精品解析：北京市第一七一中学2021-2022学年九年级上学期开学考试数学试题

2021-2022学年北京一七一中初三（上）开学考 数 学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文化的一种象征．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数y＝x2－x－4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是(　　) A. x＜1 B. x＞1 C. x＞－2 D. －2＜x＜4 5. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△的位置，恰好经过点B，则旋转角α的度数等（ ） A. 70° B. 65° C. 55° D. 35° 6. 若二次函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 将抛物线绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为______. 12. 若点A（2m﹣1，2n+5）与点B（4﹣m，1+m）关于原点O对称，则m＝___，n＝___． 13. 反比例函数的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是______． 14. 如图，是正方形内一点，，，，则的长是__． 15. 若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 16. 把二次函数的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为______． 17. 若是方程的一个根，则的值为 _____． 18. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)设长方形门的宽尺，可列方程为_______． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入5000万元，预计2022年投入7200万元，求该市教育经费投入的年平均增长率． 21. 如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集． 22. 已知关于x的一元二次方程mx2+（m-2）x-2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根互为相反数，求m的值． 23. 抛物线过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求y的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，已知点A是直线上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数的图象经过点A． （1）若点A是第一象限内的点，且，求k的值； （2）当时，直接写出k的取值范围． 25. 某书店经营某出版社的同步辅导书，购进时的单价是30元，根据市场调查：销售单价是40元时，销售量是600本，而销售单价每涨1元，就会少售出10本书． （1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40），写出销售利润y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若书店获得了10000元销售利润，求该辅导书的销售单价x应定为多少元？ （3）若书店想获得最大利润，应将销售价格定为多少？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点A，B． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）． ①求抛物线的解析式． ②已知点C的坐标为，点D在抛物线的对称轴上，将抛物线在的部分记为图象G，若直线与图象G只有1个公共点，结合函数图象，求点D的纵坐标t的取值范围． 27. 在正方形中，E是边上一点． （1）将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______． （2）如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； （3）在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若，则称P为直线的平安点．已知点，，． （1）当直线l的表达式为时， ①在点A，B，C中，直线的平安点是_____________； ②若以为边的矩形上存在直线l的平安点，求点E的横坐标n的取值范围； （2）当直线的表达式为时，若点C是直线l的平安点，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年北京一七一中初三（上）开学考 数 学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文化的一种象征．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行求解即可． 【详解】解：A选项、B选项、D选项找不到这样一个点，使旋转后的图形与原图形重合，所以它们都不是中心对称图形， C选项绕中心点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以它是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴． 故选：D． 4. 已知函数y＝x2－x－4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是(　　) A. x＜1 B. x＞1 C. x＞－2 D. －2＜x＜4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数关系式算出抛物线的对称轴，再根据开口方向即可判断． 【详解】函数y＝x2－x－4， ∴对称轴为， ∴当时，函数值y随x的增大而减小 故选A． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质：当a>0时，在对称轴左边，函数值y随x的增大而减小；在对称轴右边，函数值y随x的增大而增大． 5. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△的位置，恰好经过点B，则旋转角α的度数等（ ） A. 70° B. 65° C. 55° D. 35° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝35°， ∴∠ABC＝55°， ∵将△ABC 绕点 C 逆时针旋转α角到△A′B′C 的位置， ∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°， CB＝CB′， ∴∠CBB′＝∠B′＝55°， ∴∠α＝70°， 故选A. 【点睛】本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键． 6. 若二次函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数y=kx2-4x-2与x轴有两个不同的交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴， 解得，k>-2且k≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心．分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：如图， 由图可知，点； 故选：B． 8. 将抛物线绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得抛物线的顶点坐标，进而根据旋转不改变函数图象形状大小，只改变开口方向，得到新的抛物线的顶点坐标，进而求解 【详解】解：∵的顶点坐标为，绕原点旋转180°，新的抛物线的顶点坐标为，且开口朝上，大小不变，即 ∴旋转后抛物线的解析式为 故选D 【点睛】本题考查了旋转的性质，的图象与性质，求得旋转后的顶点坐标是解题的关键． 9. 