精品解析：人教版2023-2024学年八年级上学期数学期末达标测试题(二)

期末达标测试卷（二） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，1—5小题，每小题2分，6—10小题，每小题3分，共25分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 2. 已知三角形两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，若为正整数，则表示值的点落在（　　） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（　　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 8. 一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，AC与DM、DN分别交于点E、F，把△MDN绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是( ) A. 105° B. 115° C. 120° D. 135° 9. 一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 分解因式：ab²-a=_____________ 13. 如图，已知,要使,还需添加一个条件，则可以添加的条件是____________．（只写一个即可，不需要添加辅助线） 14. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=________度． 15. 如图，，平分，，如果，那么等于_____． 16. 平面上，将边长相等正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=________． 17. 如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____． 18. 观察下列各式的规律： …… ________ 三、解答题（本大题共8个小题，共71分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中. 21. 先化简，再求值：，其中x=﹣3． 22. 阅读材料：若x满足，试求的值． 解：设，， 则，且． ∵， ∴， 即的值为508． 同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程： 若x 满足 ，试求的值． 23. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 24 （1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE． （2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由． 25. 某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元． （1）4月份进了这批T恤衫多少件？ （2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①用含a的代数式表示b； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 26. 阅读下面材料： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，相当于把，集中在中，利用三角形的三边关系，可得，即可得到的取值范围为． 小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 请你解决以下问题： （1）如图2．在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接．求证：； （2）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交于两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末达标测试卷（二） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，1—5小题，每小题2分，6—10小题，每小题3分，共25分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴. 【详解】解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴； 沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴； 沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴， 所以该图形的对称轴是直线l3， 故选C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 已知三角形两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长． 【详解】设第三边为x， 根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1， 即3＜x＜5， ∵x为整数， ∴x的值为4．  三角形的周长为1+4+4=9． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围． 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 4. 在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出， 【详解】解：延长，交于， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】B 【解析】 【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案． 【详解】解∵1． 又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等． 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（　　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵AB＝AC， D为BC中点， ∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， ∴在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD； ∵EF垂直平分AC， ∴OA=OC，AE=CE， 在△AOE和△COE中， ， ∴△AOE≌△COE； 在△BOD和△COD中， ， ∴△BOD≌△COD； 在△AOC和△AOB中， ， ∴△AOC≌△AOB；所以共有4对全等三角形， 故选：D． 8. 一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，AC与DM、DN分别交于点E、F，把△MDN绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是( ) A. 105° B. 115° C. 120° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和特殊直角三角形的角度求得∠DEC,进一步利用三角形外角的性质即可得到结果. 【详解】解：∵DE=DF，∠EDF=30°， ∴∠DEF=（180°-∠EDF）=75°， ∴∠DEC=105°， ∵∠C=45°， ∴∠CDE=180°-45°-105°=30°， ∴∠BDN=120°， 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和与外角的性质是解题的关键. 9. 一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得顺水速度为（35+v）km/h，逆水速度为（35﹣v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，根据等量关系列出方程. 【详解】解： 由题意可得: 故选D． 10. 如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果； 【详解】∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：由可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件并建立不等式是解本题的关键． 12. 分解因式：ab²-a=_____________ 【答案】a(b+1)(b-1) 【解析】 【分析】原式提取公因式a，再利用平方差公式分解即可． 【详解】原式=a(b2-1)=a(b+1)(b-1) 故答案为：a(b+1)(b-1) 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13. 如图，已知,要使,还需添加一个条件，则可以添加的条件是____________．（只写一个即可，不需要添加辅助线） 【答案】可添∠ABD=∠CBD或AD=CD． 【解析】 【分析】由AB=BC结合图形可知这两个三角形有两组边对应相等，添加一组边利用SSS证明全等，也可以添加一对夹角相等，利用SAS证明全等，据此即可得答案. 【详解】.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD， ①∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ∵， ∴△ABD≌△CBD（SAS）； ②AD=CD， 在△ABD和△CBD中， ∵， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故答案为∠ABD=∠CBD或AD=CD． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，结合图形与已知条件灵活应用全等三角形的判定方法是解题的关键. 熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS． 14. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=________度． 【答案】52 【解析】 【分析】设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：， ，， 设， ， ， ， 在中， ， ， 解得：． 故答案为：52． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等． 15. 如图，，平分，，如果，那么等于_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．过P作于点E，则，根据，得，根据直角三角形的性质得到答案． 【详解】解：过P作于点E， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：3． 16. 平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=________． 【答案】24 【解析】 【详解】解：正多边形的每个内角都相等，正五边形的每个内角为108°，正六边形的每个内角为120°， 所以∠1=120°-108°=12°；∠2=108°-90°=18°；∠3=90°-60°=30°， 所以∠3＋∠1－∠2＝30°+12°-18°=24° 故答案为：24 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，正多边形的定义． 17. 如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____． 【答案】70° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数． 【详解】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF； 又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理）， ∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理）， ∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键． 18. 观察下列各式的规律： …… ________ 【答案】 【解析】 【分析】观察已知等式，找出规律，归纳总结确定出所求即可． 【详解】解：归纳总结得： 故答案为： 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差法则是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共71分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，先去分母，化为整式方程，再解整式方程即可，注意要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键，注意分式方程一定要检验． 20. 先化简，再求值：，其中. 【答案】，9. 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值.熟练掌握完全平方公式是解题的关键，原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 先化简，再求值：，其中x=﹣3． 【答案】－；1 【解析】 【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式====－ 当x=﹣3时，原式=1． 考点：分式的化简求值 22. 阅读材料：若x满足，试求的值． 解：设，， 则，且． ∵， ∴， 即的值为508． 同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程： 若x 满足 ，试求的值． 【答案】2019 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 结合阅读材料中的方法将原式变形，求出值即可． 【详解】解：设，， 则，且， ∵，即， ∴， ∴． 23. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论． 【详解】证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 24. （1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE． （2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）AE=BE；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据SAS可得出答案； （2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，则可得出BE＝BF．结论得证． 【详解】（1）证明：在△ACE和△BCE中， ∵， ∴△ACE≌△BCE（SAS）； （2）AE＝BE． 理由如下： 在CE上截取CF＝DE， △ADE和△BCF中， ∵， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB， ∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF， ∴AE＝BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元． （1）4月份进了这批T恤衫多少件？ （2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①用含a代数式表示b； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 【答案】（1）300件；（2）①；②3900元； 【解析】 【分析】（1）设3月份购进T恤x件，则该单价为元，4月份购进T恤2x件，根据等量关系，4月份数量是3月份的2倍可得方程，解得方程即可求得； （2）①甲乙两家各150件T恤，甲店总收入为，乙店总收入为，甲乙利润相等，根据等量关系可求得ab关系式；②根据题意可列出乙店利润关于a的函数式，由以及①中的关系式可得到a的取值范围，进而可求得最大利润. 【详解】（1）设3月份购进T恤x件， 由题意得：，解得x=150， 经检验x=150是分式方程的解，符合题意， ∵4月份是3月份数量的2倍， ∴4月份购进T恤300件； （2）①由题意得，甲店总收入为， 乙店总收入为， ∵甲乙两店利润相等，成本相等， ∴总收入也相等， ∴=， 化简可得， ∴用含a的代数式表示b为：； ②乙店利润函数式为， 结合①可得， 因为，， ∴，∴=3900， 即最大利润为3900元. 【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作出等量关系列出方程，根据利润得出函数式，根据未知数范围进行求解． 26. 阅读下面材料： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，相当于把，集中在中，利用三角形的三边关系，可得，即可得到的取值范围为． 小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 请你解决以下问题： （1）如图2．在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接．求证：； （2）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交于两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，延长到，使，连接，可证，可得，根据题意可得是的垂直平分线，可得，在中，根据三角形三边的数量关系即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，可证三点共线，再证，根据三角形边的关系即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； 小问2详解】 证明：如图2， ∵，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要 考查倍长中线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形三边的数量关系，旋转的性质，合理作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$