精品解析：江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高一下学期4月期中学情调研数学试题

2023～2024学年度第二学期期中学情调研 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签子笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题自要求的． 1. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）． A. 2 B. C. 1 D. 3. 在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（ ）． A. B. C. D. 4. 在中，若，则的形状是（ ） A 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 5. 已知，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图所示，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，当时，折痕l的长为（ ）． A. B. C. 8 D. 7. 设，，，则有（ ）． A. B. C. D. 8. 已知平面非零向量，满足，则的最小值为（ ）． A 12 B. 24 C. 18 D. 16 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ）． A ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若，则z为纯虚数 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. C. 若，，，则三角形有两解 D. 若，，则的外接圆半径为 11. 已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点（含边界），，其中，则下列选项中正确的是（ ）． A. 时，则的最小值为 B. 时，则的最大值为4 C. 时，则 D. 时，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，若为实数，则__________． 13. 已知平面向量，满足，，，则__________． 14. 在中，已知且，则面积的最大值是 __． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知三点，，． （1）若A，B，C三点共线，求x的值； （2）若，求与的夹角大小． 16. 已知，，其中，． （1）求的值； （2）的值． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）点M为线段BC的中点，且，，求的面积． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及区间上的最大值和最小值； （2）在中，若，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点，，，，求AD的长． 19. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期期中学情调研 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签子笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题自要求的． 1. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 故选：C 2. 已知，则（ ）． A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算法则求出复数，再求其模即得. 【详解】由可得，， 则. 故选：B. 3. 在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解． 【详解】由题意，画出图象如下： 可得． 故选：D． 4. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可得解． 【详解】解：由，结合正弦定理可得：， ，可得：， ，则的形状为等腰三角形． 故选：． 5. 已知，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系结合两角和差角公式计算即得. 【详解】因为, 所以， 所以. 故选：A. 6. 如图所示，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，当时，折痕l的长为（ ）． A. B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用对折前后边角的关系，分别将用表示出来，借助于图形建立方程，求解即得. 【详解】如图，设，因，则，且， ， 在中，， 于是，解得，于是. 故选：C. 7. 设，，，则有（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别应用二倍角公式及两角和差公式化简，即可判断大小. 【详解】因为， ， ， 因为，所以. 故选：C. 8. 已知平面非零向量，满足，则的最小值为（ ）． A. 12 B. 24 C. 18 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】将已知式左右分别平方，展开整理后，运用基本不等式将其化成能成立问题，即要求的最小值，通过换元，将其化成二次函数，求其在上的最小值即得. 【详解】设向量，的夹角为，则由两边取平方可得，， 即， 可整理为：（*）， 因，是非零向量，故，当且仅当时取等号， 不妨设，代入（*）化简得，， 显然，当时，不等式不成立，只需能成立即可， 令，因，故， 则，故，取， 依题意要求函数的最小值，因在递增，则， 故，即的最小值为24，此时，同方向且满足. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于通过已知式两边平方整理后，对的处理，合理方法为运用基本不等式，将方程化成只含有与的不等式，从而可以利用余弦函数的有界性求得的最小值. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ）． A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若，则z为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，只需设复数，计算即可验证；对于B，利用虚数单位的值的次幂的周期性即得；对于C，利用复数的几何意义即可判断求解；对于D，经计算后，利用复数性质得到不等式组，求解即得. 【详解】对于A，设，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由可知表示复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆， 而可理解为表示复数对应的点到点的距离， 故当且仅当时，距离最小为1，即的最小值为1，故C正确； 对于D，设，则，因，则必有，， 若，则，即；若，则，因，故舍去.若，显然不成立. 综上可得，且，即z为纯虚数，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. C. 若，，，则三角形有两解 D. 若，，则的外接圆半径为 【答案】AB 【解析】 【分析】由三角形的正弦定理和余弦定理，结合三角形的边角关系，对各个选项分析，可得结论． 【详解】由，可得，即为的外接圆的半径），即有，故A正确； 由正弦定理可得，故B正确； 若，，，则，而，即，则为锐角，三角形有且只有一解，故C错误； 若，，可得，内角，即有，即，故D错误． 故选：AB． 11. 已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点（含边界），，其中，则下列选项中正确的是（ ）． A. 时，则的最小值为 B. 时，则的最大值为4 C 时，则 D. 时，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，依次对每一选项进行判断． 【详解】解：如图，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 则依题意有，，，则，， 因为，所以． 对于A，因为，所以，， 当时，最小，最小值为，故A对； 对于B，因为，，，所以当时，有最大值，最大值为4，故B对； 对于C，因为，，所以，故C对； 对于D，因为，，不能求出其值，故D错． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，若为实数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出，根据它是实数，即可求得的值. 【详解】由是实数，可得，解得. 故答案为：. 13. 已知平面向量，满足，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两边同时平方后代值即可求得，再由求模公式计算即可． 【详解】因为，所以， 因为，所以两边同时平方得：， 即，解得， 所以． 故答案为：． 14. 在中，已知且，则面积的最大值是 __． 【答案】## 【解析】 【分析】设，可得的面积的表达式，再由余弦定理可得的表达式，进而可得三角形面积的最大值． 【详解】因为且， 设，则， 又因为， 所以． 当，即时取等号． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知三点，，． （1）若A，B，C三点共线，求x的值； （2）若，求与的夹角大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示式计算即得； （2）由条件求得的值，再利用向量夹角的坐标公式计算可得. 【小问1详解】 由，，可得，， 因A，B，C三点共线，故，即，解得，； 【小问2详解】 由可得，解得，， 则,,于是， 设与的夹角为，则， 因，故. 即与的夹角为. 16. 已知，，其中，． （1）求的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合同角基本关系先求出，然后结合两角差的正切公式求出，进而可求； （2）结合同角基本关系及二倍角公式先求，，然后结合两角差的余弦公式即可求解． 【小问1详解】 因为，，其中，， 所以，， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由，可知，，， 所以，， 则． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）点M为线段BC的中点，且，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解； （2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加并解出，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由题意得，再由正弦定理得 ， 所以， 即 ， 因为， 所以， 所以 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 即①， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为， 两式相加得②， 由①②得， 所以. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及区间上的最大值和最小值； （2）在中，若，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点，，，，求AD的长． 【答案】（1）函数最小正周期，在区间上的最大值为2，最小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解； （2）由已知先求出，结合锐角三角函数定义求出及，然后结合余弦定理即可求解． 【小问1详解】 因为， 故，当时，， 所以， 所以， 即函数在区间上的最大值为2，最小值为； 【小问2详解】 因为在中，，角为锐角， 所以，因为，所以， 因为点为线段延长线上一点，，， 所以， 中，，，， 由余弦定理得，， 故． 19. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； 【小问3详解】 由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：对于三角形周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$