如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式 根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：D. 10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④即可． 【详解】解：①∵抛物线的开口方向向上， ∴． ∵对称轴， ∴， 又∵该抛物线与y轴交于负半轴， ∴． ∴；故①错误； ②根据图象知，当时，，即；故②正确； ④当时，，即， 由②可得：， ∴， ∴；故④错误； ③∵对称轴， ∴， ∵， ∴，即；故③正确； 综上所述，正确的说法是：②③； 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为______. 【答案】-2 【解析】 【详解】解：由题意得，， 12. 若点A（2m﹣1，2n+5）与点B（4﹣m，1+m）关于原点O对称，则m＝___，n＝___． 【答案】 ①. -3 ②. ##-1.5 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两点的坐标特征：横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点A（2m﹣1，2n+5）与点B（4﹣m，1+m）关于原点O对称， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握两个点关于原点对称，横纵坐标都互为相反数． 13. 反比例函数的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象和性质．此题难度适中． 根据反比例函数所在的象限，判定的符号，即，然后通过解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限内 ， 解得，； 故答案为：． 14. 如图，是正方形内一点，，，，则的长是__． 【答案】3 【解析】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后求出，再利用勾股定理列式计算求出，从而得解． 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到（点的对应点与点重合）， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及正方形的性质的综合运用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 15. 若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 【答案】﹣2 【解析】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， 解得： 故答案为 16. 把二次函数的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“把抛物线向上（）或向下（）平移个单位；再向左（）或向右（）平移个单位可得到的图象”进行解答即可得． 【详解】解：把二次函数的图象向左平移3个单位，得； 向下移5个单位，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 17. 若是方程的一个根，则的值为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求整式的值；将代入方程，将整式化为，整体代入计算，即可求解；理解一元二次方程的解，会用整体代换法求整式的值是解题的关键. 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 原式 ， 故答案：8． 18. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)设长方形门的宽尺，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺， 根据题意，利用勾股定理得：x2+（x+6.8）2=102， 故答案为x2+（x+6.8）2=102． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法—因式分解法； （1）移项后，因式分解为的形式可得或，即可求解； （2）方程左边进行因式分解为的形式可得或，即可求解； 能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 或， 解得：，． 20. 某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入5000万元，预计2022年投入7200万元，求该市教育经费投入的年平均增长率． 【答案】该市教育经费投入的年平均增长率为20%． 【解析】 【分析】设年平均增长率为，则2021年的投入为，2022年的投入为，明确等量关系，构建方程求解； 【详解】解：设该市教育经费投入的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市教育经费投入的年平均增长率为20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用增长率问题；理解与增长率相关代数式表示是解题的关键． 21. 如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集． 【答案】（1）y=，y=-x-2；（2）8；（3）x＞3或-5＜x＜0． 【解析】 【分析】（1）用点B的坐标先确定反比例函数的解析式，再确定点A的坐标，用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）设AB与y轴交点为D，确定DO的长，利用计算即可； （3）确定直线AB与双曲线的交点坐标，结合图像写出解集即可． 【详解】（1）∵A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点， ∴即m=-15, ∴反比例函数的解析式为y=， ∴n==3即点A的坐标为（-5，3）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y=-x-2； （2）设AB与y轴交点为D， ∵直线AB的解析式为y=-x-2， ∴点D的坐标为（0，-2）， ∴DO=2， ∴ = =， ∵A（﹣5，3），B（3，﹣5）， ∴==8； （3）∵A（﹣5，3），B（3，﹣5）， ∴不等式kx+b﹣＜0的解集为x＞3或-5＜x＜0． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式的确定，图形面积的计算，数形结合确定解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，灵活运用图形分割法，数形结合思想解题是解题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程mx2+（m-2）x-2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根互为相反数，求m的值． 【答案】 （1）证明：∵m≠0， Δ=（m-2）2-4m×（-2） =m2-4m+4+8m =m2+4m+4 =（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）m=2． 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ=（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据题意，利用根与系数的关系得到-=0，即可求得m=2． 【详解】（1）略 （2）∵关于x的一元二次方程mx2+（m-2）x-2=0， ∴方程两根的和为-， ∵方程两根互为相反数， ∴-=0， ∴m-2=0， ∴m=2． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系． 23. 抛物线过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握求函数最值的方法． （1）将代入求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式，根据函数增减性求解． 