1.3 直线的方程（第三课时 直线方程的一般式）45分钟限时练-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第1章 直线与圆 （45分钟课堂练习） 1.3直线的方程 （第三课时 直线方程的一般式） 一、单选题 1．直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是(　　) A．1 B．－1 C．－ D. 2．经过点A(0，2)且倾斜角为45°的直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 3．直线2x＋4y－1＝0的斜率为(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 4．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　) A．恒过定点(－2，3) B．恒过定点(2，3) C．恒过定点(－3，2) D．都是平行直线 6．已知点A(－2，－1)，B(2，0)，直线ax＋y－2＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥或a≤－1 B．a≤－或a≥1 C．－≤a≤1 D．－1≤a≤ 二、多选题 7．已知直线l：x－my＋m－1＝0，则下述正确的是(　　) A．直线l的斜率可以等于0 B．直线l的斜率有可能不存在 C．直线l可能过点(2，1) D．若直线l的横纵截距相等，则m＝±1 8．在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx－a的图象可能正确的是(　　) 三、填空题 9．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是____________． 10．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是 ________． 11．已知直线l1：ax－2y＝2a－4、l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1、l2与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为________，此时实数a＝________． 四、解答题 12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与圆 （参考答案） 1.3直线的方程 （第三课时 直线方程的一般式） 一、单选题 1．直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是(　　) A．1 B．－1 C．－ D. 解析：因为当y＝0时，x＝－，所以直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是－.故选C. 答案：C 2．经过点A(0，2)且倾斜角为45°的直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 解析：所求直线的斜率为tan45°＝1，因此，所求直线的方程为y－2＝x，即x－y＋2＝0.故选B. 答案：B 3．直线2x＋4y－1＝0的斜率为(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 解析：2x＋4y－1＝0可转化为y＝－x＋，所以直线2x＋4y－1＝0的斜率k＝－.故选C. 答案：C 4．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 解析：设直线的倾斜角为α，直线方程可转化为y＝－x－1，所以tanα＝－，因为α∈[0，π)，所以α＝.故选B. 答案：B 5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　) A．恒过定点(－2，3) B．恒过定点(2，3) C．恒过定点(－3，2) D．都是平行直线 解析：依题意(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为(x＋2)a－x－y＋1＝0，令x＋2＝0得x＝－2，则y＝3，所以直线恒过定点(－2，3)．故选A. 答案：A 6．已知点A(－2，－1)，B(2，0)，直线ax＋y－2＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥或a≤－1 B．a≤－或a≥1 C．－≤a≤1 D．－1≤a≤ 解析：直线ax＋y－2＝0经过定点P(0，2)，直线的斜率为－a， 因为kPA＝＝，kPB＝＝－1，由图可知，－a≥或－a≤－1，解得a≤－或a≥1.故选B. 答案：B 二、多选题 7．已知直线l：x－my＋m－1＝0，则下述正确的是(　　) A．直线l的斜率可以等于0 B．直线l的斜率有可能不存在 C．直线l可能过点(2，1) D．若直线l的横纵截距相等，则m＝±1 解析：m＝0时，斜率不存在，m≠0时，斜率不等于0，A错；B正确；2－m＋m－1＝1≠0，(2，1)不在直线上，C错误；m＝0时，纵截距不存在，m≠0时，令x＝0得y＝，令y＝0，x＝1－m，由＝1－m得m＝±1，D正确．故选BD. 答案：BD 8．在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx－a的图象可能正确的是(　　) 解析：由A可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距－a<0，即a>0，A正确；由B可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距－a>0，即a<0，矛盾，B错误；由C可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距－a>0，即a<0，C正确；由D可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距－a>0，即a<0，矛盾，D错误．故选AC. 答案：AC 三、填空题 9．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是____________． 解析：设直线y＝x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α，由tanα＝＝，且0≤α<π，所以α＝，即所求直线的斜率为tan2α＝tan＝，又该直线经过点A(2，－)，故所求直线方程为：y＋＝(x－2)，即x－y－3＝0. 答案：x－y－3＝0 10．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是 ________． 解析：直线mx－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，因为m∈R，所以 解得 所以直线mx－y＋2m＋1＝0经过定点(－2，1)． 答案：(－2，1) 11．已知直线l1：ax－2y＝2a－4、l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1、l2与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为________，此时实数a＝________． 解析：直线l1方程可整理为：(x－2)a－(2y－4)＝0或y＝x－(a－2)，∴l1必过点(2，2)，且斜率k1＝，在y轴截距为2－a，∵0<a<2，∴k1>0，0<2－a<2；直线l2方程可整理为：(2x－4)＋(y－2)a2＝0或y＝－＋2＋，∴l2必过点(2，2)，且斜率k2＝－<0，在x轴截距为a2＋2>2，∴所求四边形面积S＝×2×(2－a)＋×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝(a－)2＋，∴当a＝时，Smin＝. 答案：　 四、解答题 12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0, 令x＋2＝0，则1－y＝0，解得x＝－2，y＝1, ∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1). (2)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k)． 依题意得： 解得k>0. ∵S＝·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝＝(4k＋＋4)≥×(2 ＋4)＝4. 当且仅当4k＝>0，即k＝时取等号， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$