2024年天津市九年级各区中考数学模拟分类汇编24题

2024年天津市九年级各区模拟分类汇编24题 一、解答题 1．（2024年天津市中考数学试题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（2023年天津市中考数学真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．    ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 3．（2022年天津市中考数学真题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 4．（天津市2021年中考数学真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 5．（天津市2020年中考数学试题）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）．    (1)如图①，当时，求点P的坐标； (2)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设． ①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； ②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 6．（2024年天津市河西区九年级中考一模数学试题）将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点，，点在边上（不与点重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与边交于点，且，点的对应点为点．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，与交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)请直接写出折叠后重合部分面积的最大值． 7．（2024年天津市天津市滨海新区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形的顶点，，等边三角形的一边在轴的负半轴上，点在第二象限．将等边三角形沿水平方向向右平移，顶点，，的对应点分别为，，． (1)如图①，当边在轴的正半轴上，点与原点重合时，点恰好落在边上．填空：等边三角形的边长等于______，点的坐标为______． (2)如图②，当在边上，且，分别与相交于点，时，与图中的哪条线段相等？与图中的哪条线段相等？并证明你的结论： (3)设，等边三角形与直角三角形重叠部分的面积为．当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 8．（2024年天津市天津市武清区等5地一模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点在边上（点不与点，重合），过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接． (1)如图①，若点落在上，点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)设与重合部分面积为，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点，，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 9．（2024年天津市部分区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点在边上（点不与点，重合），过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，点的对应点为，连接． (1)如图①，若点落在上，点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)设与重合部分面积为，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点，，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 10．（2024年天津市西青区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点的坐标为，点在第一象限，，，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点坐标为． (1)如图①，求点的坐标； (2)将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重登部分的面积为． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，与相交于点，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 11．（2024年天津市河北区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． (1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 12．（2024年天津市河东区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形的顶点，，菱形的顶点． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点的对应点分别为，设，菱形与直角三角形重叠部分的面积为． （ⅰ）如图②，当边分别与相交于点，边与相交于点，边与相交于点，且菱形与直角三角形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； （ⅱ）当时，求的值（直接写出结果即可）． 13．（2024年天津市南开区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，，均为等边三角形，其中点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F． (1)如图1，连接，，直接写出和的数量关系______________； (2)如图2，若，垂足为点M．延长与交于点．求旋转的角度和点N的坐标； (3)如图3，在（2）的情况下，将沿平移，点E，A，F的对应点分别为，（点在线段上，不与线段端点重合），，得到'．设，与重叠部分的面积为S． ①当与重叠部分为三角形时，用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 14．（2024年天津市和平区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点旋转后的对应点为，，记旋转角为，连接． (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若，求的长； (3)若点P为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 15．（2024年天津市津南区天津市咸水沽第四中学中考一模数学试题）如图1，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为24，边长为4． (1)数轴上点A表示的数为 ． (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积记为． ①当恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为 　　． ②设点的移动距离． ．当时，　　； ．为线段的中点，点在线段上，且；当点，所表示的数互为相反数时，求的值． 16．（2024年天津市滨海新区九年级下学期结课考数学试题）在平面直角坐标系中，已知点，点．以点O为中心，将逆时针旋转得．点A，B旋转后的对应点分别为点C，D，记旋转角为α． (1)如图①，若，求点C的坐标； (2)如图②，若的顶点D落在第二象限，且时，与分别相交于点P，Q，求的长； (3)当点A，B，C共线时，求点C的坐标．（直接写出结果即可） 17．（2024年天津市红桥区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，． (1)填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______； (2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； (3)若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)． 18．（2024年天津市河西区中考二模数学试题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设．    (1)如图①，当时，的大小为______，点的坐标为______； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，点的对应点为，且在直线的下方，与边相交于点，折痕与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)当，求折叠后重合部分面积的取值范围． 19．（2024年天津市滨海新区中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． (1)如图①，当经过点时，求点的坐标； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 20．（2024年天津市部分区中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，О为原点，顶点，，点C是线段上一动点（点C不与点O，B重合），过C作交于点D，将沿翻折，使点B落在x轴的点E处． (1)如图①，当点E与点О重合时，求点D的坐标； (2)设，与重叠部分的面积为S． ①如图②，当重叠部分为四边形时，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 21．（2024年天津市红桥区中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，等边三角形的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)将沿轴向右平移，得，点，，的对应点分别为．设，与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，边与相交于点，边与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 22．（2024年天津市宝坻区中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，点是线段上一动点（点不与点重合），过作交于点，将沿翻折，使点落在轴的点处． (1)如图①，当点与点重合时，求点的坐标； (2)设，与重叠部分的面积为． ①如图②，当重叠部分为四边形时，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 23．（天津市河东区2024年中考二模数学试题）将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P在y轴正半轴上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与边相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． (1)填空：如图①，当时，的大小为______，点的坐标为______； (2)如图②，若折叠后重合部分为五边形，点C的对应点为，，分别与边，相交于点D，E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； (3)求折叠后重合部分的面积的最大值，以及相应的t的值（请直接写出结果即可）． 二、解答题 24．（2024年天津市南开区中考二模数学试题）如图1，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点D在边上（点D不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点D，并与直线相交于点F，且，点C的对应点为﹒设． (1)如图2，当折痕经过点B时，求t的值和点的坐标； (2)若折叠后的图形为四边形，点B的对应点为，与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I，设折叠后四边形与矩形重合部分的面积为S． ①如图3，当折叠后四边形与矩形重合部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 25．（2024年天津市河北区九年级中考二模数学试题）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上， ，点在边上点不与点， 重合，过点作的平行线交轴于点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ；若，则点的坐标为 ； (2)以为折痕折叠该纸片，点的对应点为 ，设 和重叠部分的面积为． ①如图②， 当和重叠部分为四边形时，交于点 ， 交于点，试用含有的式子表示和重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； ②填空：当 时，的最大值为 ，的最小值为 ． 26．（2024年天津市西青区中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形纸片顶点A在x，轴的正半轴上，点B在第一象限，已知，，． (1)填空：如图①，点A的坐标是______，点B的坐标是______； (2)点P是线段上的一个动点（点P不与点O，A重合）过点P作直线l交直线于点O，且，将直角三角形纸片沿直线l向上翻折，点O的对应点为C，折叠后与直角三角形重合部分的面积为S，设． ①如图②，当边，分别与相交于点E，F，且折叠后重叠部分为四边形时，试用含有m的式子表示S，并直接写出m的取值范围； ②当时，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 27．（2024年天津市和平区中考二模数学试题）将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点，点，点与轴相交于点，点在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与轴相交于点，且，点，的对应点分别为点． (1)如图①，当点落在线段上时，求的大小和点的坐标； (2)设，纸片折叠后与矩形的重叠部分的面积为． ①如图②，若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 28．（2023年天津市和平区中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，点，射线上有一个动点C，线段上有一个动点D，沿直线折叠，点B对应点为，轴．    (1)如图①，若点落x轴上，求点C的坐标； (2)设． ①如图②，折叠后的与重叠部分为四边形，和分别与x轴交于P，Q两点，试用含t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； ②若与重叠部分的面积S，当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 29．（2024年天津市武清区多校联考中考三模数学试题）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，其中，点，点，过边上的动点 (不与点重合)作交于点．设． (1)如图①，当时，点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)沿着PQ折叠该纸片，点的对应点为．设折叠后的与的重叠部分的面积为． ①如图②，若折叠后的与的重叠部分为四边形，交于点，交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的值（直接写出结果即可）． 30．（2024年天津市和平区中考三模数学试题）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，，，，D为边的中点，连接，点E，F分别为，的中点．    (1)填空：如图①，点D的坐标为　　，点F的坐标为　　； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，，当点与点B重合时停止移动．设，矩形与重叠部分的面积记为S． ①如图②， 当边与相交于点M，边与相交于点N，且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 31．（2024年天津市红桥区九年级中考三模数学试卷题）在平面直角坐标系中，点，点，将绕点B顺时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)填空：如图①，当时，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图②，当时，求点的坐标； (3)连接，设线段的中点为M，连接，求线段的长的最小值（直接写出结果即可）． 试卷第2页，共16页 试卷第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．(1)，． (2)①；② 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴； 连接，交于一点H，如图所示：    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为，； （2）解：①∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，得． 在中，由，得． ∴．同理，得． ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， ∴的取值范围是． ②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的， ∴当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    此时面积S最大，最大值为； 当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    由（1）可知B、D之间的水平距离为，则有点D到的距离为， 由①可知：， ∴矩形和菱形重叠部分为等边三角形， ∴该等边三角形的边长为， ∴此时面积S最小，最小值为； 综上所述：当时，则． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键． 3．(1)，点的坐标为 (2)，其中t的取值范围是 (3)3，．（答案不唯一，满足即可） 【分析】（1）先根据折叠的性质得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案； （2）根据题意先表示，再根据，表示QE，然后根据表示即可，再求出取值范围； （3）求出t=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是，再求出P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解． 【详解】（1）在中，由，得． 根据折叠，知， ∴，． ∵， ∴． 如图，过点O′作，垂足为H，则． ∴在中，得． 由，得，则． 由， 得，． ∴点的坐标为． （2）∵点， ∴． 又， ∴． 同（1）知，，． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，得． ∴． 又， ∴. 如图，当点O′与AB重合时，，， 则， ∴， ∴， 解得t=2， ∴t的取值范围是； （3）3，．（答案不唯一，满足即可） 当点Q与点A重合时，，， ∴， 则. ∴t=3时，重合部分的面积是， 从t=3之后重合部分的面积始终是， 当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝， 由于P不能与C重合，故， 所以都符合题意． 【点睛】这是一道关于动点的几何综合问题，考查了折叠的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等． 4．（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 5．(1)点P的坐标为； (2)①，t的取值范围是；②． 【分析】（1）过点P作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点P的坐标即求出； （2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，， 又因为，所以得，由和的取值范围可得t的范围是；②分重叠部分为四边形和三角形两种情况，分别由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形为直角三角形，进而求得重叠部分面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作轴，垂足为H，则． ， ． ． 在中，， ，． 点P的坐标为． （2）解：①由折叠知，， ，． 又∵， ． 四边形为菱形． ．可得． 点， ． ∴． 在中，． ， ，其中t的取值范围是． ②当重叠部分为四边形时，即 由①知，为等边三角形， ∵四边形为菱形， ∴, ∴三角形为直角三角形，， ∴，, ∴， ∵， ∴． 当重叠部分为三角形时，即 由折叠知，， ，． 又∵， ． 四边形为菱形． ． ∴． 点， ． ∴． 在中，． ∴，其中t的取值范围是． ∴，, ∴， ∵， ∴． 综上，当时，求S的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了折叠问题、菱形的判定与性质、求不规则四边形的面积等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 6．