【小问1详解】 解：将代入得： 解得， ； 【小问2详解】 ， 时，y随x增大而减小， 时y取最大值， 时y取最小值， 把代入得， ． 24. 在平面直角坐标系中，已知点A是直线上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数的图象经过点A． （1）若点A是第一象限内的点，且，求k的值； （2）当时，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）9 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧妙地解设交点坐标是解题的第一步，也是关键的一步．另外，本题涉及到了分类讨论这一重要数学思想，考生一定要根据实际情况展开必要的分类讨论，这在初中数学阶段是非常重要的． （1）设A点坐标是，由于点A是第一象限内的点，且，可得出，解出x的值，代入反比例函数解析式求k值． （2）由于A点可能在第一或第二或第三象限，所以要分类讨论，再每个象限建立不等式，即，计算求k值取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据题意作图如下： 设A点坐标是， ∵点A是第一象限内的点，且， ， 解得， 即 ∵点A在函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：因为在反比例函数图象上，所以． ①当点A在第一象限时，，即，解得； 代入 得． ②当点A在第二象限时，，即 ，解得；代入 得． ③当点A在第三象限时，，即，无解； 综上所述，k的取值范围是且． 答：k的取值范围是且． 25. 某书店经营某出版社的同步辅导书，购进时的单价是30元，根据市场调查：销售单价是40元时，销售量是600本，而销售单价每涨1元，就会少售出10本书． （1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40），写出销售利润y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若书店获得了10000元销售利润，求该辅导书的销售单价x应定为多少元？ （3）若书店想获得最大利润，应将销售价格定为多少？ 【答案】（1）y＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）辅导书的销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）销售价格定为65元时，可获得最大利润12250元． 【解析】 【分析】（1）直接利用销量×每件利润=总利润进而得出函数关系式； （2）利用一元二次方程的解法进而得出x的值； （3）利用配方法求出二次函数最值进而得出答案． 【详解】解：（1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40）， 销售利润y表示成销售单价x的函数为： y＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）] ＝﹣10x2+1300x﹣30000； （2）依题意﹣10x2+1300x﹣30000＝10000， 解之得：x1＝50，x2＝80 答：辅导书的销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润； （3）∵y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250， ∴当x＝65，y取得最大值， ∴销售价格定为65元时，可获得最大利润12250元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点A，B． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）． ①求抛物线的解析式． ②已知点C的坐标为，点D在抛物线的对称轴上，将抛物线在的部分记为图象G，若直线与图象G只有1个公共点，结合函数图象，求点D的纵坐标t的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）把一般式配方即可求出顶点坐标； （2）①求出抛物线与x轴的交点横坐标，由即可求出m的值，从而确定解析式； ②画出图象，结合图象即可完成． 【小问1详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 ①令，则，解得：， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． ②图象G对应的部分抛物线如图所示． （Ⅰ）当过点C的直线与x轴平行时，直线与图象G只有1个公共点，此时． （Ⅱ）当过点C的直线过点O时，直线与图象G只有1个公共点，直线的解析式为． 当时，． （Ⅲ）当直线过点时， 设直线的函数解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，． 综上，点D的纵坐标t的取值范围为或． 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，图象与x轴的交点坐标，注意数形结合思想的运用． 27. 在正方形中，E是边上一点． （1）将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______． （2）如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； （3）在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系． 【答案】（1）， （2） 解：．证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转得到，则． ， ， 点E，B，P共线． 由旋转的性质，知． ， ， ． 在和中， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到； （2）将绕点A顺时针旋转得到，证明，得到即可证明结论； （3）将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．根据题意证明，得到为直角三角形，根据勾股定理以及等量代换即可得到答案． 【小问1详解】 解：绕点A顺时针旋转得到，使重合， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：．理由如下： 如图，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接． 四边形为正方形， ． 由旋转的性质，得． ， ， ． 在和中， ， ． ， 为直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理． 28. 在平面直角坐标系中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若，则称P为直线的平安点．已知点，，． （1）当直线l的表达式为时， ①在点A，B，C中，直线的平安点是_____________； ②若以为边的矩形上存在直线l的平安点，求点E的横坐标n的取值范围； （2）当直线的表达式为时，若点C是直线l的平安点，求k的取值范围． 【答案】（1）①、；②或； （2）或或． 【解析】 【分析】（1）①根据为直线的平安点的定义即可判断； ②当时，根据平安点的定义可知点的横坐标的取值范围； （2）分三种情况：当时；当时；当时；进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：①如图， ， 则有， ， 故点不是直线的平安点， ， 则有，， ， 故点是直线的平安点， ， 则有， ， 故点是直线的平安点； 在点，，中，直线的平安点是，， 故答案为：、； ②若以为边的矩形上存在直线的平安点， 则点的横坐标的取值范围或； 【小问2详解】 解：由题意知，，，，， 当时，， 则定为直线的平安点； 当时，， 解得， 则当时，为直线的平安点； 当时，， 解得或， 则当 时，为直线的平安点． 综上所述，若点是直线的平安点，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，利用思想结合的思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $