精品解析：安徽省阜阳市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

2023级高一下学期第一次教学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量是两个单位向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由单位向量的定义、数量积的定义以及模的性质即可逐一判断并求解. 【详解】由单位向量的定义可知，，即，且，故A正确，B错误； 因为方向和夹角不确定，故CD错误. 故选：A. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】由， 得． 故选：D． 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断. 【详解】由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确； 由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确； 直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥， 是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误； 在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线， 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确. 故选：C 4. 在中，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求角B，然后由正弦定理可得. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得，解得. 故选：C 5. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出的直观图，再计算面积得解. 【详解】依题意，四边形是平行四边形，， 如图，是的直观图，， 所以四边形的直观图面积为. 故选：D 6. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与垂直，由求解. 【详解】解：， 与垂直， ， . 故选：A. 7. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用在上的投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量的坐标为． 故选：D． 8. 如图，在中，，D在边AB上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，在和中，分别利用正弦定理，结合，，得到，再由求解． 【详解】解：设，则，． 在中，由正弦定理，得； 在中，由正弦定理，得． 又因为，， 所以， 所以，即． 又因为． 所以，故． 所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 纯虚数 C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确； 对B：纯虚数要求实部为0，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误. 故选：AC. 10. 关于平面向量，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由向量数量积的定义和运算律，对选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A、B，根据向量的运算法则，及分配律，易知A、B正确； 对于C，当反向且都与垂直时满足题设，但，故C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误. 故选：CD. 11. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由时，，故为等腰三角形，可判断；由正弦定理边化角代入可证明，判断；由余弦定理得是钝角，可判断；由三角形的面积公式计算即可，判断. 【详解】对于，因为在中，， 所以当时，，故为等腰三角形，故正确； 对于，由正弦定理，得， 所以，故正确； 对于，由余弦定理得， 又因为是中的一个内角，所以， 所以是钝角三角形，故错误； 对于，，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由，， 可得， 故答案为： 13. 已知，其中是实数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件可解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：0 14. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解. 【详解】设角的平分线交于，因为，故，即， 又表示与同向单位向量，表示与同向的单位向量， 设，（如图所示），，因为， 故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上. 因为，故，故. 综上，为等腰直角三角形且，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）当m为何值时，z为纯虚数? （2）当时，求． 【答案】（1）或． （2）90. 【解析】 【分析】（1）先化简复数z，再利用复数的相关概念求解； （2）先求得复数z和其共轭复数，再利用复数的乘法求解. 【小问1详解】 解：由已知得， 若z为纯虚数，则解得或． 【小问2详解】 当时，，， 所以． 16. 如图，点是中BC边的中点，. （1）若点是的重心，试用表示; （2）若点是的重心，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线的性质和重心的性质求解； （2）根据三角形重心的性质结合题意求解即可》 【小问1详解】 因为点是中BC边的中点，点是的重心， 所以. 【小问2详解】 因为点是的重心且是BC边的中点，所以， 又，所以， 所以. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出，结合正、余弦定理计算即可求解； （2）由（1），结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由，可得． 又由及，可得． 由余弦定理得，得， 由，解得． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以面积． 18. 已知向量的夹角为. （1）求； （2）若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角余弦公式计算出，得到答案； （2）设与的夹角为，则，且与不同向共线，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以； 【小问2详解】 设与的夹角为， 则且，故，且与不同向共线， ，， 故， 且， 解得且， 故的取值范围是. 19. 如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点. （1）求的值； （2）求值； （3）直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值. 【答案】（1）16 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解， （2）根据模长公式即可求解， （3）根据三点共线共线即可求解. 【小问1详解】 设，， ， ，即． 【小问2详解】 ， ． 【小问3详解】 连接三点共线，， 为的中点， ． 设，则． 设． 在中，， ， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高一下学期第一次教学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量是两个单位向量，则（ ） A. B. C. D. 2 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 4. 在中，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，D在边AB上，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 是纯虚数 C. 的模是 D. 在复平面内对应点位于第四象限 10. 关于平面向量，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 11. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则______. 13. 已知，其中实数，则__________. 14. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）当m为何值时，z为纯虚数? （2）当时，求． 16. 如图，点是中BC边的中点，. （1）若点是的重心，试用表示; （2）若点是的重心，求. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 18. 已知向量的夹角为. （1）求； （2）若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围. 19. 如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上三等分点，点是线段上的一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$