1 4.1 二项式定理的推导-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦二项式定理的推导，从初中多项式乘法（如(a+b)²展开）切入，结合分步乘法计数原理分析系数构成，引导学生推导(a+b)³，进而抽象出一般形式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题导思驱动逻辑推理，通过典例（如区分二项式系数与项的系数、求三项展开式特定项）培养数学运算核心素养。采用任务式教学（推导与应用），配套规律方法总结和分层评价，学生能提升推理与运算能力，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

4.1　二项式定理的推导 　 第五章　§4　二项式定理 学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，培养逻 辑推理的核心素养. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升 数学运算的核心素养. 任务一　二项式定理 1 任务二　二项式定理的应用 2 随堂评价 3 课时分层评价 4 内容索引 任务一　二项式定理 返回 问题导思 问题1.在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示：从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是×bk(k＝0，1，2)的形式.而且bk相当于是从2个(a＋b)中取k个(a＋b)提供b，2－k个(a＋b)提供a的项，即bk的系数是. 问题2.你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？ 提示：(a＋b)3＝a3＋a2b＋ab2＋b3. 新知构建 1.二项式定理 (a＋b)n＝_______________________________________，可以简写成(a＋b)n＝an－kbk.这个公式称为二项式定理. 2.相关概念 (1)等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，展开式共有项. (2)各项系数(k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数. (3)展开式中的_________称为二项式通项，记作________，它表示展开式的第________项. (4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝__________ __________________________. an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn an－kbk Tk＋1 (k＋1) ＋x＋ x2＋…＋xk＋…＋xn 微提醒 (1)每一项中a与b的指数和为n.(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.(3)a与b的位置若交换，展开式形式变化.(4)an－kbk表示的是第(k＋1)项.(5)二项式定理中只有a，b两项.若有多项，可合并化为两项后再解决问题. 角度1　二项式的展开式与化简 (链教材P176例1－例3)(1)求的展开式. 解：＝＝(1＋3x)4＝[1＋(3x)＋(3x)2＋(3x)3＋(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解：原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)1＋(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 典例 1 规律方法 运用二项式定理的解题策略 1.正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开. 2.逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，体现的是整体思想.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数，向二项展开式的形式靠拢. 对点练1.(1)的二项展开式是　 　　　. 32x5－80x2＋－＋－ ＝－＋－＋(2x)()4－·＝32x5－80x2＋－＋－. (2)计算＋9＋27＋…＋3n＝　　　. 4n－1 31＋32＋33＋…＋3n＝30＋31＋32＋33＋…＋3n－30＝(1＋3)n－1＝4n－1. 角度2　二项式系数与项的系数 (链教材P176例4)在二项式的展开式中，求： (1)第6项的二项式系数和第6项的系数； 解：由已知得，二项展开式的通项为＝x9－k＝(－1)kx9－2k，(0≤k≤9，k∈N) 所以T6＝(－1)5＝－126x－1. 所以第6项的二项式系数为＝126， 第6项的系数为－126. 典例 2 (2)x3的系数. 解：设展开式中的第k＋1项为含x3的项， 则由(1)得9－2k＝3，即k＝3， 所以展开式中第4项含x3， 其系数为(－1)3·＝－84. 规律方法 1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2.求二项式系数可直接代入求解，求二项展开式某项的系数可以分为两步完成： (1)根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件(n为正整数，r为非负整数，n≥r)； (2)根据所求的指数，求所求解的项或项的系数. √ 对点练2.(1)(2x－y)4的展开式中x3y的系数为 A.－32 B.32 C.8 D.－8 由题设知，展开式通项为Tk＋1＝(－y)k＝24－kx4－k(－1)kyk，所以k＝1时，x3y的系数为×23×(－1)1＝－32.故选A. (2)在的展开式中，含x－2的项的二项式系数为　　. 1 由Tk＋1＝＝3k·，k＝0，1，…，6，当k＝6时，含x－2的项为729·x－2，其二项式系数为＝1. 返回 任务二　二项式定理的应用 返回 角度1　求二项展开式中的特定项 已知二项式展开式中的第7项是常数项. (1)求n； 解：因为展开式的第7项是··＝26··， 由于第7项是常数项，故＝0，解得n＝15. 典例 3 (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 解：由(1)知，展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·2k··， 若Tk＋1为有理项，则＝5－k为整数， 所以k为6的倍数， 因为0≤k≤15，所以k＝0，6，12，共三个数， 所以展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项. √ 角度2　两个多项式乘积的特定项 在关于x的展开式中，x2的系数是 A.30 B.25 C.20 D.15 典例 4 由题意得展开式的通项为Tk＋1＝＝，k＝0，1，2，…，6，令k＝4，得到x2的系数为＝15，令k＝2，得到x2的系数为＝15，所以展开式中x2的系数是15＋15＝30，故A正确.故选A. 角度3　三项展开式 (一题多解)在的展开式中，x2的系数为　　　.(用数字作答) 典例 4 －120 法一：＝[＋]5，通项为Tk＋1＝，k＝0，1，2，3，4，5.当k＝0时，x2的系数为，当k＝1时，x2的系数为，当k＝2，3，4，5时，不会出现含x2的项，所以x2的系数为＋＝－80－40＝－120. 法二：＝＝，x2的系数即为的展开式中x7的系数，所以x2的系数为＝－120. 法三：表示5个因式x＋－2的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选x，其余的3个因式都选－2，相乘可得含x2的项；或者有3个因式选x，有1个因式选，1个因式选－2，相乘可得含x2的项，故x2的系数为＋＝－120. 规律方法 1.求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项：隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (2)对于有理项：一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. (3)对于二项展开式中的整式项：其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 规律方法 2.求多项式积的特定项的常用方法 双通法是求多项式积的特定项的常用方法，所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为·＝(bx)k·(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况. 规律方法 3.求三项展开式的特定项的常用方法 (1)两项看成一项，利用二项式定理展开. (2)因式分解，转化为两个二项式再求解. (3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答. √ 对点练3.(1)(多选题)对于二项式，下列说法正确的是 A.展开式中的常数项为 B.展开式中的常数项为 C.展开式中的有理项有3项 D.展开式中的有理项有4项 √ 的展开式的第k＋1项，Tk＋1＝＝x－k＝，令3－k＝0，则k＝2，常数项为＝15×＝，故A正确；当k＝0，2，4，6，时Tk＋1为有理项，所以有理项有4项，故D正确.故选AD. (2)展开式中x4y3z的系数为　　　. 480 看成6个相乘，从6个因式中选2个x2，再从剩下的4个因式中选3个2y，最后一个选z，即得到展开式中x4y3z的系数为23＝480. (3)已知的展开式中x2y4的系数为－20，则m的值为　　. 3 ＝2x＋my(x－y)5，因为的展开式通项为Tr＋1＝x5－ryr，则其中xy4的系数为，x2y3的系数为－，所以的展开式中x2y4的系数为2－m＝－20，解得m＝3. 课堂小结 任务再现 1.二项式定理.2.二项式定理的正用与逆用.3.二项展开式的通项的应用.4.两个多项式乘积的特定项5.三项展开式 方法提炼 转化化归、通项公式法、双通法 易错警示 二项式系数与项的系数的区别，bk是展开式的第(k＋1)项 返回 随堂评价 返回 √ 1.在的展开式中，x的系数为 A.3 B.6 C.9 D.12 由题意得，二项式展开式的通项为Tk＋1＝23－kx3－2k，当3－2k＝1即k＝1时，23－k＝22＝3×4＝12.故选D. √ 2.二项式的展开式中有理项的项数为 A.4 B.5 C.6 D.7 由题意得，二项式展开式的通项为Tk＋1＝·＝(－1)k··，其中k＝0，1，2，…，10，当k＝0，2，4，6，8，10时，展开式为有理项，所以二项式的展开式中有理项的项数为6项.故选C. 3.化简：－4＋6－4(x＋1)＋1＝　　. x4 －4＋6－4(x＋1)＋1＝＋×＋×(－1)2＋×＋＝[(x＋1)－1]4＝x4. 4.设实数x＞0，试判断与1＋10x＋45x2的大小关系，并说明理由. 解：(1＋x)10＝＋x＋x2＋…＋x10＝1＋10x＋45x2＋x3＋…＋x10， 因为x＞0，所以(1＋x)10＞1＋10x＋45x2. 返回 课时分层评价 返回 √ 1.(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于 A.9 B.10 C.11 D.8 因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.展开式中系数为无理数的项共有 A.2项 B.3项 C.4项 D.5项 因为展开式的通项为Tk＋1＝89－kxk，当k＝1，3，5，7，9时，展开式中系数为无理数，共5项.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，x的系数为 A.－50 B.－35 C.－24 D.－10 (x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项为(－1)×(－2)×(－3)x＋(－1)×(－2)×(－4)x＋(－1)×(－3)×(－4)x＋(－2)×(－3)×(－4)x＝－50x，所以x的系数为－50.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.在(x＋y－2)5的展开式中，x3y的系数是 A.－40 B.－20 C.20 D.40 可以理解为5个相乘，要想得到x3y，需要5个因式中有3个取x项，1个取y项，还剩1个取常数项，由题意x3y的系数为：×13× ×1×＝－40.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.若的展开式中常数项是20，则m＝ A.－2 B.－3 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝x＋(x－)5，的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k(－)k＝x5－2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，则x的展开式的常数项为－＝－10；令5－2k＝1，解得k＝2，则的展开式的常数项为m＝10m，因为的展开式中常数项是20，所以10m－10＝20，解得m＝3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选题)对于二项式(n∈N＋)，下列判断正确的有 A.存在n∈N＋，展开式中有常数项 B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N＋，展开式中有x的一次项 二项式＝x4k－n，由通项可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在的展开式中，x7的系数为　　. 15 Tk＋1＝＝(－1)k，令12－＝7，解得k＝2，故x7的系数为(－1)2＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.的展开式中，其中不含x的项为　　　　　　. y4和－y7 由二项式定理可得展开式的通项为Tk＋1＝yk＝ykxk－6，所以多项式的展开式中不含x的项分别为x2×y4＝y4和－y×y6＝－y7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知m为非零常数.若在的二项展开式中，x3的系数是的系数的8倍，则m＝　　. . 展开式中含x3的项为x5＝21m2x3，含x2＝21m5·，所以由题意可得21m2＝8×21m5，解得m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(15分)已知在的展开式中第二项的二项式系数是5. (1)求n的值； 解：二项式展开式的通项为Tk＋1＝(其中0≤k≤n且k∈N)， 依题意可得＝5，解得n＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求展开式中含x5的项. 解：二项式展开式的通项为Tk＋1＝＝25－k (其中0≤k≤5且k∈N)， 令10－k＝5，解得k＝2， 所以T3＝23x5＝80x5，即展开式中含x5的项为80x5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.若实数a＝2－，则a12－2a11＋22a10－…＋212等于 A.－32 B.32 C.－64 D.64 由题意可得a12－2a11＋22a10－…＋212＝(a－2)12＝＝64.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.(x－1)3(y＋2)2的展开式中，满足m＋n＝4的xmyn项的系数之和为 A.－3 B.－1 C.1 D.3 因为(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，(y＋2)2＝y2＋4y＋4，若m＋n＝4，且0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N，则所以xmyn项的系数之和为－3×1＋1×4＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知的展开式中的常数项为19，则a＝　　　　　. ± 二项式a2＋＋a4＝－12a2＋6＋a4，则－12a2＋6＋a4＝19，解得a2＝13或a2＝－1(舍去)，所以a＝±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知f(x)＝，g＝(1＋2x)n(m，n∈N＋). (1)若m＝3，n＝4，求fg的展开式中含x2的项； 解：当m＝3，n＝4时，f＝，g＝， 所以fg＝， 其中展开式的通项为Tk＋1＝xk，k∈； 展开式的通项为Tr＋1＝，r∈； 所以fg的展开式中含x2的项为1×＋x·＋x2×1＝51x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)令h＝f＋g，如果h的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？ 解：h＝f＋g＝＋， 因为h的展开式中含x的项的系数为12， 所以x＋2x＝12x，即m＋2n＝12， 此时x2的系数为＋4＝＋2n(n－1)＝＋2n ＝4n2－25n＋66＝4－＋66，n∈N＋， 所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(创新题)设An＝(1＋x)n，Bn＝A1＋A2＋…＋An，则B2 025中x3的系数为 A. B. C. D. √ 依题意得，B2 025＝A1＋A2＋…＋A2 025＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)2 025，对于An＝(1＋x)n的通项为Tk＋1＝xk，k＝0，1，…，n，故B2 025中x3的系数为＋＋＋…＋＝(＋)＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝…＝＋＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在(ax－y＋z)7的展开式中，记xmynzk项的系数为f(m，n，k)，若f(3，2，2)＝，则a的值为　　　. . 因为在(ax－y＋z)7的展开式中，记xmynzk项的系数为f(m，n，k)，所以xmynzk项的系数f(m，n，k)＝am，即f(m，n，k)＝am，由f(3，2，2)＝，可得a3＝，即35×6a3＝，所以a＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 4.1　二项式定理的推导 返回 $