精品解析：山东省济宁市邹城市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023~2024学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 2024.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号. 3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效. 4，考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式即可. 【详解】. 故选：D. 2. 复数（ ） A. i B. C. 1 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数除法、乘法运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 3. 已知是不共线的向量，且，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，，然后得到即可判断B正确；对于ACD，说明对应的向量不共线即可排除. 【详解】因为， 所以，， 因为，所以A，B，D三点共线，故B符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，B，C三点不共线，故A不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即B，C，D三点不共线，故C不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，C，D三点不共线，故D不符合题意； 故选：B. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 5. 已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由投影向量的定义建立方程，结合向量相等即可求解. 【详解】由题意，因为， 所以，解得. 故选：B. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 直线是的一条对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由，结合的范围得，再结合，即可求得；对于B，求得它的表达式即可判断；对于CD，直接由三角函数性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，，所以， 又， 加半个周期大于0，即， 解得，即， 所以只能是， 所以，故A错误； 对于B，， 因为存在使得，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，设， 所以，故C正确； 对于C，，故D错误. 故选：C. 7. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（ ） A. 49 B. 7 C. 49或7 D. 7或 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量，，两两夹角相等可知他们两两夹角为或，进而利用平面向量的数量积与模即可求解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以他们两两夹角为或. 当夹角为时，； 当夹角为时， . 综上所述，或. 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角恒等变换结合角的范围得，再由三角恒等变换结合商数关系即可求解. 【详解】， 所以，即，即， 由题意，所以解得满足题意， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于求得，进一步将所求式子化成关于的式子即可顺利求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 复数对应的平面向量的坐标为 C. D. 复数在复平面上对应的点在虚轴上 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的四则运算、相关概念及其相应的计算公式逐一判断即可求解. 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，复数对应的平面向量的坐标为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，复数在复平面上对应的点在虚轴上，故D正确. 故选：AD. 10. 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记.若向量的“@未来坐标”分别为，，则（ ） A. B. “@未来坐标”为 C. D. 若向量的“@未来坐标”分别为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由数量积公式验算即可；对于B，由“@未来坐标”的定义验算即可；对于C，由数量积的运算律计算即可；对于D，结合C选项结论以及三角恒等变换、三角函数性质即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，即的“@未来坐标”为，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，由C选项结论可知，若向量的“@未来坐标”分别为， 则，令， 则，显然的取值范围为， 所以， 所以当时，，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时， C. 当时，最小正周期为 D. 当时，的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简并判断单调性判断A；利用同角公式判断B；利用同角公式及二倍角公式化简函数，求出周期判断C；利用同角公式及二倍角公式化简函数，结合二次函数及余弦函数的有界性求出值域判断D. 【详解】对于A，，当时，， 正弦函数在上单调递增，则在上单调递增，A正确； 对于B，，B正确； 对于C， ，则的最小正周期，C错误； 对于D， ，而， 于是，即的值域为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，则与方向相同的单位向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同方向的单位向量公式即可. 【详解】与方向相同的单位向量是. 故答案为：. 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接由两角差的正切公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理以及三角形面积公式求得的面积，设所求面积为，利用向量共线定理、平面向量基本定理得出即可求解. 【详解】 的面积为， 注意到， 所以 ， 因为三点共线，所以设， 而点是中点，点是中点， 所以，设， 所以，因为不共线， 所以，解得， 因为， 设的面积为，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到的面积，，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是同一平面的三个向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设，根据模的计算公式列方程求出参数即可得解； （2）由题意得，代入求得，结合向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因，设， 则，， 所以或. 【小问2详解】 因为， 所以， 又因为，所以由，可知， 所以. 16. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值和最小值分别为 【解析】 【分析】（1）三角恒等变换化简解析式，再利用整体代换法求解对称中心； （2）先求整体角的范围，再利用正弦函数的单调性求最值. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 由，得，此时 所以函数的对称中心为； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 而函数在上递增，在上递减， 则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 17. 已知是关于x的方程的一个根. （1）求p，q的值及方程的另一个根； （2）若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； （3）若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 【答案】（1）， （2）结论、证明见解析 （3）以为圆心，3为半径的圆 【解析】 【分析】（1）代入方程的根，由复数相等求得参数，由求根公式求得另一个根即可； （2）由求根公式可知，韦达定理在复数范围内通用适用，由此即可得解； （3）由复数的模的计算公式及其几何意义即可求解. 【小问1详解】 因为是关于x的方程的一个根， 所以有，整理得. 故有，解得. 可得方程的根为， 所以另一个根为； 【小问2详解】 猜想：实系数一元二次方程在复数集C内的根为，则， 验证：方程的根为， ； 【小问3详解】 由（1）可知可化为， 所以，表示点与点的距离为定长3， 故复平面内满足的动点的集合是以为圆心，3为半径的圆. 18. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为. （1）求角A的大小； （2）若为外心，D为中点，，求边a的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理边化角即可求解； （2）设，画出图形，分析得出，方法一：求得，结合余弦定理即可求解；方法二：求出，结合正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ，由余弦定理得：， 因为，所以； 【小问2详解】 在锐角中，为外心，所以， 设，则， 在，可得，① 在中，，可得，② 联立①②， 所以， 化简得③； 方法一(余弦定理)：同时除以，得， 在中，， 在中，由余弦定理得：， ，又， 解得； 方法二（正弦定理）因为④， 联立③④解得， 在中，由正弦定理得：. 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. （1）如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； （3）如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). （参考公式：) 【答案】（1） （2）92.5m （3）；15.3 【解析】 【分析】（1）设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，根据求出各参数得解析式； （2）代入（1）中解析式计算可得； （3）结合，由甲的高度求得乙的高度，利用对称性或由求得两人距离地面高度相等的时刻． 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，因为转盘直径为110m，所以，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度为，又摩天轮最高点距离地面高度为120m，最低点距离地面高度为 由题意可得 H关于t的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）可知时， . 所以，游客甲在开始转动10min后距离地面的高度约为92.5m. 【小问3详解】 如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点B相对于A始终落后，此时乙距离地面的高度为 ， 两人距离地面高度相等的时刻， 方法一：甲、乙分别位于最高点的两侧，并且具有对称性的时刻，两人距离地面高度相等因为转一周大约需要30min，，所以甲从最低点开始转动，转过，乙从最低点开始转动，转过， 此时时间为. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法二：即时，即， 可得，解得 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法三：甲乙距离地面的高度差为 ， 利用，可得： ， 当时，，由题意可知：， 解得. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 2024.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号. 3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效. 4，考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. i B. C. 1 D. －1 3. 已知是不共线的向量，且，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 5. 已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 直线是的一条对称轴 7. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（ ） A. 49 B. 7 C. 49或7 D. 7或 8. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 复数对应的平面向量的坐标为 C. D. 复数在复平面上对应的点在虚轴上 10. 我们把由平面内夹角成两条数轴构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记.若向量的“@未来坐标”分别为，，则（ ） A. B. “@未来坐标”为 C. D. 若向量的“@未来坐标”分别为，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时， C. 当时，的最小正周期为 D. 当时，值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，则与方向相同的单位向量是______. 13. 已知，则______. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是同一平面的三个向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 已知是关于x方程的一个根. （1）求p，q的值及方程的另一个根； （2）若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； （3）若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 18. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为. （1）求角A的大小； （2）若为外心，D为中点，，求边a的大小. 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. （1）如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； （3）如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). （参考公式：) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$