2024年中考数学复习-几何辅助线六大技巧

初中数学-几何辅助线六大技巧 1.垂线相关的辅助线 典型例题解析 【典型题 1】 如图所示, 中, ,AC 的垂直平分线EF交AC 于点E,交BC于点 F.求证: 【思路分析】思路一(正向推导法):从题目条件分析,EF是AC 的垂直平分线,因此连接AF,可得. 即将要证明. 转化为证明. ,再由已知角度容易得出 可得. 思路二(逆向分析法):从结论出发分析,要证明. 自然想到应用“直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半”这条性质,再从题目条件“AB=AC,∠BAC=120 ”求出∠B = ∠C = 30 ,从而连接 AF 构造Rt BAF,又根据中垂线定理可得AF=CF,问题得证. 【答案解析】解:连接AF, ∵AB=AC ,∴∠B=∠C ; 又∵∠BAC=120 ,∴∠B+∠C=60 ∴∠B=∠C=30 , ∵EF垂直平分AC ∴FA=FC, ∴∠FAC=∠C=30 , 又∵∠BAC=120 , ∴∠BAF=120 -30 =90 , ∵∠B=30 ∴BF=2AF, ∵FA=FC∴BF=2CF. 【规律总结】辅助线作法:方法①:垂直平分连两端.方法②:构造特殊三角形. 【典型题2】 如图,在 ABC中,∠B=45 ,AB=6 ,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE,在直线DE 和直线BC 上分别取点F、G,连接BF、DG.若BF=3DG,且直线BF与直线DG互相垂直,则 BG的长为 . 【思路分析】本题比较难,需从题目条件入手分析,正向推导,作垂线构造直角三角形.注意需分点 F 在点D 的两侧分类讨论. 注:本题同学们也可尝试其他方法,比如过点F作BF的垂线(或者DG的平行线,道理相同,目的是构造直角三角形). 【答案解析】解:如图,当点 F在点D的右侧时,过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T,过点 B 作 BH⊥DT 于 H. ∵DG⊥BF,BT⊥BF,∴DG//BT, ∵AD=DB,AE=EC,∴DE//BC, ∴四边形DGBT是平行四边形, ∴BG=DT,DG=BT, ∠BDH=∠ABC=45 , ∵∠TBF=∠BHF=90 , ∴∠TBH+∠FBH=90 , ∵∠FBH+∠F=90 , ∴∠TBH=∠F, ∴TH=1,∴DT=TH+DH=1+3=4, ∴BG=DT=4. 当点 F 在点 D 的左侧时,如下图,同法可得 MD = BG = 3 - 1 =2(同学们自行写出过程). 巩固练习 【巩固练习1】 如图,在平面直角坐标系中,有一只用七巧板拼成的“猫”,三角形①的边 BC 及四边形②的边CD都在x轴上,“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是1,则“猫”爪尖F的坐标是 . 【巩固练习2】 已知 ABC 与 ABD 在同一平面内,点C,D不重合,∠ABC=∠ABD=30 ,AB=4,AC ,则CD长为 . 【巩固练习3】 如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是AD边上的一点,AM:MD =1:2.将 BMA 沿 BM对折至 BMN,连接DN,则DN的长是( ) A. C.3 【巩固练习4】 如图,在四边形ABCD 中, ,过点D 作 于E,若 (1)求证: (2)连接AC 交 DE 于点 F,若 30 ,AD=6,求DF的长. 【巩固练习5】 在 ABC 中,∠ACB =90 ,分别过点 B,C作∠BAC平分线的垂线,垂足分别为点D,E,BC的中点是M,连接CD,MD,ME.则下列结论错误的是 ( ) A. CD=2ME B. ME//AB C. BD=CD D. ME=MD 【巩固练习6】 如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB 边长为 2 的正方形 DEFG 的对角线交点与点 C 重合,连接AD,BE. (1)求证: (2)当点 D 在 内部,且 时,设AC 与 DG 相交于点 M,求AM 的长; (3)将正方形 DEFG 绕点 C旋转一周,当点A、D、E 三点在同一直线上时,请直接写出AD 的长. 【巩固练习7】 [问题提出]如图(1),在 ABC 和 DEC中,∠ACB =∠DCE =90 ,BC =AC,EC=DC,点 E 在 ABC 内部,直线AD 与BE 交于点 F,线段AF,BF,CF 之间存在怎样的数量关系? [问题探究](1)先将问题特殊化.如图(2),当点D,F 重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF 之间的数量关系; (2)再探究一般情形 如图①,当点 D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立. [问题拓展]如图③,在 ABC 和 DEC中,∠ACB=∠DCE=90 ,BC=kAC,EC=kDC(k 是常数),点 E 在 ABC 内部,直线 AD 与BE 交于点 F,直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF 之间的数量关系. 2.角平分线的辅助线 例题 【典型题 1】 如图,在 Rt ABC 中,∠ACB=90 ,∠A=30 ,BD平分∠ABC,若CD=3cm,求AD 的长度. 【思路分析】本题采用正向推导法.