5.4.1二项式定理课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

计数原理 5.4.1二项式定理 1 能用计数原理推导证明二项式定理; 掌握二项式定理及其展开式的通项公式; 会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题。 学习目标 导入 艾萨克-牛顿(1643-1727),英国人. 他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一. 不仅是一位物理学家、天文学家,还是伟大的数学家. 3 导入 1664年冬,年仅22岁的牛顿,在研读沃利斯博士的《无穷算术》, 并试图修改他的求圆面积的级数时发现这一定理⋯ 4 新知探究 观察的展开式,思考展开式中的这几种类型的项如何得到的? 展开式中任何一项都是从中的2个括号中各取1个字母相乘得到 因此展开式中每一项一定都是2次项 展开式中只能含有三类: 新知探究 追问1: 的展开式中各项的系数是如何确定的? 0个b, 2个a, 1个b, 1个a, 2个b, 0个a, 系数为 系数为 系数为 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 追问2:你能推导,的展开式是如何得到的吗? 0个b, 3个a, 1个b, 2个a, 2个b, 1个a, 3个b, 0个a, 系数为 系数为 系数为 系数为 新知探究 根据上述规律,猜想的展开式中会有哪些类型的项? = 展开式中的每一项都是从 个 任取一个字母相乘得到 n个(a+b)相乘 每一项的构成形式 的个数为 的个数为 个 个 a与b的总个数为n 的系数为 共有 种情况 猜想的展开式中各类型的项的系数分别是什么? = 新知探究 定义 二项式定理 二项式系数: 二项展开式的通项: 二项展开式:公式的右边叫作的二项展开式 = () () 新知探究 追问1:根据上述定义,二项式定理形式上的特点有哪些? 展开式共有 项 n+1 按照字母a降幂排列 按照字母b升幂排列 展开式中每一项a与b次数和为 n 二项式各项的系数为 次数由n到0 次数由0到n 仅与有关 与和无关 新知探究 追问2:若令a=1,b=x,那么等于什么? = 因此 = 若令a=1,b=x 那么 = 由于 新知应用 求的展开式. 解:因为= 故 =++++++ =++++++ = 注意正确选择与,其顺序不能更改 与相同吗? 前者= 后者= 新知应用 (1)求的展开式的第4项系数. 解:(1)的展开式的通项为: =∙∙ =∙∙ 因此展开式的第4项的系数为: ①第4项是什么? ②第4项的系数是什么? ③第4项的二项式系数是什么? 下列三个问题 第4项的系数:第4项除字母外 第4项: 第4项的二项式系数: 的展开式的第4项为: ∙=280 =∙∙ 新知应用 所以展开式中的第+1项为: 要得到含的项,必须有3-k=2,从而有k=1 故展开式中的系数为:(-1) =-192 解:(2)因为 = (2)求的展开式中的系数. 如何求展开式中的系数? 先求出展开式,观察展开式找到含的项,进而得到系数 先求出展开式的通项,令指数部分为2,求解字母得到系数 小结 回顾本节课所学内容,回答下列问题: (1)本节课我们学习了哪些主要知识? (2)本节课我们遇到了哪些思想方法? =++⋯++⋯+ 与系数的区别 = ,,⋯,,⋯, 二项式定理 作 用 内 容 注 意 求任一项 求指定项 求指定特征项 通 项 二项式 系数 类比思想 转化思想 代换思想 从特殊到一般 思想方法 作业布置 练习:P171 1、2、3、4 $$