增，所以恒成立，符合题意． ②当时，即时，， 若取时，， 所以存在，使， 则当时，，即， 则函数在上单调递减，此时， 所以当时，，与原题矛盾，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． （3）原式即证． 由（2）可知，当时，， 即时，，则． 令，则． 则，，， 各式相加得， ． 所以当时，成立． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数取值范围问题 对参数分类讨论研究函数单调性、极值等问题的方法，是我们在解决含参不等式恒成立问题的一般性方法.如果函数结构式不是很复杂，可以通过求导得到函数的极值点（导函数零点）与单调性的情况，再对极值点直接讨论，如果无法求出极值点（导函数零点），可以通过多次求导、或利用零点存在性定理虚设零点进行分析. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$