根据已知“BD 平分∠ABC ”过点 D 作 DE⊥AB 于E,根据角平分线的性质可以得出 DE =CD =3cm,在 Rt AED 有∠A=30 ,所以AD=2DE=6cm. 【规律总结】辅助线作法:角平分线向两边作垂线. 如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P 作PA⊥OM 于点 A,PB⊥ON于点 B,则PB=PA. 【典型题2】 如图,在四边形 ABCD中,BC>AB,AD =DC,BD平分∠ABC ,求证: 【思路分析】本题采用综合法.要使得 ,我们可想办法将两个角放到一个平角中去分析,于是根据已知“AD=DC,BD 平分∠ABC”作DE⊥BC 于E,作DF⊥BA的延长线于F,构造出全等三角形,将∠BCD转化为∠FAD. 【答案解析】解:如图,作 DE⊥BC 于 E, 作DF⊥BA,交 BA的延长线于 F, ∴∠F=∠DEC=90 , ∵BD平分∠ABC,∴DF=DE, 又∵AD=DC,∴ DFA≌DEC, ∴∠FAD=∠C, ∵ ∠FAD+∠BAD=180 , ∴∠BAD+∠BCD=180 . 【规律总结】辅助线作法:角平分线向两边作垂线.角平分线上的点到角两边的距离相等,构造特殊三角形,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口. 【典型题3】 如图, ABC 的外角∠ACD的角平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 相交于点 P,若∠BPC =40 ,则∠CAP= . 【思路分析】本题采用正向推导法.根据上题的规律总结,我们做角平分线的垂线为辅助线(本题关键),再结合三角形外角定理分析题目. 注:出现三角形内外角时一定要有用三角形外角定理的意识. 【答案解析】解:如图所示,作PN⊥BD 于N,作PE⊥BA,交 BA 延长线于 E,作 PM⊥AC于 M. ∵ BP、CP 分别是∠CBA 和∠DCA 的角平分线, ∴∠ABP=∠CBP,∠DCP=∠ACP, PE=PN=PM, ∵∠BAC=∠ACD-∠ABC, ∠BPC=∠PCD-∠PBC(三角形外角定理) ∴ ∠BAC = 2 ∠PCD − 2 ∠PBC =2(∠PCD-∠PBC)=2∠BPC=80 ∴∠CAE=180 -∠BAC=100 , ∵PE=PM, ∴AP 是∠EAC的角平分线, ∴∠CAP=∠PAE=50 . 【典型题4】 如图,在 Rt ABC中,∠ACB= 90 ,CD ⊥AB,垂足为 D,AF 平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为( ) A. B. C. D. 【思路分析】这道题从题目条件直接推导.根据题目条件“CD⊥AB,AF平分∠CAB”,因此辅助线为过点 F 作 FG⊥AB 于点 G,可得FC=FG. 注:这道题也可用后面破解压轴题的基本思路方法:“作垂线、正相似、成比例”.这里先提出,后面的章节会进行详细的讲解. 【答案解析】解:过点 F 作 FG⊥AB 于点 G. ∵∠ACB=90 ,CD⊥AB, ∴∠CDA=90 , ∴∠CAF+∠CFA=90 , ∠FAD+∠AED=90 , 鸡∵AF 平分∠CAB,∴∠CAF =∠FAD, ∴∠CFA=∠AED=∠CEF, ∴CE=CF, ∵ AF平分∠CAB, ∠ACF=∠AGF=90 , ∴FC=FG, ∵ ∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90 , ∴ BFG∽ BAC,∴HFB=FC, ∵AC=3,AB=5,∠ACB=90 , ∴BC=4, 解得: ,即 CE的长为 .选A. 【典型题5】 如图在 ABC 中,BE是角平分线. AD⊥BE.垂足为D.求证:∠2 =∠1+∠C. 【思路分析】本题从结论入手逆向分析,要证明∠2=∠1+∠C,需将它们放到能发生关联的三角形中(本题型如外角定理的形式),因此需作辅助线,将∠1 和∠C放到同一个三角形中,再通过等量代换证明∠2等于它们之和即可. 【答案解析】解:如图,延长 AD 交 BC 于F,∵AD⊥BE,且∠ABD=∠FBD, ∴ ABF 是等腰三角形∴ ∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C. 【规律总结】辅助线作法:已知条件中出现如本题BE 为角平分线,且 BE ⊥AD 时,辅助线的作法一般为延长AD 交 BC 于点 F 即可.即构造出 ABF 是等腰三角形、BD 是三线等. 如图,P是∠MON的平分线上一点,AP ⊥OP于P 点,延长AP 交ON于点 B,则构造出等腰三角形 AOB. 【典型题6】 如图,已知等腰直角三角形 ABC 中,∠A =90 , AB =AC, BD 平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为E.求证:BD=2CE. 【思路分析】从题目结论入手分析,BD要等于2CE,需将它们放到能发生关联的三角形中,因此需做辅助线,根据上题规律总结,题目条件中有“BD 平分∠ABC,CE⊥BD”,因此可构造等腰三角形,再通过等代转化证明结论. 【答案解析】解:如图,延长CE、BA 交于点 F. ∵CE⊥BD于E,∠BAC=90 , ∴∠BAD=∠CED.∴∠ABD=∠ACF. 又∵AB=AC,∠BAD =∠CAF=90 , ∴ ABD≌ ACF.∴ BD=CF. ∵ BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE. 又∵BE=BE,∠BEC=∠BEF=90 , ∴ BCE≌ BFE. ∴CE=EF. ∴BD=CF=2CE. 巩固练习 【巩固练习1】 如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD 过点 P 且与AB 垂直.若AD=8,求点 P到 BC的距离. 【巩固练习2】 如图, ∠ABN = ∠CBN,P 为 BN 上的一点,并且 PD⊥BC 于点 D,AB +BC =2BD,求证:∠BAP+∠BCP=180 . 【巩固练习3】 如图,在 ABC 中,CD 是 的平分线,AD⊥CD于点D,DE//BC交AB于点E,求证:EA=EB. 【巩固练习4】 如图,点 D 是 ABC 内一点, CD 平分∠ACB,BD⊥CD,∠A =∠ABD,若 BD =1,BC=3,求AC 的长. 【巩固练习5】 已知:如图,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求证:DC⊥AC. 【巩固练习6】 如图,AB//CD,AE、DE 分别平分∠BAD和∠ADC.探究:在线段AD 上是否存在点M,使得AD=2EM. 【巩固练习7】 食 已知 ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点,∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D.若 ABC 的一条边长为6,则点 D 到直线AB 的距离为 . 3.截长补短 典例精析 【典型题1】 如图,已知在 ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2. 求证:AB=AC+CD. 【思路分析】从结论入手分析,显然没有直接关系能证明AB=AC+CD,必须进行“等量转化”.需要将AB、AC和CD 中的1到2条线段转化成其他线段.因此需要做辅助线来实现. 我们可通过添加辅助线,在AB 上“构造”一条线段AE使其为求证中的一条线段AC,再证BE和CD相等;或者通过添加辅助线,延长短线段AC,再证明延长后的线段和 AB 相等。其本质还是通过构造全等三角形来实现. 【答案解析】 证法一,截长法. 如图①,在AB 上取一点E,使AE=AC,连接DE. ∵AE=AC,∠1 =∠2,AD=AD, ∴ ACD≌ AED ,∴CD=DE,∠C=∠3. ∵∠C=2∠B,∴∠3=2∠B=∠4+∠B ∴∠4=∠B ,∴DE=BE ,∴CD=BE. ∵AB=AE+BE,∴AB=AC+CD. 证法二,补短法. 如图②,延长AC到点E,使CE=CD,连接DE. ∵CE=CD,∴∠4=∠E. ∵∠3=∠4+∠E,∴∠3 =2∠E. ∵∠3=2∠B,∴∠E=∠B. ∵∠1=∠2,AD=AD, ∴ EAD≌ BAD,∴AE=AB. 又∵AE=AC+CE, ∴AB=AC+CD. 【规律总结】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长,指在长线段中截取一段等于已知的线段;补短,指将一条短线段延长,延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程. 截长补短 如图①,若证明线段AB、CD、EF 之间存在 EF=AB+CD,可以考虑截长补短法. 截长法:如图②,在 EF 上截 取 EG =AB,再证明GF=CD 即可. 补短法:如图③,延长 AB 至H 点,使BH=CD,再证明AH=EF即可. 【典型题2】 已知在 ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线,AC=16,AD=8,求线段BC的长. 【思路分析】正向推导,从题目条件进行分析,根据已知“CD 是∠ACB 的平分线”,在BC 边上截取CE=AC,构造全等三角形,将BC等代转化为CE+EB,为后续计算提供便利条件. 【答案解析】 解:如图在 BC 边上截取 CE = AC,连接DE, 易证 ACD ≌ ECD ( SAS) ( 证明过程略.) ∴AD=DE , ∠A=∠1 ,∵∠A=2∠B, ∴∠1=2∠B,可得∴∠B=∠EDB, ∴EB=ED ,∴EB=DA=8, BC=EC+BE=AC+DA=16 +8=24. 【规律总结】当已知条件中出现如本题图CD 为∠ACB 的平分线、AD 不具备特殊位置时,辅助线的作法一般为在BC边上截取CE=AC,连接 DE 即可构造全等三角形,利用全等条件解决问题. 【典型题3】 如图,Rt ACB 中,AC=BC,AD平分∠BAC交 BC于点 D,CE⊥AD交AD于点F,交AB于点E.求证:AD=2DF+CE. 【思路分析】从结论分析,显然没有直接关系证明AD =2DF +CE,必须进行“等量转化”.必须将AD、DF 和CE中的l到2 条线段转化成其他线段.因此需要做辅助线来实现.根据上题思路,我们用截长法解此题. 在AD上取一点G,使AG=CE,连接CG ,要证明结论,必然有 DF =GF,要证明 DF =GF,必定有∠4=∠2,根据题目条件分析证明即可. 【答案解析】解:在AD 上取一点 G,使AG=CE,连接CG. ∵ CE⊥AD,∴∠AFC=90 ,∠1 +∠ACF=90 . ∵∠2 +∠ACF=90 ,∴∠1 =∠2 . ∵AC=BC,AG=CE, ∴ ACG≌ CBE,∴∠3=∠B=45 , ∴∠2+∠4=90 -∠3=45 . ∴∠4=45 -∠2=22.5 , ∴∠4=∠2=22.5 . 又∵CF=CF,DG⊥CF, ∴ CDF≌ CGF,∴DF=GF . ∵AD=AG+DG,∴AD=CE+2DF. 【规律总结】截长补短法其实也属于角平分线相关辅助线的一种,同学们做题时应该注重思路分析,采用哪种方法都是殊途同归。同时这两种方法本质上都是构造全等三角形或者特殊三角形,需要深刻理解. 【典型题4】 (1)如图①所示,在 ABC中,AD 是 BAC 的外角平分线,P 是AD 上异于点 A 的任意一点,试比较 PB +PC与AB+AC 的大小,并说明理由. (2)如图②所示,AD 是 ABC的内角平分线,其他条件不变,试比较 PC-PB 与AC-AB的大小,并说明理由. 【思路分析】本题从结论入手分析,证明线段和差的不等式,文章开头我们就总结到:“在证明线段和(或差)的不等式时,总是把各有关线段“等量转化”在一个或几个三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决”因此需要作辅助线进行线段的等量转化.辅助线作法如上题:截取线段,构造全等三角形. 【答案解析】解: (1)PB+PC>AB+AC 证明:在 BA 的延长线上取点 E, 使 AE =AC,连接PE. ∵ AD 平分∠CAM ∴∠CAD=∠EAD, 在 AEP与 ACP中, ∵AE=AC,∠CAD=∠EAD, AP=AP,∴ AEP≌ ACP (SAS), ∴PE=PC ∵在 PBE中:PB+PE>BE, BE=AB+AE=AB+AC, ∴PB +PC>AB+AC (2)AC-AB>PC-PB 证明:在 ABC中, 在AC 上取一点E,使AE=AB ,连接PE,∴AC-AE=AC-AB=EC, ∵ AD 平分∠BAC ,∴∠EAP=∠BAP, ∵AE=AB,AP=AD, ∴ AEP≌ ABP (SAS) ,∴PE=PB , ∵在 CPE中 CE>CP-PE ,∴AC-AB>PC-PB. 【规律总结】①在证明线段和(或差)的不等式时,总是把各有关线段“等量转化”在一个或几个三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决;②辅助线作法:截取线段,构造全等三角形. 如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则 OPB≌ OPA. 【典型题 5】 如图,在 ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E.过点 E 作MN∥BC交AB于M点,交AC于N点,若BM+CN=9,则线段MN的长为 . 【思路分析】根据题目已知条件推导即可.注意可将求 MN 转化为求 ME + EN 的长度. 【答案解析】解:∵ ∠ABC、∠ACB的平分线相交于点 E, ∴MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB. ∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE =∠MEB,∠NEC =∠ECN. ∴BM=ME,EN=CN. ∴MN=ME+EN,即MN=BM +CN. ∵ BM+CN=9,∴MN=9. 【典型题6】如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD. BE平分∠ABC.求证:AD=AB-BC. 【思路分析】从结论分析,显然没有直接关系证明 AD =AB -BC,必须进行“等量转化”,将AD、AB和BC中的1到2条线段转化成其他线段,因此需要作辅助线来实现.碰见角平分线,我们还可以在角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形. 【答案解析】证明:延长AD、BE 交于点 F. ∵AD∥BC,∴∠2=∠F.∵∠1=∠2, ∴∠1=∠F.∴AB=AF. ∵AE平分∠BAD ∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB,∴ DEF≌ CEB. ∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC. 【规律总结】有角平分线时,常过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形,为证明结论提供更多的条件.体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系. 巩固练习 巩固练习1】 如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE = CD,∠B + ∠E = 180 ,求证:AD 平分∠CDE. 【巩固练习2】)人 已知四边形ABCD 中,∠ABC +∠ADC =180 ,AB=BC,如图,点 P,Q 分别在线段AD,DC上,满足 PQ =AP +CQ,求证:∠PBQ =90 【巩固练习3】四边形ABCD 中,BD>AB,AD =DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC. (1) 证明:∠BAD+∠BCD=180 (2) DE =3,BE =6,求四边形 ABCD 的面积. 【巩固练习4】 如图,在 ABC中,∠A =60 ,BD,CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD、CE 交于点 O,试判断BE、CD、BC 的数量关系,并加以证明. 【巩固练习5】 如图, ABC中,BD⊥AC于点 D,CE⊥AB于点 E,且 BD、CE 交于点 F,点 G 是线段 CD上一点,连接AF,GF,若AF=GF,BD=CD.求∠CAF 的度数,判断线段 FG 与 BC 的位置关系,并说明理由. 【巩固练习6】 如图,BE 是 ABC 的中线,点 F 在 BE上,延长AF交BC 于点D.若 BF=3FE,则 = . 【巩固练习7〗 如图,在边长为4的正方形 ABCD 中,点 E是BC的中点,点 F 在CD 上,且CF=3DF,AE、BF 相交于点 G,则 AGF的面积为 . 【巩固练习8】 在 ABC中, ∠BAC 为锐角,AB>AC,AD平分∠BAC 交 BC 于点 D. (1)如图①,若 ABC 是等腰直角三角形,判断线段AC,CD,AB 之间的数量关系并说明理由; (2)BC 的垂直平分线交 AD 的延长线于点E,交BC 于点 F,连接CE、BE. ①如图②,若∠ABE=60 ,判断AC,CE,AB 之间有怎样的数量关系并加以证明; ②如图③,若 求 的度数. 【巩固练习9】 [证明体验] (1)如图①,AD 为 ABC 的角平分线,∠ADC=60 ,点E 在AB 上,AE=AC.求证:DE平分∠ADB. [思考探究] (2)如图②,在(1)的条件下,F为AB 上一点,连接FC交AD 于点G.若. 2,CD=3,求 BD 的长. [拓展延伸] (3)如图③,在四边形 ABCD 中,对角线AC 平分. , 点 E 在 AC上, 若 2AE,求AC 的长. 4.中线相关的辅助线 典例精析 【典型题1】 如图,CB 是 AEC 的中线,CD是 ABC的中线,且AB=AC. 求证:①CE=2CD;②CB平分∠DCE. 【思路分析】从结论分析①,显然没有直接关系证明CE=2CD,必须进行“等量转化”可构造出一条明显等于2CD的线段,因此需要做辅助线来实现.我们可通过添加辅助线,构造全等三角形来实现“等量转化”. 【答案解析】证明:如图,延长CD 到 F,使DF=CD,连接BF可得CF=2CD. ∵ CD是 ABC的中线∴BD=AD 在 BDF 和 ADC 中, ∴ BDF≌ ADC(SAS)∴BF=AC,∠1=∠F, ∵CB 是 AEC的中线,∴BE=AB, ∵AC=AB,∴BE=BF,∵∠1 =∠F, ∴BF∥AC,∴∠1+∠2+∠5+∠6=180 又∵AC=AB,∴∠1+∠2=∠5, 又∵ ∠4 +∠5 =180 ,∴ ∠4 =∠5 +∠6即∠CBE=∠CBF, 在 CBE和 CBF中, ∴ CBE≌ CBF(SAS), ∴CE=CF,∠2=∠3, ∴CE=2CD,CB平分∠DCE. 【规律总结】辅助线作法:倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形. 如图①,AD 是 ABC 的中线,延长AD 至点 E 使 DE = AD,易 证: ADC ≌ EDB(SAS). 如图②,D 是 BC 中点,延长 FD 至点 E 使DE=FD,易证: FDB≌ EDC(SAS). 当遇见中线或者中点时,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移. 【典型题2】 如图,在 ABC中,D是 BC的中点,E是AD 上一点,BE=AC,BE的延长线交AC 于点 F.求证:∠AEF=∠EAF. 【思路分析】从题目条件分析,D是BC的中点,可考虑延长中线构造全等三角形来推出结论. 【答案解析】证明:如图,延长AD到M,使DM=AD,连接 BM. ∵D 是 BC边的中点,∴BD =CD 在 ADC 和 MDB 中 ∴ ADC≌ MDB(SAS), ∴∠1 =∠M,AC=MB, ∵BE=AC,∴BE=MB, ∴∠M=∠3,∴∠1=∠3, ∵ ∠3 =∠2, ∴∠1=∠2,即∠AEF=∠EAF. 【规律总结】辅助线作法:倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形. 【典型题3】 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点 E 在 BC 上,点 F 是 CD 的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的长. 【思路分析】从已知条件入手分析.注意到F为中点,因此延长AF构造全等三角形. 【答案解析】解:如图,延长 AF交 BC的延长线于点 G. ∵AD∥BC,∴∠3=∠G, ∵点F 是CD的中点,∴DF=CF, 在 ADF和 GCF中, ∴ ADF≌ GCF(AAS),∴AD=CG, ∵ AD= 2.7 ,∴CG=2.7 , ∵AE=BE,∴∠1=∠B,∵AB⊥AF, ∴∠1+∠2=90 ,∠B+∠G=90 , ∴∠2=∠G,∴EG=AE=5, ∴CE=EG-CG=5-2.7=2.3. 【规律总结】辅助线是延长中点所在的线段,构造全等三角形,也可理解为倍长中线法的变形. 【典型题4】 如图,在正方形ABCD中,CD=BC,点 E 在CB 的延长线上,过点 E作 EF⊥BE,且 EF = BE.连接 BF、FD,取 FD的中点G,连接EG、CG. 求证:EG=CG且EG⊥CG. 【思路分析】从已知条件入手分析.注意到G为中点,因此延长EG构造全等三角形. 【答案解析】证明:如图,延长 EG 交CD的延长线于点 M. 由题意得∠FEB=90 ,∠DCB=90 , ∴∠DCB+∠FEB=180 ,∴EF∥CD, ∴∠FEG=∠DMG, ∵点G为FD的中点,∴FG=DG, 在 FGE和 DGM中 ∴ FGE≌ DGM(AAS), ∴EF=MD,EG=MG, ∵EF =BE,∴BE =MD,在正方形ABCD中,BC = CD,∴ BE + BC = MD + CD,即 EC=MC, ∴ECM是等腰直角三角形, ∵EG=MG,∴EG⊥CG,∠3 =∠4=45 ,∴∠2=∠3=45 ∴EG=CG. 