精品解析：广东省湛江市港城中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

湛江市港城中学2021-2022学年度第二学期期末考试 初一年级数学 （考试时间：90分钟 满分：120分） 一、单选题（共10道小题，每题3分，共30分） 1. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，4，8 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，3+4<8，不能构成三角形， 选项B，5+6=11，不能构成三角形， 选项C，5+6>10,6-5<10,可以构成三角形， 选项D，4+4=8，不能构成三角形， 所以选C． 2. 下列选项中的计算，不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根与立方根的意义判断即可． 【详解】解：A. ，所以错误，本选项符合题意； B. ，本选项不符合题意； C. ，本选项不符合题意； D. ，本选项不符合题意. 故选A. 【点睛】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键． 3. 小明在一次射击训练中，共射击10发，成绩如下（单位：环）：8  7  7  8  9  8  7  7  10  8，则中靶8环的频率是（   ） A. 0.1                                        B. 0.2                                        C. 0.3                                        D. 0.4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：中靶8环的频数为4，所以中靶8环的频率为＝0.4． 故选D． 点睛：本题考查了频率的计算方法，应熟知频率＝． 4. 在下列各图形中，分别画出了中边上的高，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断． 【详解】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD， 所以画法正确的是B选项． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的高的概念，解决问题的关键是能够正确作三角形一边上的高． 5. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ） A. 14 B. 8 C. 16 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到AE=DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A=90°， ∴AE=DE， ∵△CDE的周长为12，CD=4， ∴DE+EC=8， ∴AC=AE+EC=8， 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6. 已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的值是（　　） A. 3 B. 5 C. -3 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】把代入原方程即可求出m,n的值，即可进行求解. 【详解】把代入得 解得m=1，n=-3， ∴2m﹣n=2+3=5 故选B. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是把方程的解代入即可. 7. 如果点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数． 【详解】解：∵点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点， ∴， 解得﹣1＜a＜3． 在数轴上表示为： 故选A． 【点睛】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标． 8. 以下命题：①不相交的两条直线叫平行线；②；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤的平方根是2； ⑥实数和数轴上的点是一一对应的．为真命题的有几个（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的概念和性质，算式平方根的求法，实数与数轴求解即可． 【详解】①平面内不相交的两条直线叫平行线，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意； ⑤的平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ⑥实数和数轴上的点是一一对应的，正确，是真命题，符合题意， 真命题有2个， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的概念和性质，算式平方根的求法，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ） A. ﹣4＜a＜﹣3 B. ﹣4≤a＜﹣3 C. a＜﹣3 D. ﹣4＜a＜ 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围是﹣4≤a＜﹣3． 【详解】解不等式x﹣a＞0，得：x＞a， 解不等式3﹣2x＞0，得：x＜1.5， ∵不等式组的整数解有5个， ∴﹣4≤a＜﹣3， 故选:B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围． 10. 如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．则下列结论：①；②；③；④设，；⑤．则其中正确的结论有（　　）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，理清图中各角之间的关系是解题的关键．利用平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，逐项进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，故④错误； 设，由④可知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ，故⑤正确； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：C． 二、填空题（共7道小题，每题4分，共28分） 11. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用点到x轴距离为纵坐标的绝对值，即可得出答案． 【详解】解：点P（-5，-2）到x轴的距离是：|-2|=2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 12. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是_____． 【答案】##12厘米 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．根据已知条件和三角形三边关系可知，等腰三角形的腰长不可能为，只能为，然后即可求得等腰三角形的周长． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为、， ∴等腰三角形的腰长为时，三角形的三边长为、、， ∵， ∴等腰三角形的腰长不可能为， 当等腰三角形的腰长为时，三角形的三边长为、、， ∴等腰三角形的周长为． 故答案为：． 13. 将一副直角三角尺按如图所示放置，，则__________． 【答案】105 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出∠DCE，再求出∠ACO，利用外角的性质可得∠BOC． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，找出∠ACO的度数是解题的关键． 14. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，BE=CF，要使△ABC≌△DEF，需添加的条件是________（添加一个即可）． 【答案】∠B=∠DEF或AC=DF 【解析】 【分析】根据题意，可知两个三角形的两条边相等，只需再加上夹角或者另一条边相等即可证明两个三角形全等． 【详解】， ，即， 又∵， 可添加，利用SAS来证明三角形全等， 也可添加，利用SSS来证明三角形全等， 故答案为： 或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS是解题的关键． 15. 若、满足方程组，则的值等于__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】直接将②-①，化简即可得出答案． 【详解】解： 将②-①，得 故答案：-1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根据式子特点灵活运用加减消元法和代入消元法是解题的关键． 16. 已知不等式组的解集是2＜x＜3，则关于x的方程ax+b=0的解为________． 【答案】 【解析】 【详解】解不等式组得 ，根据不等式组解集是2＜x＜3，可得2a-1=3，b+1=2，解得a=2，b=1，所以2x+1=0，解得x= . 17. 已知如图，，，，，，，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的面积计算，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．过点D作于G，过点E作，交的延长线于点F，先证明，从而得，然后利用，求得的值，最后利用三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：过点D作于G，过点E作，交的延长线于点F， 又∵， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 的面积为：， 故答案为：． 三、解答题（一）（共3道小题，每题6分，共18分） 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析． 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得：x≥-1， 由②得：x＜2， ∴不等式组的解集为-1≤x＜2；数轴如图所示： 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法及数轴上表示不等式组的解集是解题的关键． 19. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数和对角线条数． 【答案】10，35 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）×180°=360°×4．n-2=8，n=10． 对角线共有×10×（10-3）=35条， 答：这个多边形的边数是10，对角线条数为35． 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n边形一个顶点可以引n−3条对角线． 20. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等． （1）把和分别加上即可得到； （2）由，，，根据全等三角形的判定得到，利用全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在和中 ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3道小题，每题8分，共24分） 21. 某校体育组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查了部分同学体育测试成绩（由高到低分为A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如图的条形统计图和扇形统计图． 请根据以下不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）该体育组共抽查了多少名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比b是多少； （2）补全条形统计图； （3）若该校九年级共有940名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）共多少人？ 【答案】（1）80； （2）补全条形图见解析 （3）893人 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由等级A的人数除以所占的百分比求出调查的总学生；进一步求出B占的百分比； （2）求出C级的学生数，补全条形统计图即可； （3）求出A，B，C的百分比之和，乘以940即可得到结果． 【小问1详解】 解：根据题意得该体育组共抽查了学生人数为：（人）， B占的百分比； 【小问2详解】 解：C级的人数为（人），补全条形图，如图所示： 【小问3详解】 解：根据题意得：（人）， 答：估计该校九年级同学体育测试达标人数约为893人． 22. 伴随年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元． （1）该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？ （2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金． 【答案】（1）14个 （2）1950元 【解析】 【分析】设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个， （1）根据题意可得：，解出不等式取最大整数即可； （2）根据购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，得，解得范围，即可得到答案． 【小问1详解】 设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个， 根据题意得：， 解得， 为整数， 最大取， 答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具个； 【小问2详解】 购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍， 故， 解得， 由题意可知，购买冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个时， 所需资金为， 故当时，所用的资金最少为（元）， 答：此时所用的最少资金是1950元． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式． 23. 如图，在A、B两处之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东46°，A、B两地同时开工，若干天后公路准确接通． （1）B地修公路的走向是南偏西多少度？ （2）若公路AB长12千米，另一条公路BC长6千米，且BC的走向是北偏西44°，试求A到公路BC的距离？ 【答案】（1）南偏西46°；（2）12千米 【解析】 【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解． 【详解】解：（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知B地所修公路的走向是南偏西46°； （2）∵∠ABC=180°﹣∠ABG﹣∠EBC=180°﹣46°﹣44°=90°， ∴AB⊥BC， ∴A地到公路BC的距离是AB=12千米． 五、解答题（三）（本大题共2道小题，每题10分，共20分） 24. 为奖励期中考试成绩优秀的学生，某校准备购买一批笔记本和圆珠笔作为奖品，已知购买1个笔记本和2支圆珠笔需21元，购买2本笔记本和3支圆珠笔需39元． （1）求笔记本和圆珠笔的单价． （2）学校准备购买笔记本20个，圆珠笔若干，文具店给出两种优惠方案： 方案一：购买一个笔记本送1支圆珠笔． 方案二：购买圆珠笔10支以上时，其中有10支按原价付款，超出10支的部分按原价的八折优惠，笔记本不打折． 若学校购买圆珠笔100支，则选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】（1）笔记本每本为15元，圆珠笔每支为3元；（2）方案一更合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设笔记本每本元，圆珠笔每支为元，根据“购买1个笔记本和2支圆珠笔需21元，购买2本笔记本和3支圆珠笔需39元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总价=单价×数量结合两种优惠方案，分别求出选择方案一和方案二所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设笔记本每本元，圆珠笔每支为元． 由题意得，解得：， 答：笔记本每本为15元，圆珠笔每支为3元； （2）解：购买笔记本20本，圆珠笔100支时， 方案一总费用：（元）． 方案二总费用：（元）． ∵ ∴方案一更合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 25. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； （4）能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析 （3）210海里 （4） 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）连接，延长、相交于点C，根据题意得到，，，根据图2的结论计算； （4）作，使，连接，，先证明，再证明，再运用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 解：；理由如下： 如图1，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立，即．理由： 如图2，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接，延长、相交于点C， ∵，， ∴， ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． ∴此时两舰艇之间距离为210海里． 【小问4详解】 解：如图4，作，使，连接，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湛江市港城中学2021-2022学年度第二学期期末考试 初一年级数学 （考试时间：90分钟 满分：120分） 一、单选题（共10道小题，每题3分，共30分） 1. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，4，8 2. 下列选项中的计算，不正确的是( ) A. B. C. D. 3. 小明在一次射击训练中，共射击10发，成绩如下（单位：环）：8  7  7  8  9  8  7  7  10  8，则中靶8环的频率是（   ） A. 0.1                                        B. 0.2                                        C. 0.3                                        D. 0.4 4. 在下列各图形中，分别画出了中边上的高，其中正确的是（ ）． A B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ） A. 14 B. 8 C. 16 D. 6 6. 已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的值是（　　） A. 3 B. 5 C. -3 D. -5 7. 如果点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D 8. 以下命题：①不相交的两条直线叫平行线；②；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤的平方根是2； ⑥实数和数轴上的点是一一对应的．为真命题的有几个（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ） A. ﹣4＜a＜﹣3 B. ﹣4≤a＜﹣3 C. a＜﹣3 D. ﹣4＜a＜ 10. 如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．则下列结论：①；②；③；④设，；⑤．则其中正确的结论有（　　）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共7道小题，每题4分，共28分） 11. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 12. 等腰三角形两边长分别为和，则它的周长是_____． 13. 将一副直角三角尺按如图所示放置，，则__________． 14. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，BE=CF，要使△ABC≌△DEF，需添加的条件是________（添加一个即可）． 15. 若、满足方程组，则的值等于__________． 16. 已知不等式组的解集是2＜x＜3，则关于x的方程ax+b=0的解为________． 17. 已知如图，，，，，，，则的面积为_____． 三、解答题（一）（共3道小题，每题6分，共18分） 18. 解不等式组，并把解集数轴上表示出来． 19. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数和对角线条数． 20. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）求证：． 四、解答题（二）（本大题共3道小题，每题8分，共24分） 21. 某校体育组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查了部分同学体育测试成绩（由高到低分为A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如图的条形统计图和扇形统计图． 请根据以下不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）该体育组共抽查了多少名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比b是多少； （2）补全条形统计图； （3）若该校九年级共有940名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）共多少人？ 22. 伴随年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元． （1）该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？ （2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金． 23. 如图，在A、B两处之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东46°，A、B两地同时开工，若干天后公路准确接通． （1）B地修公路的走向是南偏西多少度？ （2）若公路AB长12千米，另一条公路BC长6千米，且BC的走向是北偏西44°，试求A到公路BC的距离？ 五、解答题（三）（本大题共2道小题，每题10分，共20分） 24. 为奖励期中考试成绩优秀的学生，某校准备购买一批笔记本和圆珠笔作为奖品，已知购买1个笔记本和2支圆珠笔需21元，购买2本笔记本和3支圆珠笔需39元． （1）求笔记本和圆珠笔的单价． （2）学校准备购买笔记本20个，圆珠笔若干，文具店给出两种优惠方案： 方案一：购买一个笔记本送1支圆珠笔． 方案二：购买圆珠笔10支以上时，其中有10支按原价付款，超出10支的部分按原价的八折优惠，笔记本不打折． 若学校购买圆珠笔100支，则选择哪种方案更合算？请说明理由． 25. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； （4）能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$