专题2.19 有理数的混合运算（专项练习）（培优练）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.19 有理数的混合运算（专项练习）（培优练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（17-18七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值不可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．－2 3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）下列各式中计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·辽宁阜新·期中）已知，则（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）对于一个自然数，如果能找到正整数、，使得，则称为“好数”，例如：，则是一个“好数”，在、、、这四个数中，“好数”的个数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24六年级上·山东烟台·期中）下面的算式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的算式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 8．（2023·浙江·一模）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的，据统计，某十字路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，南北走向直行与左转车辆分别约占总流量．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（    ） A．12秒 B．16秒 C．18秒 D．24秒 9．（22-23七年级上·河南南阳·期中）下列计算不正确的有（　　）个 ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算∶ ． 12．（23-24七年级上·天津河北·期末）如果互为相反数，互为倒数，那么 ． 13．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习） ； ． 14．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）计算 的结果是 ． 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若定义一种新的运算：，则 ． 16．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）已知：，且A，B都是自然数，则 ． 17．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 18．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）星期天，妈妈从超市买了4支A冰淇淋和3支B冰淇淋，用去元钱．妈妈对小丽说“上星期天我买了3支A冰淇淋和5支B冰淇淋用去元钱”，你算一算，A冰淇淋每支 元，B冰淇淋每支 元． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（22-23七年级上·山东济宁·期中）计算： (1)； (2)． 20．（8分）（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 21．（10分）（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小强：原式 小莉：原式． （1）以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ （2）你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程； （3）你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程． 22．（10分）（23-24七年级上·江西九江·期中）小华有5张写着不同数的卡片如下，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： （1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是______； （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是______； （3）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出运算式子（至少写出两种）． 23．（10分）（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： （1）列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ （2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是37，a是多少？ 24．（12分）（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数乘方运算法则、有理数乘除运算法则、加减运算法则逐项计算，即可获得答案． 【详解】解：A. ，本选项计算正确，符合题意； B. ，本选项计算错误，不符合题意； C. ，本选项计算错误，不符合题意； D. 本选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的乘法，能够正确将m，n的符号分类讨论，是解本题的关键．根据，分两种情况进行讨论：①m、n同号；②m、n异号；然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ①当m、n同号时，原式或原式； ②当m、n异号时，原式， 故的值不可能是1， 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了绝对值和有理数的混合运算，分别根据绝对值和有理数的混合运算法则逐项计算判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项不满足题意； B．，故该选项不满足题意； C．，故该选项不满足题意； D．，故该选项满足题意． 故选D． 4．B 【分析】根据题目中的式子，可以发现它们的变化规律，从而可以写出，进而求得 ，本题得以解决． 【详解】解： ， 由此规律可得出：， ， 故选：B 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 5．B 【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，应用“好数”的定义进行判断是解题的关键．根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则是“好数”，据此判断即可． 【详解】解：， 是“好数”； ，是质数， 不是“好数”； ， 是“好数”； ，是质数， 不是“好数”； 综上所述，在、、、这四个数中，“好数”的个数为个， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ，故④错误； ，故⑤错误； ，故⑥错误． ∴正确的有③，共1个． 故选：B． 7．A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 8．B 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是重新计算比例，而非直接用．先重新计算南北走向直行流量占比，再用120乘以占比可得一个周期时间为2分钟南北走向直行绿灯时长． 【详解】解：右转车辆不受红绿灯限制， 南北走向直行占题四种走向流量的比例为：， 一个周期时间为2分钟，设置南北走向直行绿灯时长为， 故选：B． 9．D 【分析】利用有理数的混合运算法则对各式逐一计算即可得到答案． 【详解】解：①，原计算不正确； ②，原计算不正确； ③，原计算不正确； ④，原计算不正确， 计算不正确的有①②③④，共4个， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 10．C 【分析】本题考查有理数的应用，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，分两种情况，乙容器水高，丙容器无水时；丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，丙到达时，计算求解即可． 【详解】解：时，甲容器里的水开始流向乙容器，即甲中水上升了，甲中注水速度为， 甲、乙、丙的底面的面积之比为，则注水的速度之比为， 乙的注水速度为，丙的注水速度为， 当乙容器里的水比丙容器里的水高时， 乙容器水高，丙容器无水，； 丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，用时，假设在此之后注水分钟，乙比丙高，则丙要到达， ， ， 综上所述，的值为或． 故选：． 11．3 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ． 12． 【分析】本题考查了相反数，倒数，有理数乘法混合运算，根据题意，，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由题可得：  ， 故答案为：． 13． 2014 32 【分析】本题考查了有理数的乘方、乘法、加法以及绝对值，掌握运算法则是解题的关键．根据先计算乘方，再计算乘法、加法，最后计算绝对值即可 【详解】解： ； ； 故答案为：2014；32． 14． 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，新定义运算，理解新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义，将转化成有理数混合运算，再按有理数混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 16．2017 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，由，，求出的值，进而得出结果． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：2017． 17．1 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，先算乘方，再算乘除，求绝对值，最后再算加减即可求解． 【详解】解：原式 ． 18． 3 4 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．熟练掌握有理数混合运算的应用是解题的关键． 由题意可得，买支A冰淇淋和9支B冰淇淋，用去元；买支A冰淇淋和支B冰淇淋，用去元；则买支B冰淇淋，用元，进而可得1支B冰淇淋，元，1支A冰淇淋，元，计算求解即可． 【详解】解：由题意可得，买支A冰淇淋和9支B冰淇淋，用去（元）； 买支A冰淇淋和支B冰淇淋，用去（元）； ∴买支B冰淇淋，用（元）， ∴1支B冰淇淋，（元）， ∴1支A冰淇淋，（元）， 故答案为：3，4． 19．(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）运用有理数四则混合运算法则和乘法分配律计算即可； （2）运用含乘方的有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 20．(1)25 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，在运算时，运算顺序是：先做乘方，再做乘除，最后做加减，有括号的按括号指明运算顺序进行计算；在运算中，可以应用运算律简化运算． （1）先计算乘法，再计算加减即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．(1)小莉 (2)有，见解析 (3) 【分析】（1）对比二者的运算过程的繁简程度即可判断； （2）将原数化为，用乘法分配律即可求解； （3）将原数化为，用乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 小强没有进行约分计算，导致数字偏大，运算量大；小莉将原数拆分后利用乘法分配律进行运算，简化了运算； 故小莉的解法比较简便； （2）解：还有其他的解法； 原式 ； （3）解：能； 原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，会利用运算律进行简便运算是解题的关键． 22．(1)24 (2) (3)，（答案不唯一）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且乘积数值最大的数，所以选和； （2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母的绝对值越小越好，分子的绝对值越小大越好，所以就要选和3，且为分子； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为30，方法不唯一，用加减乘除只要结果是30即可，如：抽取、、0、，则；再如：抽取、、、，则． 【详解】（1）解：， 故答案为：24； （2）解：， 故答案为：； （3）解：方法不唯一，如：抽取、、0、，则， 如：抽取、、、，则． 23．(1)①7；②206 (2)a是或 【分析】此题主要考查根据题意规定的运算法则列式求解，解题的关键是正确理解题意规定的运算法则． （1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：根据题意可得： ， ， 解得：， ∴a是或． 24．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$