【典型题5】 如图,在 ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M 为BC的中点,AB=10,求 DM的长度. 【思路分析】我们综合分析,先从题目结论入手,需要将 DM 放到三角形中求值,因此需要作辅助线,再从已知条件入手分析,注意到Rt ADB,M为中点,因此可以考虑取AB的中点 N,分别连接DN和MN,就有了直角三角形的斜边中线和中位线定理可以应用.详见本题的规律总结. 【答案解析】解:取AB 中点 N,连接DN,MN.在 Rt ADB中,N 是斜边AB 上的中点. 在 ABC中,M,N分别是 BC,AB 的中点,∴MN∥AC∴∠NMB=∠C, 又∵∠NDB是 NDM的外角, ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM. 即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM.又∵∠B=2∠C,∴∠DNM=∠C=∠NMD.∴DM=DN.∴DM=5. 【规律总结】辅助线作法: (1)已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线. 在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即 来证明线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角形: ACD 和 BCD,该模型经常会与中位线定理一起综合应用. (2)已知三角形一边的中点,可考虑中位线定理. 在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理: DE∥BC,且 来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,该模型可以解决角问题,线段之间的倍半、相等及平行问题. (3)另外关于中线的辅助线还有:已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”.我们到等腰三角形专题再进行分析. 等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等,为解题创造更多的条件,当看见等腰三角形的时候,就应想到:“边等、角等、三线合一”. 【总结升华】到此同学们应该再次总结:我们前面分析过的辅助线作法(垂直平分线、角平分线、截长补短等),最终都是在构造全等三角形或者特殊三角形,我们可称为:具备全等(或特殊)条件,构造全等(或特殊)三角形的辅助线作法. 利用三角形全等或“构造三角形全等”实现“等量代换”,实现等量代换的方法是多方面的,而利用三角形全等或构造全等三角形来实现等量代化是其中基本的也是非常重要的方法.而构造全等三角形是靠“具有部分全等条件”为基础再添加辅助线来完成的.那么有哪些是属于“具有部分全等条件”可引辅助线构造全等三角形的呢? (1)有角平分线(或作角平分线)时,利用角平分线作公共边,在角的两边上截取对应相等线段,构造全等三角形; (2)有以线段中点为端点的线段时,常倍长该线段并借助对顶角构造全等三角形(其中分“倍长中线法”与“倍长中点法”). 巩固练习 【巩固练习1】 已知 ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长 AB 到 D,使 BD = AB,求证:CD=2CE. 【巩固练习2】、 、 如图,在 ABC中,AD 交 BC 于点 D,点 E是BC的中点,EF∥AD 交CA 的延长线于点 F,交 EF 于点 G,若 BG = CF,求证:AD 为 ABC的角平分线. 【巩固练习3】 如图,AD 为 ABC 的中线,∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB、AC 于点 E、F,求证:BE+CF>EF. 【巩固练习4】 在 中,∠A =90 ,点 D 为 BC 的中点,点E,F 分别为AB,AC上的点,且. FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形?若能,请判断三角形的形状? 【巩固练习5】 如图,在 Rt ABC 中,∠ACB =90 ,AC =8,BC=6,点P是平面内一个动点,且AP=3,Q 为 BP 的中点,在 P 点运动过程中,设线段CQ 的长度为m,则m的取值范围是 . 【巩固练习6】 如图①,在 ABC 中,点D,E,F 分别在边AB,BC,AC 上, BE =CE,点 G 在线段CD 上,CG=CA,GF=DE,∠AFG=∠CDE. (1)填空:与∠CAG 相等的角是 . (2)用等式表示线段 AD 与 BD 的数量关系,并证明; (3) 如图②,若∠BAC = 90 ,∠ABC =2∠ACD,求 的值. 【巩固练习7】 在等腰 ABC中,AC=BC, ADE 是直角三角形, 连接BD,BE,点 F 是 BD 的中点,连接 CF. (1)当∠CAB=45 时. ①如图①,当顶点 D 在边AC上时,请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是 ;线段 BE 与线段 CF 的数量关系是 ; ②如图②,当顶点 D 在边AB上时,(1)中线段 BE 与线段 CF 的数量关系是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由; 学生经过讨论,探究出以下解决问题的思路,仅供大家参考: 思路一:作等腰 ABC底边上的高CM,并取 BE 的中点N,再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题; 思路二:取DE的中点G,连接AG,CG,并把 CAG 绕点 C 逆时针旋转90 ,再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题. (2)当∠CAB =30 时,如图③,当顶点 D在边AC上时,写出线段 BE 与线段 CF的数量关系,并说明理由. 