2024年天津市九年级中考各区模拟分类汇编18题网格题

2024年天津市九年级各区模拟分类汇编18题网格题 一、填空题 1．（2024年天津市中考数学试题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 2．（2023年天津市中考数学真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．（2022年天津市中考数学真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 4．（天津市2021年中考数学真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 5．（天津市2020年中考数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 6．（2024年天津市河西区九年级中考一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，点，均在格点上，点在格线上，且，点是与格线的交点，点是线段与格线的交点． （Ⅰ）线段的长等于 ． （Ⅱ）请分别在边，上找到点，，使得周长最短，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 7．（2024年天津市天津市武清区等5地一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点为以为直径的半圆弧的中点． （1）的大小等于 （度）； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为直径的半圆的圆心，简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 8．（2024年天津市西青区中考一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ． 9．（2024年天津市河北区中考一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M和点N是格点，内接于圆，且直角顶点A在格点上，顶点B在线段上，且． （1）线段的长为 ； （2）若点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点Q，使圆周角，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 10．（2024年天津市河东区中考一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 11．（2024年天津市和平区中考一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）若点D在圆上，在上有一点P，满足． 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 12．（2024年天津市红桥区中考一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点A，C均在格点上，顶点B在网格线上． ①线段 的长等于 ； ②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以为边的矩形，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明) ． 13．（2024年天津市河西区中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中有一个圆． ①若点在格点上，是小正方形边的中点，则线段的长为 ； ②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出这个圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 14．（2024年天津市宝坻区中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均为格点，且在同一个圆上，连接，取格点，连接并延长交圆于点． （1）线段的长等于 ； （2）请在如图所示的网络中，用无刻度的直尺画出的中点，简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 15．（2024年天津市红桥区中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上． （1）的值等于 ； （2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 16．（2024年天津市南开区中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，顶点B落在格线上，是的外接圆． （1）的面积等于 ． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出直径，并在直径上找到点Q，使得的面积等于5．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 17．（2024年天津市河北区九年级中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，圆上点在格点上，点为圆与格线的交点，点是与格线的交点， 的长为圆周长的六分之一，点 是格点． （1）线段 的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆上一点，使所在直线与圆相切，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 18．（2024年天津市第七中学中考三模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均为格点，以A 为圆心，长为半径的圆交于点 E． （1）线段的长为 ． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P（点P，C 在 的两侧），使其满足，．  并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）． ． 19．（2024年天津市武清区多校联考中考三模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，圆经过，，三点，点是圆与网格线的交点，点，均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以点为顶点的，使得，并简要说明作图过程（不要求证明） ． 20．（2024年天津市和平区中考三模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）以为直径作半圆，在的角平分线上有一点P，上有一点Q，使的值最小．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 21．（2024年天津市红桥区九年级中考三模数学试卷题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点P，使，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 二、解答题 22．（2024年天津市天津市滨海新区中考一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点． (1)线段的长为 ． (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及上的一点，使得，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的（不要求证明）． 23．（2024年天津市南开区中考一模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，是的外接圆．    （I）线段的长等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，上方的圆上画点P，使得，并画出的中点Q．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 24．（2024年天津市滨海新区中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点在格线上，为圆的直径． （）的度数为 ； （）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 25．（天津市河东区2024年中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆过格点A，B，C． (1)的面积等于______； (2)若点E，F为格点，且满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的切线，并简要说明的位置是如何找到的（不要求证明）__________________． 26．（2024年天津市西青区中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A、B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）在圆上找点M，满足弦，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明） ． 27．（2024年天津市和平区中考二模数学试题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是圆的直径，且点在格点上，圆与网格线相交于点和点． （1） （度）； （2）在上找一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 试卷第10页，共11页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 图见解析，说明见解析 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【详解】（1）由勾股定理可知，， 故答案为： （2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．    2．(1) (2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求 【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可； （2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求； 连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，      由图可得：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，此时点Q即为所求； 故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． 3． 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算； （Ⅱ）由图可找到点Q，，即四边形EFBQ是正方形，因为，所以，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N． 【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1， 所以， 故答案为：； （Ⅱ）连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接与射线相交于点M；连接与相交于点G；连接并延长，与相交于点H；连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求， 理由如下：连接 由勾股定理算出， 由题意得， 四边形为正方形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 从而确定了点的位置． 【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理． 4． 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可； （Ⅱ）先将补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图，取与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接并延长，与半圆相交于点E，连接并延长，与的延长线相交于点F，则OE为中位线，且，连接交于点G，连接并延长，与相交于点P，因为，则点P即为所求． 【点睛】本题主要考查复杂作图能力，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，掌握以上知识点并与已知图形结合是解决本题关键． 5．（1）；（2）见解析 【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解； （2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==； （Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 6． 见详解 【分析】（Ⅰ）如图，过点作于点．利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出； （Ⅱ）连结并延长交圆于点，延长交圆于点，连结交于点，交于点，则，点即为所求． 本题考查作图复杂作图，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：（Ⅰ）如图，过点作于点． ，， ， ． 故答案为： （Ⅱ）连结并延长交圆于点，延长交圆于点，连结交于点，交于点，则，点即为所求． 故答案为：连结并延长交圆于点，延长交圆于点，连结交于点，交于点，则，点即为所求． 7． 取圆上两个格点，，再作的垂直平分线与的交点即为圆心 【分析】本题考查无刻度直尺作图，涉及到圆周角定理； （1）连接，证明是等腰直角三角形即可得到； （2）取圆上两个格点，，再作的垂直平分线与的交点即为圆心． 【详解】（1）连接， ∵点为以为直径的半圆弧的中点， ∴，， ∴， 故答案为： （2）取圆上两个格点，，再作的垂直平分线与的交点即为圆心，如图： 故答案为：取圆上两个格点，，再作的垂直平分线与的交点即为圆心 8． 见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图， （1）利用勾股定理可得答案； （2）取格点，连接并延长交半圆于点；取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，即可得图． 【详解】（1）解：在中，； 故答案为：． （2）解：如图所示， 如图，取格点，即半圆的圆心，连接并延长交半圆于点，，，点即为所作点； 取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，，，，，，，点即为所求． 9． 见解析 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取格点R，格点，格点，连接，，线段交于点T，线段交于点S，直线交于点Q，连接，，则点Q即为所求． 【详解】解：（1）； （2）如图，点Q即为所求． 故答案为：（1）；（2）见解析． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 10． 见解析． 【分析】（Ⅰ）结合网格的性质，利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）取格点，连接交于点，取与网格线的交点，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，分别连接并延长相交于点，则点即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由网格可知，， 故答案为：； （Ⅱ）如图，取格点，连接交于点，取与网格线的交点，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，分别连接并延长相交于点，则点即为所求． 理由：由作图可得：，， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题关键． 11． 图见解析；连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长与圆相交于点P．则点P即为所求． 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长与圆相交于点P．则点P即为所求．分别证明及，则可得，即有． 【详解】（1）、解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长与圆相交于点P．则点P即为所求． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，夹在两平行弦间的弧长相等等知识． 12． 见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、矩形的判定，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． ①利用勾股定理解题即可； ②先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用对角线相等且平分的四边形是矩形作图即可． 【详解】①， ②如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求． 13． 取圆与格线的交点，取格点，连接，交格线于点；取格点，连接并延长，交格线于点，则此时，四边形为矩形，连接并延长，交圆于点，延长交圆于点，连接，由所对的圆周角为直径可得为直径；同理再另做一条直径，则和的交点即为圆心． 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角的性质等知识点，熟悉掌握圆周角的性质是解题的关键． ①利用勾股定理运算即可； ②根据圆周角所对的边为直径，寻找两条直径相交即可得到圆心． 【详解】①解：由题意可得：； ②取圆与格线的交点，取格点，连接，交格线于点；取格点，连接并延长，交格线于点，则此时，四边形为矩形，连接并延长，交圆于点，延长交圆于点，连接，由所对的圆周角为直径可得为直径；同理再另做一条直径，则和的交点即为圆心，如图所示： 故答案为：①；②取圆与格线的交点，取格点，连接，交格线于点；取格点，连接并延长，交格线于点，则此时，四边形为矩形，连接并延长，交圆于点，延长交圆于点，连接，由所对的圆周角为直径可得为直径；同理再另做一条直径，则和的交点即为圆心． 14． 见解析 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）取格点，连接相交于点，利用圆周角定理得到点为圆心，连接，取格点，连接并延长交于点，此时，且，则点为的中点，连接交于点，利用垂径定理得到的中点． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）取格点，连接相交于点，则点为圆心，连接，取格点，连接并延长交于点，连接交于点，则点即为所求． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平移的性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15． 作图见解析，连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为，得到，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解， （2）由，当时，取得最小值，即取得最小值，找到中点，中点G，，，根据特殊角直角三角形的性质，通过的圆心角得到，的圆周角，即可求解， 本题考查了，直径所对圆周角为，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，圆周角定理，特殊角直角三角形，解题的关键是：将问题转化为． 【详解】解：（1）连接， ∵为直径， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）在左侧，作，， 则，当点、、三点共线的时候，取得最小值，即取得最小值， 此时 ， ， 则是等边三角形， 过点作，交于点，交于点， 则为中点，为中点， ∴过中点，作的平行线，与圆交于点，与的交点，即可确定点， 用无刻度直尺作图如下， 连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 16． 5 如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 【分析】本题主要考查了90度的圆周角所对的弦是直径，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）根据三角形面积计算公式结合网格的特点求解即可； （2）如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：5； （2）如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 由90度的圆周角所得的弦是直径，可得的交点O，即为圆心，则即为直径； 易知点M分别为的中点，则易证明，进而证明，则由平行线的性质可得． 故答案为：如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 17． 见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据网格的特点确定两条直径进而确定点，接下来确定的三等分点，进而得出，设的半径为，则，，，勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，即可得出是的切线． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）如图所示，取圆与格线交点，取格点，作射线交圆于点，作射线交圆于点，连接，交于点，点即为圆心；取与格线的交点，延长交圆于，连接；连接，交于点，作射线交于点，作射线交圆于点，则点即为所求． 理由如下，如图所示， 根据网格的特点确定两条直径进而确定点， ∵的长为圆周长的六分之一， ∴， 又根据网格可得为的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， 取与格线的交点，延长交圆于，连接；连接，交于点，作射线交于点， ∵ ∴ ∴是的垂直平分线， ∴ ∴ 根据网格可得是的三等分点，即 ∵ ∴ ∴ 则 ∴ ∴ 设交于点 ∵ ∴，则， 连接， 设的半径为，则，，， 在中， 在中， ∵ ∴是直角三角形，且 ∴是的切线 18． 5 以点A为圆心，长为半径作，以点E为圆心，长为半径作，两圆的交点，且与点 P在的右侧 【分析】本题勾股定理与网格问题，两圆相交．掌握两圆的交点到两圆圆心的距离等于两圆半径是解题的关键． （1）先利用网格与勾股定理计算出长即可； （2）根据，则点P是在点A为圆心，长为半径的上；根据，则点P又在以点E为圆心，长为半径的上，所以点P是两圆的交点．据此 即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：5； （2）以点A为圆心，长为半径作，以点E为圆心，长为半径作，两圆的交点，且与点P分别在的右侧．如图， 故答案为：以点A为圆心，长为半径作，以点E为圆心，长为半径作，两圆的交点，且与点P分别在的右侧． 19． 