江西省赣州市2022年初中研学考试数学试卷

赣州市 2022 年初中数学研学试卷 第 1 页（共 4 页） 赣州市 2022 年初中数学试卷 第 2 页（共 4页） 赣州市 2022 年初中数学研学活动考核试题 （考试时间 120 分钟，满分 120 分） 2022 年 5 月 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.设 x、 y为实数，且满足 1x y  ， 4 4 7 2 x y  .则 2 2x y  A. 2 B.3 C. 4 D.5 2.已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数， AB BC CA  .若边 BC上的高为 AD， 则 BD DC  A.3 B. 4 C.5 D.6 3.已知实数 a、b满足 2 2a b a b   .则 a b 的取值范围是 A. 0a b ≥ B.0 2a b≤ ≤ C.0 2 2a b≤ ≤ D.0 3a b≤ ≤ 4.如图，在矩形纸片 ABCD中， 2AB  ， 3AD  ，点 E是 AB的中点，点 F 是 AD边上的一个 动点，将 AEF 沿EF所在直线翻折，得到 1AEF ，则 1AC的长的最小值是 A. 13 2 B.3 C. 13 1 D. 10 1 5.已知锐角三角形 ABC的角平分线 AD与高 BE交于点M ， CDE 是等边三角形.则 :DEM ABMS S  （ S表示三角形的面积） A. 2 : 2 B.1: 2 C. 3 :3 D.1: 4 6.已知二次函数 2 2( )y x ax a a    R ，且该函数的图像与 x轴有两个不同的交点. 则此两个交点间的距离最小值为 A. 2 B.4 C.8 D.不确定 7.设a、b、c是不全相等的非零实数.若 2( ) 9x a b c ab    ， 2( ) 9y a b c bc    ， 2( ) 9z a b c ca    ，则 x、 y、 z A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零 8.已知实数 a、b、 c、d满足 2 22 3 4 8 3a b c d a a b b c c             ， 则a b c d   的值为 A. 7 B. 8 C. 4 D. 6 二、填空题：本题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.已知二次函数 ( )( ) 1( )y x m x n m n     ，且 a、b（a b ）是方程 ( )( ) 1 0x m x n    的两根，则实数 a、b、m、n的大小可能情况是 （用“”连接）. 10.一个三位数是它的各位数字之和的29倍.则这个三位数是 . 11.已知正实数 x满足， 3 3 6 6 2754x x x x     .则 1x x   . 12.在四边形 ABCD中，已知 AB BC CD  ，且 80A  ， 40D   .则 B  . 13.如图， ABC 的内切圆为 O ，过O作 BC 的平行线，分别与 AB、 AC交于点D、E . 若 ABC 的三边BC、CA、 AB的长分别为 8、7、5，则DE的长为 . 14.如图，在四边形 ABCD中，设 270BAD ADC   ，且 E、F 分别为 AD、 BC的中点， 4EF  ，阴影部分分别是以 AB、CD为直径的半圆.则这两个半圆面积之和是 . 赣州市 2022 年初中数学研学试卷 第 3 页（共 4 页） 赣州市 2022 年初中数学试卷 第 4 页（共 4页） 三、解答题：共 50 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本题满分 14 分） 如图，已知二次函数 2 1 ( 0)y ax bx c a    的图像以原点为 顶点且过点 (1,1)，反比例函数 2 ( 0) ky k x   的图像与直线 3 2y x  交于 A、 B两点.分别过 A、 B作 x轴的垂线， 垂足分别为 1A、 1B .四边形 1 1AAB B面积为8， 规定 1 2y y y  . （1）求函数 y的表达式； （2）证明：当 3t  时，关于 x的方程 2 4( )F x y t t    有三个不同的实数根. 16.（本题满分 12 分） 求满足方程 2 2 2( )x y x y xy    的所有正整数解 x、 y . 17.（本题满分 12 分） （1）已知二次函数 2y ax bx c   的图像与 x轴交于 A、B两点，其顶点为C， 若 ABC 为直角三角形，求 2 4b ac 的值. （2）设二次函数 2 2(2 2) 5 3y x m x m m      的图像与 x轴交于E、F 两点，与一次函数 3 1y x  的图像交于两点，其中纵坐标较小的点记为G，若 EFG 为直角三角形，求m的值. 18.（本题满分 12 分） 如图，已知 PA、 PB分别与 O 切于点 A、 B，过点P的割线与 O 交于C、D两点，作 CE∥PA与弦 AB交于点 E，DE的延长线与 PA交于点M .证明： AM MP . 赣州市 2022 年初中数学研学试卷答题卡 第 1 页（共 4 页） 赣州市 2022 年初中数学试卷答题卡 第 2 页（共 4页） 县 （ 市 、 区 ）： 学 校 ： 姓 名 ： 准 考 证 号 … … … … … … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … … 赣州市 2022 年初中数学研学活动考核试题答题卡 （考试时间 120 分钟，满分 120 分） 2022 年 5 月 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5分，共 30 分. 9. ； 10. （用“”号连接）； 11． ； 12. ； 13. ； 14. ． 三、解答题：共 50 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本题满分 14 分） 16.（本题满分 12 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 赣州市 2022 年初中数学研学试卷答题卡 第 3 页（共 4 页） 赣州市 2022 年初中数学试卷答题卡 第 4 页（共 4页） 17.（本题满分 12 分） 18.（本题满分 12 分） 1 赣州市 2022 年初中研学数学考核试题参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.设 x、 y为实数，且满足 1x y  ， 4 4 7 2 x y  .则 2 2x y  A. 2 B.3 C. 4 D.5 1.解：选 A.令 2 2x y a  ，则 2 2 2( ) ( ) 1 2 2 x y x y axy      ， 又 4 4 2 2 2 2 2 2 21 7( ) 2 2( ) 2 2 ax y x y x y a        ，化简得 2 2 8 0a a   ， 所以 2a  或 4a   ，而 0a  ，所以 2a  . 2.已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA  .若边 BC上的高为 AD， 则 BD DC  A.3 B. 4 C.5 D.6 2.解：选 B.由勾股定理得 2 2 2 2AB BD AC CD   ， 则 ( )( ) ( )( )BD CD BD CD AB AC AB AC     .设 2, 1,AB n BC n AC n     ， 则 1BD CD n   ，代入得 4BD DC  . 3.已知实数 a、b满足 2 2a b a b   .则 a b 的取值范围是 A. 0a b ≥ B.0 2a b≤ ≤ C.0 2 2a b≤ ≤ D.0 3a b≤ ≤ 3.解：选 B.设a b t  ，则 2 2 t tab  .从而 2 2 20 ) ( ) 4 2a b a b ab t t     ≤( . 解得0 2t≤ ≤ . 4.如图，在矩形纸片 ABCD中， 2AB  ， 3AD  ，点 E是 AB的中点，点 F 是 AD边上 的一个动点，将 AEF 沿EF所在直线翻折，得到 1AEF ，则 1AC的长的最小值是 A. 13 2 B.3 C. 13 1 D. 10 1 2 4.解：选 D.以点 E是为圆心， AE长为半径作圆，连接CE， 当点 1A在线段CE上时， 1AC的长取最小值，如图所示， 因为 1 1 1 2 AE AE AB   . 在Rt BCE 中， 1 1 2 BE AB  ， 3BC  ， 90B  ， 所以 2 2 10CE BE BC   ，所以 1AC的最小值 1 10 1CE AE    . 5.已知锐角三角形 ABC的角平分线 AD与高 BE交于点M ， CDE 是等边三角形.则 :DEM ABMS S  （ S表示三角形的面积） A. 2 : 2 B.1: 2 C. 3 :3 D.1: 4 5.解：选 D.因为 BE AC ， CDE 是等边三角形，所以 90BEC  ， 所以 30DEB DBE   ，因此 BD DE DC  ， 又 AD平分 BAC ，则 AB AC ，又 60C  ， 故 ABC 是等边三角形，于是M 是正 ABC 的重心. 从而 2: ( : ) 1: 4DEM ABMS S MD AM    . 6.已知二次函数 2 2( )y x ax a a    R ，且该函数的图像与 x轴有两个不同的交点. 则此两个交点间的距离最小值为 A. 2 B. 4 C.8 D.不确定 6.解：选 A.由函数 2 2( )y x ax a a    R 与 x轴有两个不同的交点，不妨设 2 2 0x ax a    的两个根为 1x 、 2x .则 1 2x x a  ， 1 2 2x x a   ，故两个交点的距离 为 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 4( 2) ( 2) 4d x x x x x x x x a a a             . 显然，当 2a  时， 1 2d x x  有最小值为 2 . 7.设 a、b、 c是不全相等的非零实数.若 2( ) 9x a b c ab    ， 2( ) 9y a b c bc    ， 2( ) 9z a b c ca    ，则 x、 y、 z A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零 3 7.解：选 D.因为 23( ) 9( )x y z a b c ab bc ca        2 2 2 2 2 233( ) [( ) ( ) ( ) ] 0 2 a b c ab bc ca a b b c c a             . 故 x、 y、 z中至少有一个大于零. 8.已知实数 a、b、 c、 d满足 2 22 3 4 8 3a b c d a a b b c c             ， 则 a b c d   的值为 A. 7 B. 8 C. 4 D. 6 8.解：选 A.由 2 2 3 0a a b    ≥ ， 2 4 8 0b c c   ≥ ，所以 2( 1) 4 4b a  ≤ ≤ ， 2( 2) 4 4b c  ≥ ≥ .于是 4, 1, 2b a c    ，将其代入已知等式得 4d  . 故 7a b c d     . 二、填空题 9.已知二次函数 ( )( ) 1( )y x m x n m n     ，且 a、b（ a b ）是方程 ( )( ) 1 0x m x n    的两根，则实数 a、b、m、n的大小可能情况是 （用“” 连接）. 9.解： a m n b   . 如图， ( )( ) 1( )y x m x n m n     是二次函数，其图像是 一条开口向上的抛物线，与 x轴的两个交点分别为 ( ,0)a 、 ( ,0)b . 当 x m 或 x n 时， 1 0y    ，故 a m n b   . 10.一个三位数是它的各位数字之和的 29倍.则这个三位数是 . 10.解： 261.设三位数为 abc，则100 10 29( ) 71 19 28a b c a b c a b c        . 所以 54 2 (2 ) 19 b a c c a    ，因为 a、b、 c为自然数 0a  ，所以19(2 )c a  . 而 9 2 17c a ≤ ≤ ，则 2 0 2 , 6c a a c b c     ，所以 0bc  . 由0 10b  ，知 1c  .从而 2, 6a b  . 11.已知正实数 x满足， 3 3 6 6 2754x x x x     .则 1x x   . 11.解：将已知等式化为 3 3 2 3 3 3 3 3 3( ) ( ) 2756 0 ( 53)( 52) 0x x x x x x x x              ， 4 而 3 3( 53) 0x x   ，于是 3 3 52x x  .令 1b x x  ，则 3 3 1 1 2 2 2( )[( ) 3] ( 3) 52 ( 4)( 4 13) 0x x x x x x b b b b b               ， 所以 4b  ，从而 1 4x x   . 12.在四边形 ABCD中，已知 AB BC CD  ，且 80A  ， 40D   .则 B  . 12.解：80 .如图，作 BO平行且等于CD，连接 AO、DO . 则四边形 BCDO是菱形，于是OB OD BC AB   ， 由 360 240ABC C BAD ADC      ， 180OBC C   ， 得 240 180 60ABO     ，因此 ABO 是等边三角形. 则 20ODA OAD BAD BAO     ， 20OBC ODC ADC ODA      . 故 80ABC ABO OBC     . 13.如图， ABC 的内切圆为 O ，过O作BC 的平行线，分别与 AB、 AC交于点D、 E . 若 ABC 的三边BC、CA、 AB的长分别为 8、7、5，则DE的长为 . 13.解： 24 5 .由内心及平行线的性质得 ,BD OD CE OE  .由DE∥ BC及比例性质得 24, 1 1 5 7 5 7 12 5 8 12 8 5 BD CE BD CE DE AD BD DE DE DE DE AB              . 14.如图，在四边形 ABCD中，设 270BAD ADC   ，且 E、F 分别为 AD、BC的 中点， 4EF  ，阴影部分分别是以 AB、CD为直径的半圆.则这两个半圆面积之和是 . 14.解：8 . 如图，延长 BA与CD交于的点M . 