精品解析：浙江省东阳市外国语学校2024-2025学年高三上学期8月独立作业（开学）数学试题

东阳市外国语学校高三数学8月独立作业 一、单选题 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 4. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（ ） A 10500 B. 12500 C. 31500 D. 52500 5. 在中，分别为角的对边，若，，，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 8. 已知实数a，b，c构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ） A. B. C. D. 在的方向上的投影向量为 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的图象关于对称 B. 当时，在上的最大值为 C. 当为的一个零点时，的最小值为1 D. 当在上单调递减时，的最大值为1 11. 已知函数的定义域为R，，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 三、填空题 12. 已知一组数据5，6，7，7，8，9，则该组数据的方差是______． 13. 若，则______． 14. 三棱锥所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A大小； （2）若，，求的面积； （3）若，，D为BC的中点，求AD的长． 16. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段中点，平面底面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 19 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东阳市外国语学校高三数学8月独立作业 一、单选题 1. 已知集合，，则 （ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，根据交集的定义求出即可． 【详解】∵，∴， ∵，∴， 所以. 故选：B． 2. 若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解． 【详解】设，则， 则，即，所以，， 解得，，故，对应的点在第四象限． 故选：D． 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式解答即可． 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以含项为：， 即的展开式中的系数为6， 故选：C． 4. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（ ） A. 10500 B. 12500 C. 31500 D. 52500 【答案】A 【解析】 【分析】利用棱台的体积公式,即可计算得出答案． 【详解】一斛米的体积为， 因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为， 故选：A. 5. 在中，分别为角的对边，若，，，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求得，，利用两角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，进而求出a的值． 【详解】由，可得，根据进而求出，， 由可得，， 则， 由正弦定理可知， 又因为，解得，， 由正弦定理可得． 故选：B． 6. 双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 【详解】设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图： 设、，，双曲线其中一条渐近线为， 直线的方程为，① 由，得，即直线的斜率为，直线方程为，② 由点在双曲线上，得，③ 联立①③，得，联立①②，得， 则，即，因此， 所以离心率． 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（ ） A 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，再根据圆的性质求的最小值即可. 【详解】，当且仅当P在线段CO上时等号成立. 故选：B. 8. 已知实数a，b，c构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由实数a，b，c构成公差为d的等差数列，且，得到，然后构造函数，分析其单调性最值，得到在其值域内，解不等式即可. 【详解】因为实数a，b，c构成公差为d的等差数列，且，， 所以，，所以， 即，解得， 设，， 则，令，解得， 所以时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以时，有最小值为， 所以，解得：或， 故选：A. 二、多选题 9. 已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ） A. B. C. D. 在的方向上的投影向量为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可． 【详解】，，故A正确； ，所以，故B正确； ，所以， 又因为，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D错误； 故选：AB． 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的图象关于对称 B. 当时，在上的最大值为 C. 当为的一个零点时，的最小值为1 D. 当在上单调递减时，的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可． 【详解】时，，因为， 所以关于对称，故A正确； 时，由可得， 根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误； 若，则，，所以，，且， 所以的最小值为1，故C正确； 因为在上单调递减，且， 根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为： ，，，， 所以，，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数的定义域为R，，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D． 【详解】令，，则，将代入得，即，故A错误； 由，令可得，若存在x使得， 则上式变为，显然不成立，所以， 又， 因为，所以， 将整理为， 因为，即，所以，故B正确； 令， 则， 且，所以为奇函数，故C正确； 当时，，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 由可知， 因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n项和进行分析，由此即可顺利得解． 三、填空题 12. 已知一组数据5，6，7，7，8，9，则该组数据的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出这一组数据5，6，7，7，8，9的平均数，由此再求出该组数据的方差． 【详解】一组数据5，6，7，7，8，9的平均数为：， ∴该组数据的方差为： ． 故答案为：． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角余弦公式的应用.根据，，解得，结合二倍角余弦公式进行解答即可． 【详解】因为可得，因为， 可得，解得或（舍去） 所以． 故答案为:． 14. 三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长CM交AB于点I，设，由余弦定理得，根据角平分线定理以及平行线性质可知，运用换元法和二次函数性质可得线段MN长度的最小值． 【详解】延长CM交AB于点I，因为平面ABD， 由线面平行性质定理可知，设， 因为三棱锥的所有棱长均为2， 所以，且E为线段BC的中点， 所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知， 所以， 因为F为线段AD的中点，所以， 由余弦定理可知， 所以， 令，，化简可得， 因为，所以， 则在时取得最小值， 所以， 综上当，即时MN取得最小值． 故答案为：． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，，D为BC的中点，求AD的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解； （2）根据余弦定理得的值，进而根据三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形的中线的向量表达形式，结合向量模长公式即可求解 【小问1详解】 ，即． 即,也即 由余弦定理可得，由，故 【小问2详解】 由，，由余弦定理可得： 解得：，所以 【小问3详解】 由余弦定理可得：，解得 又D为BC的中点，则 两边平方可得： 所以AD的长 16. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因，所以． 所以． 综上． 【小问2详解】 由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，所以，又因为，为中点，所以，由线面垂直的判定即可得证； （2）建立空间直角建系，不妨取，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可． 【小问1详解】 因为平面平面，且平面平面， ，平面ABCD，所以平面，平面，所以， 又因为，为中点，所以， 又，平面，所以平面； 【小问2详解】 设点在底面的射影为点，则平面， 又平面，所以，取中点， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，即在的中垂线上， 如图建立空间直角建系，不妨取， 则设为，，，， 所以，，， 由（1）可知，计算得，，所以， 又，， 设平面PBC的法向量为， 则，即，取， 所以． 18. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时， 当直线的斜率存在时，设方程为， 联立，消得， 恒成立，故， 则， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当，即时，取得最大值，此时， 综上所述，当最大时，求直线的方程为. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，利用导数分类讨论分析函数的单调性即可； （2）当时，不等式恒成立，构造函数，转化为在时恒成立，然后利用导数分析函数的单调性最值，求解实数a的取值范围即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 所以时，，所以在上单调递增； 时，，所以在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 即，在时恒成立， 令，只需要在时恒成立， ，， 设，则， 所以在上单调递减，所以， 当时，，在上单调递减，所以恒成立， 当时，，在上单调递减， 所以，使得时，，在上单调递增， 所以，不合题意， 综上所述：实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$