(1)； (2) (3) 【分析】（）利用点的坐标可知的长度，再利用角的直角三角形求得即可解答； （）利用含角的直角三角形的性质解答就可得到结论，通过计算当点与点重合式的值即可解答； （3）利用分类讨论的方法分两种情况解答，分别计算出当时和当时折叠后重合部分的面积即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴由折叠的性质可知：，， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ， ∴， ∴点， （2）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 当点和点重合时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重合部分的四边形，的取值范围为． （3）解：①当时，折叠部分为， ∴， ∴折叠后重合部分的面积为， 当时，折叠后重合部分的面积最大，最大为； ②当时，折叠后重合部分为四边形， 过点作于点，如图， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴折叠后重合部分的面积为：， ∵， ∴当时，折叠后重合的部分面积有最大值为， ∵， ∴折叠后重合的部分的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平面直角坐标系，点的坐标特征，折叠的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 7．(1)， (2)，，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，解直角三角形得出，待定系数法求出直线的解析式为：，作于，设，由等边三角形的性质得出，代入直线解析式，求出的值即可； （2）由等边三角形的性质可得，求出，即可得出，推出，求出，结合，即可得出； （3）由（1）可得：当时，等边三角形与直角三角形重叠部分的面积为，此时，且此时最大，再分别求出当时，此时，等边三角形与直角三角形重叠部分的面积为四边形的面积；当时，此时，等边三角形与直角三角形重叠部分的面积为四边形的面积；即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 如图，作于， 设， 是等边三角形， ，， ， 在直线上， ， 解得：， 等边三角形的边长等于，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：，， 证明如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， ； 由（1）知，，， ， ，， ； （3）解：如图，由（1）可得：当时，等边三角形与直角三角形重叠部分的面积为，此时，且此时最大， 作于， 由（1）得：，， ， 如图，当时，此时，等边三角形与直角三角形重叠部分的面积为四边形的面积， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图，当时，此时，等边三角形与直角三角形重叠部分的面积为四边形的面积， ，， ， 由（2）可得， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、一次函数的应用、解直角三角形、三角形面积公式、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8．(1)， (2)①②当时，的取值范围为． 【分析】（1）作于点，利用等腰直角三角形的性质求得，设，点落在上时，，，由，列式计算即可求解； （2）①作于点，推出、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形，求得，，，根据计算即可求解； ②分当、、时，分别求得的值，当时，利用二次函数的性质求得的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标是， 设，则，， 点落在上时，，， ∴，即， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：①作于点， 同（1）、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形， 由（1），，， ∴， ∴四边形的面积 ； ②当时， 当时，； 当时，； 当时， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 当时，如图，同理， ∴； 综上，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，学会用分类讨论的思想思考问题． 9．(1)， (2)①；②当时，的取值范围为． 【分析】（1）作于点，利用等腰直角三角形的性质求得，设，点落在上时，，，由，列式计算即可求解； （2）①作于点，推出、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形，求得，，，根据计算即可求解； ②分当、、时，分别求得的值，当时，利用二次函数的性质求得的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵将线段绕点逆时针旋转90°得到线段， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标是， 设，则，， 点落在上时，，， ∴，即， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：①作于点， 同（1）、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形， 由（1），，， ∴， ∴四边形的面积 ； ②当时， 当时，； 当时，； 当时， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 当时，如图，同理， ∴； 综上，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，学会用分类讨论的思想思考问题． 10．(1) (2)①；② 【分析】（1）如图所示，过点作轴于点，根据题意可得是等腰直角三角形，可得，由此即可求解； （2）图形结合分析，当时，过点；当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形；可求出的取值范围，再根据图示，可得，由此即可求解；②根据图形的平移，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论：当，，时，分别算出最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点， 已知顶点的坐标为，点在第一象限，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：已知四边形是矩形，， ∴，， ∴，， 由（1）可知，， ①矩形沿轴向右平移，， ∴当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形； 当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形； ∴的取值范围为：， 如图所示，过点作轴于点， ∴， 根据题意可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴矩形与重登部分的面积为： ， ∴； ②由上述可知，， ∴当时，如图所示，当时， ∴； 如图所示，当时， ∴， ∴ ； 当时，， ∴当时，的面积最大，最大面积为； 如图所示，当时， ∴， ∴ ； 如图所示，当时， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，几何图形面积的计算，二次函数图象的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，图形平移的性质，二次函数图象的性质是解题的关键． 11．(1) (2)①；② 【分析】（1）由，点E是的中点，可得，由等边的顶点，可求； （2）①如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， 则，由题意知，，，当重合时，是等边三角形，，，则，当矩形与重叠部分为五边形时，，由平移的性质可知，，根据计算求解即可；②如图2，当时，重合部分为等边，，，则，由平移可知，此时重合部分面积最小，；由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，点E是的中点， ∴， ∵等边的顶点， ∴； 故答案为：； （2）①解：如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，，， 当重合时，是等边三角形，，， ∴， ∴当矩形与重叠部分为五边形时，，即， 由平移的性质可知，， ∴； ∴； ②解：如图2， 当时，重合部分为等边，，， ∴， 由平移可知，此时重合部分面积最小，； 由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦等知识．熟练掌握坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦是解题的关键． 12．(1)，； (2)（ⅰ）；；（ⅱ）； 【分析】（1）根据，根据三角函数求值，设，根据中点坐标公式求出，求出； （2）（ⅰ）分别求出，，，，根据求出结果即可，根据边界点求出t的取值范围即可； （ⅱ）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，画出图形，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 设， ∵，四边形为菱形， ∴， 解得：， ∴． （2）解：（ⅰ）连接， 由点，点，得， ∵点，点，点， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， 菱形中， ， ∴， ， 根据平移可知，，， ∴， ， ， 在中，由，得， ， 同理，得：，， ， ， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴当点恰好在上时，点的横坐标为， 根据平移可知：此时， 当点恰好在y轴上时，， ∴当重叠部分为五边形时，． 的取值范围是； （ⅱ）当时，重叠部分为三角形，如图所示： 过点作轴，则， 根据解析（ⅰ）可知，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得：，负值舍去； 当时，重叠部分为五边形，且面积为： ， ∵， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴当时，， ∴此时不可能等于； 当时，重叠部分为平行四边形，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上分析可知，当时，的值为；． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，中点坐标公式，解直角三角形，求一次函数解析，等边三角形的判定和性质，二次函数的最值，解题的关键数形结合，注意进行分类讨论． 13．(1) (2)旋转角为，点坐标为； (3)①；②或． 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据，是等边三角形即可求出，，进而求出点N坐标； （3）①根据题意，画出图形，找到当与重叠部分为三角形时点位置，再根据三角形面积公式计算即可，②根据函数解析式求出，再由函数性质得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵由旋转性质可知：， ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴，即：， ∴， ∴ （2）如解（2）图1，过点N作，垂足为， ∵，是等边三角形， ∴， 又∵为等边三角形， ∴，故旋转的角度为， ∴，， ∵在为等边三角形中，， ∴， ， 故点坐标为 （3）解：由（2）得，， ∴， ∵点，点． ∴， ∴， 当落在上时，落在上时，与重叠部分为，如解（3）图1， ，此时：， 当落在上时，落在延长线时，当与重叠部分为，如解（3）图2， 此时：， ， 故当时，与相交，与重叠部分为三角形，为直角三角形，， 综上所述：， ②当时，即， 解得：，（不合题意舍去）， ∴时，． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形面积问题，解直角三角形，等边三角形的性质解题的关键是根据题意找到动点面积变化的节点分类讨论，再根据二次函数的性质直接求解． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质，结合平行四边形的判定与性质即可得到答案； （2）由旋转的性质，结合勾股定理判定是等边三角形，进而由中垂线的判定与性质得到，，由勾股定理求出线段长，数形结合得到； （3）由旋转性质可知，点、点的运动轨迹为以为圆心的圆，连接，过点作交延长线于点，确定相关线段长度，再由瓜豆原理得到点的运动轨迹为以为圆心的圆，如图所示，根据最小值是；最大值是；结合即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：连接，延长与相交于点，如图所示： 在中，， ∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴点，在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 在中，， ∴； （3）解：由旋转性质可知，点、点的运动轨迹为以为圆心的圆，连接，过点作交延长线于点， ，，，，， 在中，， 在旋转过程中，始终保持不变，且也保持不变，则由瓜豆原理可知，点的运动轨迹为以为圆心的圆，如图所示： 由点到圆周上点的距离关系得到最小值是；最大值是； ， 最小值是；最大值是，即． 【点睛】本题考查旋转综合，涉及旋转性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的性质、点到圆周上点距离最值、瓜豆原理等知识，综合性较强、难度较大，熟练掌握相关几何判定与性质，数形结合，根据题意准确作出辅助线求解是解决问题的关键． 15．(1)6； (2)①3或9； ②．；．． 【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移； ②．； ．由点、所表示的数互为相反数，判断出正方形向左平移，点表示的数是，点表示的数是，根据已知关系能够得到； 【详解】（1）解：长方形的面积为24，边长为4． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）①当恰好等于原长方形面积的一半时， 当向左移动时， ， 移动后的表示3； 当向右移动时， ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②．