5.等腰三角形的三线合一 例题 【典型题1】 如图, ABC 的周长为19,点 D,E 在边 BC上,∠ABC 的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为( ) A. B.2 C. D.3 【思路分析】这道题从题目条件直接推导.根据题目条件“∠ABC 的平分线垂直于AE,∠ACB的平分线垂直于AD”,根据等腰三角形三线合一性质,可得出 BAE 和 CAD 均是等腰三角形,根据题意求出 DE,根据三角形中位线定理计算即可. 【答案解析】解:∵ BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA =∠NBE,∠BNA=∠BNE, 在 BNA 和 BNE中, ∠ANB=∠ENB,BN=BN ∴ BNA≌ BNE,∴BA=BE, ∴ BAE是等腰三角形, 同理 CAD是等腰三角形, ∴点N是AE中点,点M是AD 中点(三线合一),∴ MN 是 ADE 的中位线,∵ BE + CD=AB+AC=19-BC=19 -7=12,∴DE =BE 【典型题2】 如图,四边形 ABCD中,AD∥BC,CM是∠BCD 的平分线,且CM⊥AB,M 为垂足, 若四边形ABCD的面积为 ,则四边形AMCD的面积是 . 【思路分析】这道题从题目条件直接推导.根据题目条件“CM是∠BCD 的平分线,且CM⊥AB”,因此辅助线为延长 BA、CD,交点为E,构造等腰三角形. 【答案解析】解:如图所示:延长BA、CD,交点为N. ∵ CM平分∠BCD,CM⊥AB,∴MB=MN. 又∵ ∵AD∥BC,∴ NAD∽ NBC. 【规律总结】辅助线作法 三线合一:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.等腰三角形三线合一的应用非常广泛,它包含了多层意义,可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等.等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分关系.在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时需要作底边上的高或中线,这要视具体情况而定. 巩固练习 【巩固练习1】 】 已知如图,三角形ABC中,∠A=90。,AB=AC,D 为BC 的中点,E,F分别是AB,AC 上的点,且 BE=AF,求证: DEF 为等腰直角三角形. 【巩固练习2】 如图, ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB. 【巩固练习3】 如图,已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC =90 ,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF 的延长线于点 D.求证:BF=2CD. 【巩固练习4】 如图,在 ABD中,BC⊥AD 于点 C,E 为BC 上一点,AE=BD,EC=CD,延长AE 交 BD于点 F.求证:AF⊥BD. 【巩固练习5】 如图,在 ABC中,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,点M、N分别是 BC、DE 的中点,连接DE,MN. (1)猜想MN 与 DE 的位置关系,并证明; (2)若∠A=60 ,求 的值. 【巩固练习6】 如图①,已知四边形ABCD 是矩形,点 E在 BA 的延长线上,AE=AD,EC,BD 相交于点G,与AD 相交于点F,AF=AB. (1)若AB=1,求AE 的长; (2)如图②,连接AG,求证:EG-DG = 6.圆中的辅助线 例题 【典型题1】 如图,AB是⊙O 的直径,弦PQ交AB于M,且PM=MO. 求证: 【思路分析】 思路一:本题从结论入手分析.要证明 即要证明弧对应的圆心角之比是 因此连接 OP、OQ,即要证明∠AOP = 必然有∠BOQ =3∠MOP,又因为∠MPO=∠MQO,所以必然有∠QMO = 2∠MOP,此结论很容易得到,分析完毕. 思路二:从题目条件入手,构造等腰三角形,用三角形外角定理进一步分析得出结论. 【答案解析】证明:如图,连接OP、OQ. ∵PM=OM,∴∠P=∠MOP. ∵OP=OQ,∴∠MPO=∠MQO. ∵∠QMO=2∠MOP, ∴∠BOQ=3∠MOP. 【规律总结】辅助线作法:在圆的相关题目中,不要忽略隐含的已知条件.我们通常可以连接半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理,解决角度的计算问题. 【典型题2】 如图,直径AB=2,AB、CD 交于点 E 且夹角为 45 . 则( = . 【思路分析】本题从结论入手分析.看到线段平方和,往往想到应用勾股定理,因而去构造直角三角形,利用勾股定理列式求解.注意运用设未知数列式的方法在几何求解题目中的应用,往往能够事半功倍. 【答案解析】解:如图,过点O 作 OF⊥CD于点 F,连接OD. 设OF=a,DF=b,则在Rt OFD中, . 又CF =DF =b. ∵∠BED=45 ,∴OF=EF =a.∴ CE + 【规律总结】辅助线作法:在圆中作弦心距或连接半径作为辅助线,利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形,再利用勾股定理进行计算. 【典型题3】 已知,AB 和CD 是⊙O的两条弦,且AB⊥CD于点H,连接BC、AD,作OE⊥AD 于点 E.求证: 【思路分析】本题从结论入手分析.要证明的OE和BC 明显不在一起,因此一定要做辅助线让它们发生关联,因此构造直角三角形,得出线段 再证明DF=BC即可. 【答案解析】证明:如图,连接AO 并延长交⊙O于点 F,连接 DF、BD. ∵OE⊥AD,∴AE=DE.∵OA=OF, ∴OE 是 ADF的中位线. ∵AB⊥CD,∴∠ABD+∠CDB=90 . ∵ AF是直径,∴∠ADF=90 . ∴∠DAF+∠F=90 . ∵∠ABD=∠F,∴∠CDB=∠DAF. 【规律总结】辅助线作法总结 如图①,已知AB是⊙O 的直径,点C是圆上一点,连接AC、BC,则∠ACB=90 . 如图②,已知AB 是⊙O 的一条弦,过点 O作OE⊥AB,则 (1)如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90 的圆周角的构造. (2)如图②,在解决求弦长、弦心距、半径问题时,在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线,利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形,再利用勾股定理进行计算. 【典型题4】 如图,直线AC与⊙O相交于 B、C两点,E是BC的中点,D是⊙O 上一点,若∠EDA =∠AMD.求证:AD 是⊙O 的切线. 【思路分析】本题我们综合分析,从结论看,需连接OD,只需要证明OD⊥AD即可,即要证明∠ODE +∠ADM =90 .再从题目条件分析,根据“E 是 的中点”,所以连接OE,则OE⊥BC,可得出90 ;又“∠EDA=∠AMD”,又易得∠E=∠ODE,再经过等量转化,即可证明结论. 【答案解析】证明:如图,连接 OE 交 BC于点 F,连接OD. ∵ E 是是 的中点,∴OE⊥BC. ∴∠E+∠EMF=90 . ∵ ∠EDA=∠AMD,∠AMD=∠EMF, ∴∠ADM+∠E=90 . ∵OE =OD,∴ ∠E=∠ODE. ∴∠ODE+∠ADM=90 ,即∠ODA=90 , ∴OD⊥AD.∴AD是⊙O 的切线. 【规律总结】辅助线作法 (1)已知切线:连接过切点的半径;如图,已知直线AB是⊙O 的切线,点 C 是切点,连接OC,则OC⊥AB. (2)证明切线:①当已知直线经过圆上的一点时,连半径,证垂直; 如图,已知过圆上一点C的直线AB,连接OC,证明OC⊥AB,则直线 AB是⊙O 的切线. ②如果不知直线与圆是否有交点时,作垂直,证明垂线段长度等于半径; 如图,过点 O 作 OC⊥AB,证明 OC 等于⊙O 的半径,则直线 AB 是⊙O 的切线. 【典型题5】 如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x与双曲线 交于A、B两点,P 是以点C(2,2)为圆心,半径为1 的圆上的一动点,连接 AP,Q 为 AP 的中点.若线段OQ 长度的最大值为2,则k的值为( ) C. -2 【思路分析】设点——根据距离公式列方程求解.(第三部分会重点讲解该思路方法) 确定 OQ 是 ABP 的中位线,OQ 的最大值为2,故BP的最大值为4,则BC=BP-PC=4-1=3,则根据距离公式列出BC长度的表达式即可求解. 【答案解析】解:点 O 是AB 的中点,则 OQ是 ABP的中位线,当B、C、P三点共线时,PB最大,则 最大,而OQ 的最大值为2,故BP 的最大值为4,则 BC=BP-PC=4-1=3,设点B(m,-m),则. 3 ,解得: 选 A. 巩固练习 【巩固练习1】 如图,OA、OB 是⊙O 的半径,点 C 在⊙O上,∠AOB = 30 ,∠OBC = 40 , 则 ∠OAC= . 【巩固练习2】 如图,在 Rt ABC中,∠ABC =90 ,∠A=32 ,点 B、C 在⊙O 上,边 AB、AC 分别交⊙O于D、E 两点, 点 B 是 的中点,则∠ABE= 【巩固练习3】 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y= 与⊙O 相交于A,B两点,且点A在x轴上,则弦AB 的长为 . 【巩固练习4】 如图,在 ABC中,AB=6,以点A为圆心,3 为半径的圆与边BC 相切于点 D,与AC,AB分别相交于点 E 和点 G,点 F 是优弧 上一点,∠CDE=18 ,则∠GFE 的度数为( ) A.50 B.48 C.45 D.36 【巩固练习5】 如图,在 Rt ABC 中,∠ACB =90 ,以该三角形的三条边为边向外作正方形,正方形的顶点E,F,G,H,M,N 都在同一个圆上.设该圆面积为S₁, ABC 面积为S₂,则S₁,的值为( ) B.3 C.5 【巩固练习6】 如图,⊙O 的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线,DE与⊙O相切于点E,并与AM,BN分别相交于 D,C两点,BD,OC 相交于点 F,若CD=10,则BF的长为( ) 学科网(北京)股份有限公司 $$