精品解析：山西省朔州市右玉县2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

第一学期高中新课程模块考试试题（卷） 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号答题卡相应位置涂黑． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如果，，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B. 所有能被3整除的数都是奇数 C. ， D. ， 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 7. 已知关于x的二次方程有两个整数根，且，则下列结论正确的是（ ） A. 整数m的值为4或12 B. 整数m的值为12或24 C. 整数m的值为24或40 D. 整数m的值为40或60 8. 关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ） A. 集合C的所有非空真子集个数是2 B. 集合C的所有非空真子集个数是6 C. 集合C的所有子集个数是4 D. 集合C的所有子集个数是8 12. 已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（ ） A. 当扇形的面积最大时，扇形的半径为 B. 扇形面积的最大值为 C. 当扇形的面积最大时，扇形的半径为 D. 扇形面积的最大值为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 命题“，”的否定是______． 14. 已知，则集合中所有元素的和为______． 15. 已知数集，则由实数a的值组成的集合为______． 16. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 18. 已知，且，证明：． 19. 已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 20. 已知函数． （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集． 21. 设. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； 22. 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动．经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期高中新课程模块考试试题（卷） 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号答题卡相应位置涂黑． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】，，则. 故选：D. 2. 已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由锐角三角形的定义说明充分性成立，再由直角三角形或钝角三角形中也有锐角说明必要性不成立； 【详解】若三角形是锐角三角形，则其内角都是锐角； 但当三角形的内角中有锐角时，该三角形不一定是锐角三角形， 也可能是直角三角形或钝角三角形． 故是的充分不必要条件． 故选：B. 3. 如果，，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】如果，， 对于A，，，故A错误； 对于B，，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，即，故D错误. 故选：C. 4. 下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B. 所有能被3整除的数都是奇数 C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词和存在量词，即可结合选项求解. 【详解】对于A，取，则，A是存在量词命题，且为真命题， 对于B， “所有”是全称量词，故B是全称命题， 对于C，由于，所以选项C为假命题， 对于D，，是全称量词命题， 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合，再算其交集即可. 【详解】由得或 所以 由得 所以 所以 故选D. 6. 已知，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项. 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 7. 已知关于x的二次方程有两个整数根，且，则下列结论正确的是（ ） A. 整数m的值为4或12 B. 整数m的值为12或24 C. 整数m的值为24或40 D. 整数m的值为40或60 【答案】C 【解析】 【分析】先求关于的一元二次不等式的解集，在由题意可知一元二次方程的判别式一定为平方数，据此可求出正确答案. 【详解】解不等式 , 得 . 又由 , 得 . 因为此方程有整数根, 所以 为完全平方数， 所以 或 . 当 时, 原方程为 , 解得 或 ; 当 时, 原方程为 , 解得 或 . 故选：C 8. 关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式对应方程的根并判断大小，再求出不等式的解集. 【详解】由，得，不等式化为， 而方程的二根为或，又，即， 所以原不等式的解集为. 故选：C 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】由题意0是整数，故A正确；不是有理数，故B错误；0是自然是，0.5不是自然数，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：AC 11. 已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ） A. 集合C的所有非空真子集个数是2 B. 集合C的所有非空真子集个数是6 C. 集合C的所有子集个数是4 D. 集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【解析】 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 12. 已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（ ） A. 当扇形的面积最大时，扇形的半径为 B. 扇形面积的最大值为 C. 当扇形的面积最大时，扇形的半径为 D. 扇形面积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可知由扇形面积公式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】设扇形的半径和弧长分别为，由题意知： 则，当且仅当时，即时等号成立， 故BC正确，AD错误， 故选：BC． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”, 故答案为：， 14. 已知，则集合中所有元素的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根即可求解. 【详解】由于，所以，解得， 所以，故和， 因此集合中所有元素的和为， 故答案为： 15. 已知数集，则由实数a的值组成的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】让依次等于，得出相应的进行讨论即可求解. 【详解】若，则，此时，故满足题意； 若，则，此时，这违背了集合中元素的互异性，故不满足题意； 若，则，此时，故满足题意； 故所求集合为. 故答案为：. 16. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理，结合射影定理即可求解. 【详解】设，， 由于是直角三角形，所以，且直角为, 又，，所以， 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，求出，即可根据交集和并集的定义求解． （2）根据，可得不等式组进而即得． 【小问1详解】 当时，，所以， ,； 【小问2详解】 ，， 则，解得：． 故实数取值的集合为. 18. 已知，且，证明：． 【答案】证明:， 因为，所以， 而，结合可知， 理由如下：若，则，这与矛盾，故不可能大于或等于0， 所以， 所以，即. 【解析】 【分析】作差，用不等式性质得，用反证法得，由此即可得解. 【详解】略. 19. 已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【答案】充要条件，证明如下： 是成立的充要条件，证明如下： 由可得， 由于，所以； 由，可得，即. 故是成立的充要条件， 【解析】 【分析】根据因式分解可得，即可由充要条件的定义求解. 【详解】是成立的充要条件，证明略. 20. 已知函数． （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式的解法即得； （2）根据判别式，即可结合分类讨论求解. 【小问1详解】 当时，得， 由于， 故的解集为； 【小问2详解】 由可得， 当时，解得， 此时不等式的解集为， 当时，解得或， 的两个实数根为， 此时不等式的解集为， 综上：或，不等式的解集为，，此时不等式的解集为， 21. 设. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）不等式对一切实数x恒成立，即恒成立，分和两种情况讨论，即可得解； （2），利用基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 解：不等式对一切实数x恒成立， 即恒成立， 当时，不恒成立； 当时，则有，解得， 综上所述，实数m的取值范围为； 【小问2详解】 解：， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为4. 22. 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动．经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少? 【答案】该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5万元 【解析】 【分析】首先将所获利润表示为的函数，结合基本不等式即可求得最大值即取最大值时的值. 【详解】由题意将该厂家2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数为： . 所以， 当且仅当时“=”成立. 所以，该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $