精品解析：四川省内江市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

内江一中2021~2022学年度第二学期高一期中检测题 数学试题 1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确答案. 1. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 在等腰中，斜边，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，未着色三角形的个数依次构成数列的前4项：0，1，4，13，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，三内角分别是、、，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是 ，则河流的宽度BC等于（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的内角，，的对边分别是，，，面积为，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，设P为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ） A. B. C. D. 1 11. 已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 12. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 向量在向量上的投影是________. 14. 已知在中，，，，为线段的中点，则中线的长为______. 15. 计算______. 16. 已知，函数，若对任意给定的，总存在（），使得，则的最小值为______. 三、解答题：共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知等差数列满足，，求的通项公式； （2）已知数列满足，（且），求证：数列是等差数列，并求出的通项公式. 18. （1）已知，，，求； （2）已知向量，，，求与的夹角的余弦值. 19. 已知函数，， （1）求的最小正周期和最大值； （2）求的单调递增区间. 20. 在①2asinC＝ctanA；②2acosB＝2c﹣b；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知____． （1）求A的值； （2）若面积为，周长为5，求a的值． 21. 已知函数（）的最小正周期为， （1）求和的值； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 22. 成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中2021~2022学年度第二学期高一期中检测题 数学试题 1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确答案. 1. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知, 得出，即可求得. 【详解】因为向量，，且， 所以，即，解得. 故选：A. 2. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由正弦定理得，则. 故选：C 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 4. 在等腰中，斜边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出，再利用向量数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示计算即得. 【详解】在等腰中，斜边，则，， 所以. 故选：A 5. 如图，图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，未着色三角形的个数依次构成数列的前4项：0，1，4，13，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形规律可得到，即可求得. 【详解】由已知，，，，， ， 故， 当时， ， 时，， 则数列的通项为， 所以. 故答案为：D. 6. 在中，三内角分别是、、，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和差角的正弦公式化简即得. 【详解】在中，， 又，则，即， 而，因此，即， 所以一定是等腰三角形. 故选：C 7. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是 ，则河流的宽度BC等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，， 所以 . 故选C. 8. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式及两角差的正弦公式化简，可得，再两边平方，利用同角间三角函数关系和二倍角的正弦公式，即可得到的值. 【详解】因为， 所以， 则， 又，所以， 则， 两边平方得， 所以. 故选：D. 9. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的内角，，的对边分别是，，，面积为，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦定理，分别求出和，再代入公式即可求解. 【详解】在中，由及正弦定理得，即， 由，得， 所以的面积. 故选：A 10. 如图所示，设P为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由与为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角形面积之比，连接并延长后，易得到与长度的关系，进行得到的面积与面积之比． 【详解】 连接CP并延长交AB于D， ∵P、C. D三点共线,∴，且， 设，结合，得， 由平面向量基本定理，解之得，且， ∴， 可得， ∵与有相同的底边AB，高的比等于与之比， ∴的面积与面积之比为. 故选：C. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题. 11. 已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，确定最大角大小，利用余弦定理求出三条边长即可求解. 【详解】设的最小边长为，则另两边长分别为，最大边所对角为， 即，由，得，否则三内角和小于， 因此，由余弦定理得， 整理得，则，即的三边长为， 所以的最小角的余弦值为. 故选：D 12. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小. 【详解】因为，且为等边三角形，， 所以，所以，所以的最大值为，取等号时， 所以，不妨设， 所以，所以解得， 所以，所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 向量在向量上的投影是________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量投影的定义，结合平面向量的数量积公式，代入计算即可． 【详解】向量，， ∴向量在向量方向上的投影为 . 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，考查向量的投影，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知在中，，，，为线段的中点，则中线的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】在中，为线段的中点，则，而， 所以. 故答案为： 15. 计算______. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式，结合同角公式化简即得. 【详解】原式 . 故答案为： 16. 已知，函数，若对任意给定的，总存在（），使得，则的最小值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】化简函数的解析式得，令，结合题意，把问题转化为：对任意一个，在上至少有两个解，从而可得的最小值． 【详解】依题意，， 令，，令，得， 由，得，即且， 即且，结合，解得， 于是对任意一个，在上至少有两个解， 又的最小正周期为，因此，解得，所以的最小值为6． 故答案为：6 三、解答题：共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知等差数列满足，，求的通项公式； （2）已知数列满足，（且），求证：数列是等差数列，并求出的通项公式. 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质求出公差，进而求出通项公式. （2）利用递推公式，结合等差数列定义推理即得，再利用等差数列熊菲公式求解. 【详解】（1）等差数列中，由，得，解得，而， 因此公差，通式公式为. （2）依题意，，由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，， 所以的通项公式为. 18. （1）已知，，，求； （2）已知向量，，，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出，进而求出即可. （2）由垂直关系的坐标表示求出，再利用夹角公式计算即得. 【详解】（1）由，，， 得，即有，解得， 所以. （2）由向量，，，得，解得， 因此，， 所以与的夹角的余弦值为. 19. 已知函数，， （1）求的最小正周期和最大值； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用差角的余弦公式及辅助角公式化简函数，再求出最小正周期及最大值. （2）由（1）的解析式，利用正弦函数性质求得的递增区间. 【小问1详解】 依题意， ， 所以函数的最小正周期为； 当，即时，取得最大值. 【小问2详解】 由，解得， 所以的递增区间为. 20. 在①2asinC＝ctanA；②2acosB＝2c﹣b；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知____． （1）求A的值； （2）若面积为，周长为5，求a的值． 【答案】（1）选①时，2asinC＝ctanA；利用正弦定理得：2sinAsinC＝sinC，整理得：cosA＝， 由于0＜A＜π，所以A＝60°． 选②时，2acosB＝2c﹣b；利用余弦定理：，整理得， 化简得：cosA＝，由于0＜A＜π，所以A＝60°． 选③时，，整理得：，所以， 解得或－1（舍去），由于0＜A＜π，以A＝60°． （2） 【解析】 【分析】（1）选①时，利用正弦定理得：2sinAsinC＝sinC，可求得：cosA＝，根据角的范围可求得角； 选②时，利用余弦定理：，整理得， 可求得：cosA＝，根据角的范围可求得角； 选③时，根据余弦的二倍角公式得，求得或－1（舍去），根据角的范围可求得角； （2）由三角形的面积公式求得bc＝1．再由余弦定理可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，解得bc＝1． 由于a＋b＋c＝5，所以a＝5﹣（b＋c）， 利用余弦定理：， 解得a＝． 【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件； （2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件； （3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. （4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 21. 已知函数（）的最小正周期为， （1）求和的值； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再由给定周期求出及函数值. （2）利用正弦函数的性质求出函数的最值，再利用恒成立的不等式求解即得. 【小问1详解】 依题意， ， 由函数的最小正周期为，得，因此，， 所以. 【小问2详解】 由，得，则，， 不等式， 由对任意，都有，得， 而，则， 所以实数的取值范围为. 22. 成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）在中由正弦定理求得，在中由余弦定理表示出，从而求得； （2）在中，用余弦定理表示出，然后结合基本不等式可得的最大值． 【详解】解：（1）在中，由正弦定理得：，； 在中，由余弦定理得， ， ． （2）在中，由余弦定理得：， ，， ， ， ， ．（当且仅当时取“” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $