精品解析：江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年高一下学期期中调研数学试卷

2023～2024学年第二学期期中调研试卷 高一数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法运算求解即可. 【详解】 . 故选:C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和余弦的和角公式求解即可. 【详解】解： 故选：D 3. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的平方即为模的平方求模，再求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到． 【详解】，， ，，， 设与夹角的余弦值为， ，所以． 故选：． 4. 在中，已知，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角关系求出角，再利用正弦定理即可得解. 【详解】解：因为，，所以， 又因， 所以. 故选：D. 5. △ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积为（　　） A. 6 B. 6 C. D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出的值，再由同角三角函数的关系求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得结果 【详解】解：由题意得，， 因为，所以， 所以， 故选：A 【点睛】此题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查同角三角函数的关系，属于基础题 6. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. 19 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用结合已知条件求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 所以 . 故选：C 7. 已知，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合正切的两角和差的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， ， 所以， 故选：B 8. 如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的有关知识即可得出． 【详解】．若，则方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确； ．，则，正确； C.，则与不能比较大小； ．，则，因此正确． 故选：． 10. 下列化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由化简求解，对于B，利用两角和正切公式计算判断，对于C，求出，的值代入计算判断，对于D，利用正弦的二倍角公式化简判断. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，因为 ，， 所以，所以C错误， 对于D， ，所以D错误. 故选：AB 11. 在中，，，分别为角、，的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用正弦定理判断A选项，应用正弦定理结合同角三角函数关系判断B选项，结合余弦定理判断C选项，根据二倍角公式的余弦公式及余弦定理判断D选项. 【详解】因为，所以,,所以,A选项正确； 因为,所以同号，只能同时为正，, 因为单调递减，可得，所以,B选项正确； 因为，所以,又由正弦定理得, 又由余弦定理得,所以为钝角，所以为钝角三角形，C选项错误； 因为，所以 所以， 因为，所以， 则， 所以，故中必有一个是钝角， 所以为钝角三角形，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简求值. 【详解】由， 又因为， 所以 13. 已知为一个单位向量，若在上的投影向量为，，则与的夹角为____________． 【答案】##； 【解析】 【分析】根据投影向量定义结合向量夹角公式计算求解即可. 【详解】设与的夹角为， 由题意知，所以， 所以. 故答案为： 14. 在中，内角的对边长分别为，若且，则__________，面积的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用余弦定理找到变量之间的关系求解第一空，利用三角形面积公式结合给定条件求解第二空即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，化简得， 也可得到，化简得， 又可得到，化简得， 解得，，由余弦定理得， ，而在中，故， 而设面积为，所以， ，而，所以. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简与求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的商数关系和两角差的正切公式化简即可得出答案； （2）由二倍角的余弦公式和两角和与差的余弦公式化简即可得出答案. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 由倍角公式，得， 所以 ． 16. 已知在中，是边的中点，是边上的点，且．记． （1）用，表示向量； （2）若，且，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可； （2）用，表示出，再由，得化简结合可求得结果. 【小问1详解】 因为在中，是边中点，是边上的点，且， 所以 ； 【小问2详解】 ， 因为，所以，即， 故， 化简得：， 因为，所以， 代入上式得， 即，所以，即. 17. 电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，． （1）请据此算出电视塔AB的高度； （2）为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 【答案】（1）150米 （2）米 【解析】 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，然后根据题意列方程可求出； （2）由图可知，设米，给两边取正切化简，结合基本不等式可求得其最大值. 【小问1详解】 中，，得 在中，，得 因为， 所以，解得米． 答：电视塔的高度大约是150米． 【小问2详解】 由图可知，设米，则 当且仅当，即时等号成立． 显然且在单调递增，即最大时最大． 答：当为米时，欣赏彩灯的视角最大． 18. 已知中，，，为边上的点． （1）若，求边上的高； （2）若为的中点，且，求线段的长； （3）若平分，求线段长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用余弦定理结合作高法，利用锐角三角函数的定义求解即可. （2）利用向量中线定理求解即可. （3）利用三角形面积相等建立方程，把用三角函数合理表示，结合三角函数的有界性求解即可. 【小问1详解】 如图，在中，，作高， 由余弦定理得， (负值舍去)， 所以BC边上的高为 【小问2详解】 因为M是BC的中点，所以， 平方得， ， 所以(负值舍去)， 【小问3详解】 设， 因为AM平分，所以， 因为， 所以， 即， 整理得，因为， 所以，即线段AM长的范围是. 19. 给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数． （1）设向量分别为函数与函数的特征向量，求； （2）设向量的特征函数为，且，求的值； （3）已知分别为三个内角的对边，，设函数的特征向量为，且分别是边的中点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据特征向量定义可得的坐标，利用数量积的坐标公式计算即得； （2）利用特征函数定义可得，由条件求得，继而求出，最后利用与和角的正弦公式即可求得； （3）由可推得，设利用余弦定理求得和，得，最后利用余弦函数的值域求得的取值范围. 【小问1详解】 依题，，则； 【小问2详解】 依题，，由整理得， 因，则，故， 因, 则 ； 【小问3详解】 如图，由题意，，且，由可得，， 不妨设则，， 由余弦定理，,， 于是，, 因，则，于是，有， 则得，即的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义函数与新定义向量在求值上应用，属于难题. 在求解（2）时，注意运用进行拆角变换；在求时，要通过设，将相关边长用表示，便于应用余弦定理时的化简，最后运用常数分离法和余弦函数的值域即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年第二学期期中调研试卷 高一数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简等于（ ） A B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 4. 在中，已知，，，则长为（ ） A. B. 2 C. D. 5. △ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积为（　　） A. 6 B. 6 C. D. 14 6. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A 19 B. 7 C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 10. 下列化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，，，分别为角、，的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________． 13. 已知为一个单位向量，若在上的投影向量为，，则与的夹角为____________． 14. 在中，内角的对边长分别为，若且，则__________，面积的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简与求值： （1）； （2）． 16. 已知在中，是边的中点，是边上的点，且．记． （1）用，表示向量； （2）若，且，求的大小． 17. 电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，． （1）请据此算出电视塔AB的高度； （2）为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 18. 已知中，，，为边上的点． （1）若，求边上的高； （2）若为的中点，且，求线段的长； （3）若平分，求线段长的取值范围． 19. 给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数． （1）设向量分别为函数与函数的特征向量，求； （2）设向量的特征函数为，且，求的值； （3）已知分别为三个内角的对边，，设函数的特征向量为，且分别是边的中点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$