专题2.17 有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.17 有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的混合运算 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）； 二、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、 分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢？主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。 三、掌握运算技巧 （1）归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 （6）正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。 （7）绝对值和偶次幂的非负性。 四、理解转化的思想方法 有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。 因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。 把所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化： 一是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法； 二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法； 三是将乘方运算转化为积的形式． 若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了． 五、会用三个概念的性质 如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b； 如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d； 如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的四则混合运算 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2024·天津和平·三模）计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业） ． 【题型2】含乘方的有理数混合运算 【例2】（23-24七年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2024·广东梅州·一模）计算：（    ） A． B．8 C． D．4 【变式2】（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）计算的结果为 ． 【题型3】用简便方法进行有理数的混合运算 【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： 【变式1】（20-21七年级上·全国·单元测试）计算最简便的方法是 A． B． C． D． 【变式2】（2022七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算 ； 【题型4】有理数混合运算与程序流程图和算24点 【例4】（23-24七年级上·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为 ． 【题型5】有理数混合运算的实际应用 【例5】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， （1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ （2）离开下午出发点最远时是多少千米？ （3）若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【变式1】（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）杯中原来有400毫升水（如图1），小明将杯中的水倒出一些后（如图2），从杯中倒出了多少毫升水？正确的列式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·陕西榆林·期末）《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖北随州·中考真题）计算： ． 【例2】（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) ． (5) (6) (7) (8) ． 【例2】（23-24七年级上·湖北荆门·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）． ，，，，，，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地有多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有_____千米． （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.17 有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的混合运算 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）； 二、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、 分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢？主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。 三、掌握运算技巧 （1）归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 （6）正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。 （7）绝对值和偶次幂的非负性。 四、理解转化的思想方法 有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。 因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。 把所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化： 一是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法； 二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法； 三是将乘方运算转化为积的形式． 若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了． 五、会用三个概念的性质 如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b； 如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d； 如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的四则混合运算 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算括号中的运算，以及除法化为乘法运算，约分即可得到结果； （2）原式先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（2024·天津和平·三模）计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先运算除法，然后运算减法解题即可． 解：， 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，先算括号里面的加法和减法，发现得出来的分数正好可以约分．在分数的巧算中，乘除法最主要的简便运算就是能约分． 解： ． 【题型2】含乘方的有理数混合运算 【例2】（23-24七年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）利用含乘方的有理数混合运算法则正确计算，即可解题； （2）利用含乘方的有理数混合运算法则，以及绝对值正确计算，即可解题； 解：（1）原式 ；． （2）解： ． 【变式1】（2024·广东梅州·一模）计算：（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，先计算乘方，再按照有理数运算顺序计算即可． 解：原式 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】26 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【题型3】用简便方法进行有理数的混合运算 【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则，准确计算，是解题的关键． （1）（2）（3）根据乘法分配律进行计算即可； 解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式1】（20-21七年级上·全国·单元测试）计算最简便的方法是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特点，进行计算，考虑到分配率计算时便于约分和计算，进行选择即可． 解：． 故选D． 【点拨】本题考查了有理数的简便运算，一般情况下，有理数的简便运算往往要借助于运算律进行，同时要考虑运算易于进行． 【变式2】（2022七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算 ； 【答案】 【分析】根据有理数简便运算凑整优先的原则，逐步化简计算即可． 解：原式= 【点拨】本题考查了有理数混合运算中的简便运算，选择合适的简便方法是解题的关键． 【题型4】有理数混合运算与程序流程图和算24点 【例4】（23-24七年级上·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 【答案】320 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键． 解：把20代入程序中得：， 把代入程序中得：， 把80代入程序中得：， 把代入程序中得：， 则最后输出的结果为320． 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 解：A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第4次开始，每2次 1组，每组按照3，6的顺序循环的规律是解题的关键． 解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第4次开始，每2次 1组，每组按照3，6的顺序循环， ， ∴第2023次为第1010组第二个， ∴第2023次输出的结果为3， 故答案为：3． 【题型5】有理数混合运算的实际应用 【例5】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， （1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ （2）离开下午出发点最远时是多少千米？ （3）若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米 (2)离开下午出发点最远时是26千米 (3)这天下午共需支付22.95元油钱 【分析】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和． （1）把所有的行程数据相加即可求出小张离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边； （2）分别计算出小张每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可； （3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和，再结合油价求解即可解题． 解：（1）解：小张离下午出车点的距离 （千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米； （2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 26最大， 离开下午出发点最远时是26千米， 答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）解：∵这天下午小张所走路程 （千米）， 这天下午共需付钱（元）， 答：这天下午共需支付22.95元油钱． 【变式1】（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）杯中原来有400毫升水（如图1），小明将杯中的水倒出一些后（如图2），从杯中倒出了多少毫升水？正确的列式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数，先正确读出水的格数，先计算出剩下的水，根据倒出的水等于全部的水减去剩下的水即可得到答案． 解：原来有400毫升水占8格，现在为3格， ∴现在的水为毫升， ∴倒出的水为：毫升， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·陕西榆林·期末）《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 【答案】 【分析】本题考查相遇问题，路程、速度、时间三者之间的关系．利用已知信息先求出火车速度是人步行速度的倍数，相遇问题，利用路程速度、时间关系即可解答． 解：根据题意可知 ①火车速度是人步行速度的： ， ②相遇时间： （分钟）， （秒）． 故答案为：720． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖北随州·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减． 解：． 故答案为：0． 【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则． 【例2】（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 解：根据定义，得， 故答案为：8． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) ． (5) (6) (7) (8) ． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)9 【分析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （2）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （3）先运算乘除，然后加减解题即可； （4）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （5）应用乘法分配律，求出每个算式的值各是多少即可． （6）先运算括号内的加减，然后运算除法解题即可； （7）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （8）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题． 此题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 解：（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 【例2】（23-24七年级上·湖北荆门·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）． ，，，，，，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地有多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有_____千米． （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)地位于地东方，距离地有22千米 (2)25 (3)8升 【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，结合和的符号可判定方向及距离； （2）首先计算每次行程后与出发点的距离，再比较有理数的大小，可得答案； （3）首先计算当天航行的总里程，进而可得当天耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案． 解：（1）解：∵， ∴地位于地东方，距离地有22千米； （2）路程记录中各点离出发点的距离分别为： 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， ∵， ∴救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有25千米． 故答案为：25； （3） 千米， 升， ∴冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充8升油． 【点拨】本题主要考查了正负数的意义、化简绝对值、有理数比较大小、有理数混合运算的应用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 1 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