精品解析：浙江省衢温“5+1”联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2023学年第二学期衢温“5+1”联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共8页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为偶函数，对任意的，满足，记，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数，且，则（ ） A B. C. D. 11. 设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（ ） A 或 B. 关于直线对称 C. 为奇函数 D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则__________ 13. 已知点在以点为圆心的圆上，且，则的最大值是________． 14. 在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的值域． 16. 在中，角所对边分别是，且． （1）求； （2）若，求值及边上的高． 17. 已知． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求的最小值． 18. 已知圆锥的底面半径，高． （1）求圆锥侧面展开图圆心角（用弧度表示）； （2）球在圆锥内，圆锥在球内， （ⅰ）求球的表面积的最大值； （ⅱ）求球与球体积之比的最小值． 19. 设是定义在区间上函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．于是根据定义若为区间上的下凸函数，则对任意的，有；若为区间上的上凸函数，则对任意的，有． （1）已知函数，求证： （ⅰ）； （ⅱ）函数为下凸函数；参考公式： （2）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2023学年第二学期衢温“5+1”联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共8页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系利用数轴即可得解. 【详解】如图，若，则. 故选：C. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为，所以， ，所以虚部为2，故C正确. 故选：C 3. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则求得原图中线段的长，可得答案。 【详解】将直观图复原为原图，如图： 则 ,故， 所以原图形的周长为 ， 故选：A 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】充分性，因为可得到或， 若或时，可得，所以是的充分条件； 必要性，若，当时，满足，但， 故不是的必要条件， 故选：A 5. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合数量积的运算律计算即可. 【详解】因为,所以, 所以, 又因,所以, 则在上的投影向量为. 故选：A. 7. 已知函数为偶函数，对任意的，满足，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断的单调性，根据函数单调性确定函数值大小. 【详解】因为对任意的，满足， 所以在是增函数， 函数为偶函数，所以， 又，所以， 所以 ， 所以. 故选：B 8. 已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象按、、分类讨论，利用函数图象的交点个数去判断方程根的个数，进而求得实数的取值范围. 【详解】令，的对称轴为， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 如下图， 当时， 函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点， 且2个交点关于对称， 则方程有两根，且两根和为2，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，， 时，可得，或， 时，，可得，，， 即函数与函数的图象有5个交点， 则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点， 即函数与函数的图象有2个交点，分别为， 即，或，， 当时，函数与函数无交点，不符合题意； 当时，函数与函数有4个交点，且关于对称， 所以4个交点横坐标之和为4， 则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数相等的定义，结合共轭复数的定义、复数的乘方的运算公式求出的表达式，再根据复数的模的公式、复数的四则运算公式逐一判断即可. 【详解】设，则， 由 或， 于是或. A：显然，因此本选项不成立； B：当时，， 当时，，所以本选项成立； C：当时，， 当时，，所以本选项正确； D：当时，，显然， 同理当时，，因此本选项正确， 故选：BCD 10. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等式中求参数范围判断A，B选项，赋值法求D选项，应用基本不等式判断C选项. 【详解】因为， 所以， 所以，A选项正确，B选项错误； 因为， 又因为，所以，C选项正确； 因，令则，D选项错误. 故选：AC. 11. 设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（ ） A. 或 B. 关于直线对称 C. 为奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】采用赋值法可判断选项A，B，C；根据函数周期性可判断选项D. 【详解】因为对于任意的，都有成立， 令，代入可得， 由因为，联立可得或，故A正确； 令，代入可得， 当时，有， 则关于直线对称， 当时，有， 再令，代入可得，得， 所以， 即关于直线对称， 综上所述，关于直线对称，B正确； 当时，令，代入可得， 又因为，所以， 根据B选项，，所以， 故为偶函数，故C错误； 由上面可得，， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：采根据已知条件对任意的，都有成立，用赋值法可得函数性质，从而判断选项. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理求出，由平方关系求得结果. 【详解】由余弦定理可得， ，又， . 故答案为：. 13. 已知点在以点为圆心的圆上，且，则的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆的性质可以判断是等边三角形，利用平面向量的数量积运算性质，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为点在以点为圆心的圆上， 所以，显然是等边三角形，内角都为， ， 显然当同向时，有最大值， 故答案为： 14. 在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将正方体的侧面与展开到同一平面，点到的距离就是. 【详解】将正方体的侧面与展开到同一平面 在同一平面内可知的最小值就是点到的距离， 正方体中，为棱的中点，所以，， 是正方形，所以 故答案为： 【点睛】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用二倍角公式结合两角差的正弦公式化简，求出正弦函数的单调增区间即可； （2）先根据平移伸缩得出函数解析式，再求正弦函数的值域即得. 【小问1详解】 由题意得 ， 令，则， 函数的单调增区间为. 【小问2详解】 将函数的图像向左平移个单位长度，可得， 再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，所以， ， 则，则. 16. 在中，角所对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的值及边上的高． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化简求出余弦值即可求角； （2）根据两角和差公式结合正弦定理计算求正弦值及高即得. 【小问1详解】 法一：, , , 因为，所以. 法二：, , , , 在中，所以, 因为，所以. 【小问2详解】 因为，则, 由于，则, 则, 所以 , ． 则,因为, , . 17. 已知． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律，即可结合模长求解， （2）根据模长公式以及夹角公式即可求解， （3）根据余弦定理可求解长度，即可得，即可求解最值，或者利用模长公式以及二次函数的性质求解. 【小问1详解】 由于，所以，故 【小问2详解】 【小问3详解】 法一：记， 则 根据余弦定理得， 则，即 则，所以最小值为 法二： 当时，取得最小值 18. 已知圆锥的底面半径，高． （1）求圆锥侧面展开图圆心角（用弧度表示）； （2）球在圆锥内，圆锥在球内， （ⅰ）求球的表面积的最大值； （ⅱ）求球与球体积之比的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）27 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的侧面展开图及弧长公式计算即可； （2）求内切球的半径即可求出最大值；结合内切球及外接球半径比得出体积比的最小值. 【小问1详解】 记圆锥的母线长为 则 则 【小问2详解】 （ⅰ）当球的表面积最大时，此时球为圆锥的内切球 记球的最大半径为，如图画出截面图，则 所以． 所以球的表面积的最大值为 （ⅱ）球与球体积之比最小，即球体积最小，球体积最大 如图所示，以为直径的球可以包含圆锥，且此时为能包含圆锥的最小球， 记球的最小半径为，则 法一：则球的最小体积为 由（ⅰ）球的最大体积为． 所以球与球体积之比的最小值为 法二： 所以球与球体积之比的最小值为 19. 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．于是根据定义若为区间上的下凸函数，则对任意的，有；若为区间上的上凸函数，则对任意的，有． （1）已知函数，求证： （ⅰ）； （ⅱ）函数为下凸函数；参考公式： （2）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用倍角公式分析证明；（ⅱ）根据题意结合三角恒等变换证明即可； （2）根据上凸函数的定义整理可得，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 （ⅰ）因为，， 所以； （ⅱ）令，则 ， 所以，即函数为下凸函数. 【小问2详解】 因为函数在区间内为上凸函数， 则对任意的，有恒成立， 因为 ， 则， 且，可得， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解凸函数的定义，抓住凸函数的核心特征来证明，并利用分离参数法求解恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$