， ， ， 故答案为：； ．点、所表示的数互为相反数， 正方形向左平移， ，是的中点， 点表示的数是， 点表示的数是， ， ， ， ， ． 16．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）过点作轴，垂足为．先求出，然后解直角三角形即可得到答案； （2）先由勾股定理求出，再由，再代入数据求得的长， ，最的在中用三角函数求得结果即可； （3）过点O作，过点C作轴，先由勾股定理求得，再由代入数据求得CH的长，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，过点作轴，垂足为． 点， ， 由旋转得， ， ， 在中，， 点的坐标为． （2）点， ， ， ，轴， ． ． ， ， ， ， ， 在中，， （3）如图，点A，B，C共线， 过点O作，过点C作轴， 由（2）得，由旋转性质得， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了坐标与图形，解直角三角形，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知解直角三角形的方法是解题的关键． 17．(1)， (2) (3) 【分析】（1）过作轴于H，由，D为中点，得，即得，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，知，故；由，，可得轴，，从而，可得，，故； 故答案为：； （2）当点落在上时，过作轴于M，求出，即可得，，故；； （3）由C，D分别为，的中点，可得，，从而，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，可得，，即得，，知M在以O为圆心，为半径的圆上运动；当最大时，M在的延长线上，求出，即最大值为 ；当最小时，M在线段上，，即最小值为． 【详解】（1）解：过作轴于H，如图： ，D为中点， ， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ， ∵点落在y轴上， ； ，C为中点， ， ， 轴，， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：当点落在上时，过作轴于M，如图： 由（1）知，，，， ， ，， ， ， ； ∴点的坐标为，的长为； （3）解：如图： ∵C，D分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ，， 是的中点， ， ， 在以O为圆心，为半径的圆上运动； 当最大时，如图： 此时M在的延长线上， ， ， ； 即最大值为； 当最小时，如图： 此时M在线段上，， 最小值为； 综上所述，最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及锐角三角函数，直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握含的直角三角形三边的关系． 18．(1)； (2)， (3) 【分析】（）根据直角三角形的性质及折叠的性质可知，再根据折叠的性质及锐角三角函数即可解答； （）根据折叠的性质及直角三角形的性质可知，再根据全等三角形的性质及锐角三角函数可知即可； （）根据折叠的性质及锐角三角函数可知，然后分两种情况讨论：①当时，阴影面积为四边形的面积，利用二次函数的性质求解即可；②当时，令与的交点为，则阴影面积为的面积，利用锐角三角函数和等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴； 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， 过点作，， ∴， ∴在中，， ∴,， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：延长交于点，过点作，过点作， ∵，， ∴在中，， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵,,， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴, ∴， ∵在直线的下方， ∴， ∴， ∴, ∵, ∴， ∴， ∴， （3）解：如图，延长交于点，过点作，过点作， ∵，， ∴在中，， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴； ∵, ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴, ∴， ∴在中，， ∴， 由折叠的性质可知：， 当时，，此时，即点在点上方， 当时，，此时，则，即点在直线上， 当点在上时，此时， ， ， ①当时，阴影面积为四边形的面积， ∵， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 当时，， 即当时，折叠后重合部分面积的取值范围为； ②当时，令与的交点为，则阴影面积为的面积， 过点作于点，此时， ，， ， 为等边三角形， ， 在中，， ， 即当时，折叠后重合部分面积的值恒为 当，求折叠后重合部分面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，二次函数的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 19．(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、矩形的性质，结合平移的性质即可求解； （2）分时，当时，当时，当时，当时，五种情况分类讨论求解得与的关系式． ①根据分类讨论即可求解； ②根据，代入与的关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，，， 矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，，即：， ∵将沿轴向右平移，得到，当经过点时， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴沿轴向右平移了1个单位， ∴； （2）当时，此时重叠部分为为矩形， 此时； 当时，此时重叠部分为为五边形， ∵将沿轴向右平移，得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， 同理为等腰直角三角形，， ，则， 此时； 当时，此时重叠部分为， 同理为等腰直角三角形，， 此时； 综上：； ①由上可知，当与矩形重叠部分为五边形时， ； ②当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：或，不符合题意； 综上：时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与平移，一元二次方程与二次函数，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 20．(1) (2)①，；②或或 【分析】（1）证明，得，则，即点D为的中点，然后利用中点坐标公式求解即可； （2）①利用相似三角形性质求得，，，设交于F，则，根据梯形面积公式，求解即可； ②分两种情况：i)当时，重叠部分是三角形，ii)当时，重叠部分是四边形，分别求解即可． 【详解】（1）解：由翻折可得：，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即点D为的中点， ∵，， ∴，， ∴． （2）解 ：①由（1）知：， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折可得： ∵ ∴ 设交于F，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴； ②分两种情况：i)当时，重叠部分是三角形，如图， ， 当时，，解得，（舍去）， 当时，，解得，（舍去）， ∴当时，； ii)当时，重叠部分是四边形， ， ∴当时， ，解得：，（舍去）， ∴当时， ，解得：，， ∴当时，或； 综上，当时，或或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，折叠的性质，二次函数的图象性质，此题属二次函数综合题目，难度较大，注意分类讨论思想的应用． 21．(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据矩形的性质求得，进而过点作轴于点，根据等边三角形的性质得出，，，进而求得的坐标； （2）①由平移可得，则，根据得出函数关系，即可求解． ②分三种情况讨论，当，，时，分别结合图形列出函数关系式，求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点，， ∴， ∴， ∵等边三角形的顶点，顶点在第二象限，则 过点作轴于点， ∴，， ∴ ∴ （2）①∵， ， ∴ ∵是等边三角形， ∴ 由平移可得 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∵与矩形重叠部分为五边形 ∴ 即 解得：， ∴ ②当时，如图所示，重叠面积为 时取得最小值为， 如图所示，当时，同①可得 重叠面积为 当时最小值为，当时，最大值为 由①可得当时， ∴当时，最大值为， 综上所述，当时， 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．(1) (2)① ②或 【分析】本题主要考查相似的应用及二次函数的最值问题． （1）确定点为中点，再利用中点坐标求解； （2）①先确定自变量取值范围，再通过相似表示出相应线段即可求解；②通过二次函数的数形结合确定自变量的取值范围． 【详解】（1）解：由翻折知，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴利用坐标中点公式得， 即； （2）①当重叠部分为四边形时，即时，如图，设与y轴交于点M， ∵， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． ②当时，， 当时，， 根据解析式绘制函数图象，结合函数图象， 由，解得（负值舍）， 当时，解得或， 当时，解得或， 结合函数图象可得自变量取值范围为或； 综上，当时，的取值范围为或． 23．(1)， (2), (3)当时，折叠后重合部分的面积最大为 【分析】（1）先根据折叠的性质得，作，即可得出，然后求出和即可解答； （2）根据题意先表示，再根据，表示，然后根据表示，最后在含的直角三角形中表示，再求出取值范围即可； （3）求出不同t时的重合部分的面积表达式，利用函数表达式求出最大面积即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 由折叠得， ，， 如图，过点作，垂足为H，则． ,， ， ， 当时，． （2）解：∵点， ∴． 又， ． 同（1）知，， ∵四边形是正方形， ， ． ， ． 在中，， ，， ， 当点与重合时，，解得：． ∴t的取值范围是． （3）解：设t时的重合部分的面积为S 当时重叠部分如图①所示，则，， ； 当时如下图所示： 在中，， ， ， ， 由折叠易得, ， 当时，S最大为； 当时，如下图所示： ． 当时，S取得最大值． 综上所述，当时，S取得最大值． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含直角三角形的性质、正方形的性质、解直角三角形等知识点．理解重叠图形的变化规律是解题的关键． 24．(1)；点的坐标为； (2)①；；②． 【分析】（1）在中，利用正切定义求出即可，过作于H，在中，利用余弦定义求出即可，利用勾股定理求出，即可求解； （2）①解直角三角形，分别用t表示出，，，，然后求解即可； ②分；；三种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点， ∴，，， 在中，， 过作于H， ∵折叠， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴点的坐标为 （2）解：①过F作于K， 则四边形，都是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴ ， ∵折叠后与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时 当时，随t的增大而增大， ∴当时，S有最小值为， 当时，S有最大值为； 当时，， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴当时，S有最大值为， ∵，， 当或时，S有最小值为， 当时，如图， 此时 ， 当时，随t的增大而减少， ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为， 综上，当时，． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，二次函数的性质等知识，理解重叠图形的变化规律是解题的关键． 25．(1) (2)① 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，二次函数的性质； （1）根据题意得出，解，，即可求解； （2）①根据题意得出，，，得出，是等边三角形，在等边三角形中，，，进而根据得出的关系式，根据当时，在边上，当与点重合时，，得出的范围，即可求解； ②根据题意分，两种情况，分别求得的最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点在轴正半轴上， ， ∴， ∴，则； ∵， ∴， ∵， ∴，则； （2）解：①在中，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，是等边三角形， 在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 当时，在边上， 此时，即，解得： 当与点重合时，， ∴当和重叠部分为四边形时，， ∴； ②当时，重叠部分为， 由①可得， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴时，取得最小值，最小值为， ∵，， ∴最大值为,最小值为． 26．(1)， (2)①，② 【分析】（1）作于C，由可得点A的坐标，利用直角三角形的性质分别求出的长可求出点B的坐标； （2）①证明是等边三角形得，由折叠的性质得是等边三角形，从而，求出，求出的长，然后根据即可求出S关于m的解析式；当点C在上时求出m的最小值，当直线l经过点B时求得m的最大值； ②当在内部时，求得m的最小值；当点Q在的延长线上时，求得m的最大值即可． 【详解】（1）如图，作于C， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 故答案为：， （2）①∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由直角三角形纸片沿直线1向上翻折，可得， ∴是等边三角形． ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∶ ． ∴ 在，，． ∴， ∴． 如图，当点C在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 当直线l经过点B时m取得最大值4， ∴m 的取值范围为． ②当在内部时，， 当时，， 解得（负值舍去）． 当重叠部分是四边形时， 对于， 当取得最大值． 如图，当点Q在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，， 解得，（舍去）． ∴当时，m的取值范围是． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，坐标与图形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题． 27．(1)， (2)①，其中t的取值范围是；② 【分析】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，二次函数的应用，正确画出图形，恰当分类是解题的关键． （1）根据折叠的性质和的直角三角形的性质直接求解即可； （2）①利用，表示，即可求出的长；分两种情况考虑极端值：当点落在边上时，点在上时，分别画图求解即可； ②分三种情况：，，，分别画图，构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∴点的坐标为：； （2）①∵， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 在中，，， ∴ 当点落在边上时，作于点，如图所示， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴，， ∴此时，， 当点在上时，如图所示， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，的取值范围是：； ②当时，设交轴于点，如图所示， 此时就是折叠后与矩形的重叠部分， ∵，， ∴； 当时，设交轴于点， 交于点，如图所示， 此时，重合部分是五边形， ，， ∴，，， ∴， ∴ ∴当时，的最大值， 当时，设交于点，如图所示， 此时，重叠部分是， ，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，求的取值范围：． 28．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，然后求出，进而得到，然后得到，求出，即可求出； （2）①首先由折叠性质得到，，然后得到，利用角直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理求解即可； ②首先证明出是等边三角形，然后结合①得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图所示，    由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵当点C在x轴上时，， ∴， ∵折叠后的与重叠部分为四边形， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴与重叠部分的面积， ∵， ∴当时，S有最大值， ∵， ∴当时，S有最小值， 综上所述，S的取值范围是． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，结合动点问题，折叠问题勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 29．(1)， (2)①；②当时，的值为或 【分析】（1）由题意得，，，即可得出，，由得出，由相似三角形的性质得出，即可得解； （2）①设，则，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，由折叠的性质结合平行线的性质证明出，，得出，，推出，，最后根据即可得出关于的解析式，根据当点位于的中点时，由于，则此时点也位于的中点，折叠之后点恰好落在上，此时重叠的部分为，不为四边形，即可得出的取值范围；②由①可得：当时，此时重叠的部分为，则，再分别在对应的范围中，令，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：∵，点，点， ∴，， 当时，，故； ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即； （2）解：①∵，点，点， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，，，， ∵， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ； 当点位于的中点时，由于，则此时点也位于的中点，折叠之后点恰好落在上，此时重叠的部分为，不为四边形， 故； ②由①可得：当时，此时重叠的部分为， 则， 故， 当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，当时，的值为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 30．(1)， (2)① ② 【分析】（1）求求得，再解直角三角形，求得，从而得，继而求得点D和F坐标． （2）①利用三角形中位线性质求得，再根据直角三角形性质和勾股定理求得，然报由矩形性质可求解； ②分五种情况：当时；当时；当时；当时，当时，分别求出S与t的函数关系式，得用函数性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D为边AB的中点， ∴， ∴， ∴． ∵F是的中点，， ∴． （2）解：①∵，， ∴ ∵点E，F分别为，的中点． ∴， 由（1）知，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， 当如图，    ∵矩形， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴， 即； ②分五种情况：当时，    ∵ ∴， ∵ ∴； 当时，     ， ∵， ∵； 当时，   ， ∵， ∴； 当时， 由①知 ∴； 当时，    ∵， ∵， ∴； 综上，当时，S的取值范围为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平移性质，动点函数问题，一次函数与二次函数的图象性质，解直角三角形，此题是函数与几何综合题目，难度较大，分类讨论是解题的关键． 31．(1)， (2) (3) 【分析】（1）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）如图②中，连接，过点作于．解直角三角形求出，即可． （3）如图③中，延长到，使得，在的延长线上取一点，使得，取的中点，的中点，连接，，，，，，．利用全等三角形的性质证明，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于． ，， ，， ，， 是由绕旋转得到，， ，，点落在线段上， 的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：如图②中，连接，过点作于． ，， ，， ， 在中，，， ， ． （3）解：如图③中，延长到，使得，在的延长线上取一点，使得，取的中点，的中点，连接，，，，，，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 答案第92页，共92页 答案第91页，共92页 学科网（北京）股份有限公司 $$