由 270BAD ADC   ，得 90AMD   . 连接 BD，并取BD得中点P，再连接 PE、PF . 所以 PE平行并且等于 1 2 AB， PF平行并且等于 1 2 CD . 因此， 90EPF AMD   ，在Rt EPF 中 5 2 2 2 24PE PF EF   ，即 2 2( ) ( ) 16 2 2 AB CD   ， 所以阴影部分面积之和是 2 2( ) ( ) 8 2 2 2 2 AB CD    . 三、解答题 15.如图，已知二次函数 2 1 ( 0)y ax bx c a    的图像以原点为 顶点且过点 (1,1)，反比例函数 2 ( 0) ky k x   的图像与直线 3 2y x  交于 A、 B两点.分别过 A、 B作 x轴的垂线， 垂足分别为 1A、 1B .四边形 1 1AAB B面积为8， 规定 1 2y y y  . （1）求函数 y的表达式； （2）证明：当 3t  时，关于 x的方程 2 4( )F x y t t    有三个不同的实数根. 15.解：由题意得 0b c  ， 1a  .所以 21y x . 联立 2 ky x  ， 3 2y x  可求得 ( , 2 )2 kA k   ， ( , 2 ) 2 kB k   . 于是四边形 1 1AAB B面积为 2 2 8 42 k k k       . 故 2 1 2 4y y y x x     . （2）因为 2 24 4 4( )( ) 0x t x t x t x t tx         ，即 x t 或 4 0x t tx    . 所以方程一定有解 1x t .对于 4 0x t tx    可化为 2 2 4 0tx t x   ……① 因为 3t  ，所以其判别式 2 16 0t t    .于是方程①有两个不等的实根，而 t不是方程 ①的根，故题设方程有三个不同的实数根. 16.求满足方程 2 2 2( )x y x y xy    的所有正整数解 x、 y . 6 16.解：原方程可变形为 2 2( 2) 2 0x y x y y     ， 由 2 2 2 2( 2) 4( 2 ) 3 12 4 16 3( 2) 0y y y y y y            ≥ 2 16( 2) 9 3 2 3 1 5 3 y y y         ≤ . 又 y为正整数解，于是 1,2,3,4y  .故方程的正整数解为 2 4 x y    或 4 2 x y    或 4 4 x y    . 17.（1）已知二次函数 2y ax bx c   的图像与 x轴交于 A、 B两点，其顶点为C， 若 ABC 为直角三角形，求 2 4b ac 的值. （2）设二次函数 2 2(2 2) 5 3y x m x m m      的图像与 x轴交于 E、F 两点，与一次 函数 3 1y x  的图像交于两点，其中纵坐标较小的点记为G，若 EFG 为直角三角形， 求m的值. 17.解：由已知得： 2 4 0b ac  ，设点 1( ,0)A x ， 2( ,0)B x . 则 2 1 2 4b acAB x x a     ，而二次函数顶点C到 x轴的距离为 2 4 4 b ac a  ， ABC 为直角三角形，并根据二次函数图像的对称性，有 AC BC ， 即 ABC 为等腰直角三角形. 所以 22 2 2 2 2 2 2 44 4 ( 4 )2 4 4 4 4 b acb ac b ac b ac b ac a a a a          . （2）因为二次函数的图像与 x轴交于 E、F 两点，所以 2 2(2 2) 4( 5 3) 0m m m     ， 得 23 2 0 3 m m     .而 2 2 2(2 2) 5 3 [ ( 1)] 3 2y x m x m m x m m           ， 其图像开口向上，顶点为 ( 1,3 2)m m  .则该点必在函数 3 1y x  图像上， 故 ( 1,3 2)G m m  . 若 EFG 为直角三角形，由（1）的结论可知 2 2(2 2) 4( 5 3) 12 8 4m m m m        ， 从而 1m   . 7 18.如图，已知 PA、 PB分别与 O 切于点 A、 B，过点 P的割线与 O 交于C、D两 点，作CE∥PA与弦 AB交于点 E，DE的延长线与 PA交于点M .证明： AM MP . 18.证明：连接 PO、OB、EQ、BQ、BC、AD，并延长CE与 AD交于点F ，过点O 作OQ QD 于点Q .则CQ QD . 因为 PA、 PB是 O 的切线，所以OB PB ， PAB POB  .又 90OQP OBP   ， 则O、Q、 B、 P四点共圆.从而 POB PQB  . 由CE∥PA，得 CEB PAB PQB CQB C     、E、Q、B四点共圆 CQE CBE CBA CDA EQ     ∥DF .因此CE EF ， 又由CF∥PA，得 CE DE FE PM DM AM   .故 AM MP .