见解析 【分析】（）根据网格特征，利用勾股定理即可求解； （）根据三角形中线，垂径定理及推论，圆周角定理即可； 本题考查了尺规作图，勾股定理，垂径定理及推论，三角形中线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）由网格可知：， 故答案为：； （）如图， 取格点，，设圆与网格线交于点， 连接交于点，则点为圆心，交于点，与网格线的交点为， 连接并延长，交于点， 分别连接，， ∴即为所求， 作图过程理由：如图， 取格点，由网格可知，点在线段上，且四边形为菱形， ∴， 故直线经过圆心，连接，，则， 故直线经过圆心，故与的交点为圆心， ∵交于点， ∴点为的中点， 过点作网格线的垂线，与网格线交于点，取格点， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴点为的中点， ∴，则，， ∴． 20． 见解析 【分析】本题主要考查复杂作图能力，勾股定理，中位线定理，垂线段最短等知识点，掌握以上知识点并与已知图形结合是解决本题关键． （Ⅰ）根据勾股定理计算即可； （Ⅱ）先将补成等腰三角形，然后利用等腰三角形构建三角形的角平分线，然后根据垂线段最短构造三角形的高线交于点P，点P即为所作． 【详解】解：（Ⅰ）， （Ⅱ）如图，点即为所作； 取与格线的交点D，与格线交点O，连接并延长交半圆于点E，连接，取与半圆的交点F，与半圆的交点G，连接和相交于点H，连接并延长与相交于点P，点P即为所求． ∵是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即平分， 又∵是直径， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得当时，最小，即点P为与的交点． 21． 画图见解析，如图，取的内接圆与网格线的交点、、、，连接，交于点，连接并延长交于，连接，点即为所求． 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、圆周角定理，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． （1）利用勾股定理解题即可； （2）先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用直径所对圆角为直角，结合圆周角定理作图即可． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：， 故答案为：； （2）如图，取的内接圆与网格线的交点、、、， 连接，交于点， 由图可知，， ∴，为的内接圆的直径， ∴点为圆心， 连接并延长交于，连接，则， 由圆周角定理可知：， ∴， 即点即为所求． 故答案为：如图，取的内接圆与网格线的交点、、、，连接，交于点，连接并延长交于，连接，点即为所求． 22．(1) (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 故答案为：． （2）解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为圆上的直线， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接，可得；连接并延长与相交于点， ∴是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 23． 取格点D，连接CD并延长交于点P，取格线与的交点E，连接PE交AB于点F，连接CF并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求． 【分析】本题考查作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ①对运用勾股定理求解即可； ②先根据垂径定理找到点P位置，其依据是在同圆或等圆中，等弦对等弧，再根据同弧所对的圆周角相等找出点Q的位置． 【详解】①解：在中，， 故答案为：． ②如图，取格点D，连接并延长交于点P，取格线与的交点E，连接交于点F，连接并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求．    24． ； 取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出D的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求； 本题考查了圆周角的性质，矩形的性质，正方形的性质，垂径定理，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵为圆的直径， ∴， 故答案为：； （）如图，取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求， 故答案为：取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求． 25．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的面积、圆的切线的定义、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所需知识成为解题的关键． （1）根据方格可以确定三角形的底和高，然后根据三角形的面积公式计算即可解答； （2）先确定圆心，然后再根据相似三角形和正切的定义、切线的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图：的面积为： （2）解:如图，在以为对角线的矩形内确定两对角线的交点S，连接并延长交格点R；在正上方取两个小正方形，并确定其中心分别为,作直线交于O，O即为圆心；然后确定格点，连接，则即为所求； 证明：由图可知：,即， ∵S为矩形的对角线的交点， ∴， ∴ ∴垂直平分， 由作图可知：垂直平分， ∴直线交的交点O为圆心， 设交、于M，N， ∴， ∴， ∴， 在中，， 取格点，形成,， ∴， ∵， ∴，即, ∴为圆O的切线． 26． 5 图见解析，取格点P，连接与圆相交于点Q，连接与相交于点D，连接并延长与圆相交于点M，点M即为所求 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、对称的性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． （Ⅰ）利用网格特点和勾股定理求解即可； （Ⅱ）取格点P，连接与圆相交于点Q，利用对称的性质得到点的对称点点Q，连接与相交于点D，连接并延长与圆相交于点M，根据对称的性质可知点M即为所求． 【详解】（Ⅰ）解：由图知，， 故答案为：5． （Ⅱ）解：所作点M如图所示： 取格点P，连接与圆相交于点Q，连接与相交于点D，连接并延长与圆相交于点M，点M即为所求． 故答案为：取格点P，连接与圆相交于点Q，连接与相交于点D，连接并延长与圆相交于点M，点M即为所求． 27． 延长与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点，连接与圆相交于点；取与网格线的交点，连接并延长与圆相交于点，连接与相交于点，则点即为所求 【分析】本题考查了圆周角，中位线，作图等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． （1）用直径所对的圆周角为直角可解． （2）延长与网格线相交于点，即为的中点，连接，与网格线相交于点，即为的中点，故是的中位线，连接与圆相交于点，即，取与网格线的交点，即圆心为点，连接并延长与圆相交于点，即为直径，连接，即，故，，与相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）由于是圆的直径，直径所对的圆周角为直角， 所以． （2）延长与网格线相交于点，即为的中点， 连接，与网格线相交于点，即为的中点， 连接与圆相交于点， 故是的中位线，即， 取与网格线的交点，即圆心为点， 连接并延长与圆相交于点，即为直径， 连接，即，故， 由于， 故， 与相交于点，即，则点即为所求． 答案第8页，共28页 答案第9页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$