精品解析：福建省泉州市南安市实验中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

2021−2022学年福建省泉州市南安市实验中学八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 点A（3,-5）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 某病毒的直径大约为0.000000125米，0.000000125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 点关于轴对称点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列描述一次函数的图象及性质错误的是（ ） A. 直线与x轴交点坐标是 B. y随x的增大而减小 C. 直线经过第一、二、四象限 D. 当时， 6. 甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（　　） A. 甲的速度是5； B. 乙的速度是10 C. 乙比甲晚出发1h D. 从A到B，甲比乙多用了1h 7. 甲、乙两人承包一项任务，合作5天能完成，若单独做，甲比乙少用4天，设甲单独做需天，则可列方程为（ ） A. B. C D. 8. 若点(﹣5，y1)，(﹣3，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y3＞y2 9. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将边长为1的正方形依次放在坐标系中，其中第一个正方形的两边OA1，OA3分别在y轴和x轴上，第二个正方形的一边A3A4与第一个正方形的边A2A3共线，一边A3A6在x轴上……以此类推，则点A2020的坐标为（　　） A. （672，﹣1） B. （673，﹣1） C. （336，1） D. （337，﹣1） 二、填空题（共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______________． 12. 把函数的图象向下平移4个单位长度后，所得函数的表达式为_____． 13. 若点在轴上，则点M的坐标是___________． 14. 如图，不解关于x，y的方程组，请直接写出它的解____． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 16. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差________． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知反比例函数的图象经过． （1）求这个函数的解析式； （2）若点在这个函数图象上，求m的值． 21 已知与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，直接写出x的取值范围． 22. 为了加强学生球类运动的训练，某学校计划购买篮球和排球共30个，已知每个篮球80元，每个排球60元，设购买排球x个，购买排球和篮球的总费用为y元 （1）求y与x的函数表达式； （2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的5倍，应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 23. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，各自到达终点后停止．设甲、乙两人间的距离为，行驶的时间为，结合图象解答下列问题： （1）两地相距 ； （2）求出图中a、b的值； （3）何时两人相距． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，． （1）求一次函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集； （3）过点B作轴，垂足为C，求的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴交于点，点为直线上第一象限内一点，过作轴于点，于点．点在线段上，，连接，为线段上一动点，过点作轴,分别交轴，，于点，， ． （1）若点坐标为． ①求直线BC函数关系式； ②若为中点，求点坐标． （2）在点运动过程中，的值是否变化？若不变，求出该值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021−2022学年福建省泉州市南安市实验中学八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 点A（3,-5）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限点的坐标特征进行判断即可得. 【详解】解：点A(3，-5)在四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)． 2. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式； 【详解】解：A，2还可约分； B，是最简分式，符合题意； C，x+1还可约去； D，公因式a还可约分； 故答案选：B 【点睛】本题考查最简分式的定义；掌握定义是解题的关键． 3. 某病毒的直径大约为0.000000125米，0.000000125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n第一个不为0的数前面0的个数，据此即可解答． 【详解】解：． 故选：D 4. 点关于轴对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得该点坐标为． 【详解】关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以点M的纵坐标变为，所以点关于轴对称的点的坐标为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点．解题的关键在于掌握关于x轴的对称的点的坐标的特点． 5. 下列描述一次函数的图象及性质错误的是（ ） A. 直线与x轴交点坐标是 B. y随x的增大而减小 C 直线经过第一、二、四象限 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、直线与x轴的交点是（2.5，0），故选项错误，符合题意； B、∵y＝﹣2x+5，所以该函数y随x的增大而减小，故选项正确，不符合题意； C、直线经过第一、二、四象限，故选项正确，不符合题意； D、当x＞0时，y＜5，故选项正确，不符合题意 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 6. 甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（　　） A. 甲的速度是5； B. 乙的速度是10 C. 乙比甲晚出发1h D. 从A到B，甲比乙多用了1h 【答案】D 【解析】 【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快． 【详解】解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h和10km/h，故A、B正确，D错误； 从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 7. 甲、乙两人承包一项任务，合作5天能完成，若单独做，甲比乙少用4天，设甲单独做需天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设甲单独做需x天，则乙单独做需(x+4)天，将这项任务看作“1”，由此即可列出关于x的方程，即可选择． 【详解】设甲单独做需x天，则乙单独做需(x+4)天， 根据题意即可列出方程， 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键． 8. 若点(﹣5，y1)，(﹣3，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y3＞y2 【答案】C 【解析】 【分析】先判断反比例函数的增减性，再根据增减性可得答案. 【详解】解： 点(﹣5，y1)，(﹣3，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上， 在每一象限内随的增大而减少，则 故选C 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“反比例函数的增减性”是解本题的关键. 9. 函数与在同一坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】a＞0时，-a＜0，y=-ax+a在一、二、三象限，在二、四象限，无选项符合． a＜0时，-a＞0，y=-ax+a在二、三、四象限，在一、三象限，只有A符合； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的取值确定函数所在的象限． 10. 如图，将边长为1的正方形依次放在坐标系中，其中第一个正方形的两边OA1，OA3分别在y轴和x轴上，第二个正方形的一边A3A4与第一个正方形的边A2A3共线，一边A3A6在x轴上……以此类推，则点A2020的坐标为（　　） A. （672，﹣1） B. （673，﹣1） C. （336，1） D. （337，﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】观察平面直角坐标系，先求出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：观察平面直角坐标系可知，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数， 因， 所以点的坐标为，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 二、填空题（共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 把函数的图象向下平移4个单位长度后，所得函数的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：把函数的图象向下平移4个单位长度后，所得函数的表达式为，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数图像的平移，关键是要掌握“左加右减，上加下减”的原则． 13. 若点在轴上，则点M的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标的特点即可求得． 【详解】解：∵点在轴上， ∴a-2=0， 解得a=2， 故a+3=2+3=5， 故点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了y轴上点的坐标的特点，熟练掌握和运用y轴上点的坐标特点是解决本题的关键． 14. 如图，不解关于x，y的方程组，请直接写出它的解____． 【答案】 【解析】 【分析】方程组的解是同时满足两个等式，在函数图象上看就是它们的交点坐标； 【详解】解：∵y＝x+1和y＝mx+n的交点是（1，2）， ∴方程组的解为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解与一次函数的关系，掌握两个一次函数的交点坐标就是它们所组成的方程组的解是解题关键． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差________． 【答案】3 【解析】 【分析】妙解1：已知反比例函数的解析式为y=，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可； 妙解2：利用反比例函数系数k的几何意义，围绕点B构造矩形求解即可； 妙解3：利用反比例函数系数k的几何意义，围绕点B构造直角三角形求解即可． 【详解】妙解1： 如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数y=的图象上，所以设点B(m，)． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)， 由AD=BD，得n−=m−n，化简整理得m2−2mn=−6． ∴SΔOAC−SΔBAD=n2−(m−n)2=−m2+mn=−(m2−2mn)， 即S△OAC−SΔBAD=3． 妙解2： 如图，作轴于点F，延长交于点H，交y轴于点G，延长交x轴于点E． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积为6． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴，， ∴． 妙解3： 如图，作轴于点F，延长交于点H，连接． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴的面积等于3． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴，，． ∵， ， 所以． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】-16 【解析】 【分析】分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，再合并即可得到答案. 【详解】解：原式= = 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，零次幂的含义，负整数指数幂的含义，掌握零次幂与负整数指数幂的运算是解题的关键. 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x=-14是原方程的解 （2）原方程无解 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：去分母得：3(x-2)=4(x+2)， 去括号得：3x-6=4x+8， 解得：x=-14， 经检验，x=-14是分式方程的解； 【小问2详解】 解：去分母得：1=y-1-3(y-2)， 去括号得：1=y-1-3y+6， 解得：y=2， 检验：把y=2代入得：y-2=0， ∴y=2是增根，分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【解析】 【分析】先把括号内的分式通分，再把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后把x的值代入即可． 【详解】解：原式= = 当时，原式=5 【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键在于先通过通分计算括号内的分式加减，再把各分子和分母因式分解，然后进行约分得到最简分式，最后把满足条件的字母的值代入计算得到原分式的值． 20. 已知反比例函数的图象经过． （1）求这个函数的解析式； （2）若点在这个函数图象上，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的性质，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的性质． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴将代入得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在这个函数图象上， ∴把代入得， 解得：． 21. 已知与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见详解，x的取值范围为任意实数 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由图象及自变量的取值范围； （1）由正比例函数的定义可设，代入求解，即可求解； （2）画出图象，根据图象即可求解； 理解正比例函数的定义，会根据图象求自变量的取值范围是解题的关键． 【小问1详解】 解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， y与x之间的函数表达式：； 【小问2详解】 解：函数图象，如图， 由图象得：x的取值范围为任意实数． 22. 为了加强学生球类运动的训练，某学校计划购买篮球和排球共30个，已知每个篮球80元，每个排球60元，设购买排球x个，购买排球和篮球的总费用为y元 （1）求y与x的函数表达式； （2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的5倍，应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）；（2）购买排球5个，篮球25个，最小值为2300． 【解析】 【分析】（1）由总费用等于购买篮球与购买排球的费用之和，可得答案； （2）先求解购买排球的数量的范围，利用（1）中的函数关系式，利用函数性质求解最小费用即可． 【详解】解：（1）根据题意得，购买的篮球数为（30-x）个， （2） 由（1）知：， ＜ 所以：随x的增大而减少 所以：当x=5时有最小值， 此时购买排球5个；篮球25个； 最小值为． 答：购买排球5个；篮球25个时的费用最小，最小费用为元． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，同时考查了一元一次不等式的应用，利用一次函数的性质求最小值，掌握以上知识是解题的关键． 23. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，各自到达终点后停止．设甲、乙两人间的距离为，行驶的时间为，结合图象解答下列问题： （1）两地相距 ； （2）求出图中a、b的值； （3）何时两人相距． 【答案】（1）120 （2）， （3）或两人相距 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象的应用，读函数图象时，首先要理解横纵坐标表示的含义，这是解题的关键． （1）根据函数图象直接得出结果； （2）根据图象先求出甲、乙的速度，然后根据图象中横纵坐标表示的意义，先求出b的值，再求出a的值即可； （3）设x小时后两人相距，根据图象分类讨论，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意结合图象可知两地相距； 【小问2详解】 解：根据图象可知：当时，两车相遇，当时，乙已经到达终点，当时，甲到达终点， ∴甲的速度为：， 乙的速度为：， ∴， 当乙到达终点时，甲距离乙的距离为： ； 【小问3详解】 解：设x小时后两人相距，根据题意， 得 解得：， 或， 解得， 或时，两人相距． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，． （1）求一次函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集； （3）过点B作轴，垂足为C，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法，利用函数解不等式，三角形面积； （1）将，代入反比例函数解析式求出解析式和的坐标，再代入一次函数解析式，即可求解； （2）观察图象，在上方的函数图象所对应函数值较大，据此得到对应的自变量取值范围是不等式的解集，即可求解； （3）由即可求解； 掌握待定系数法，会根据图象解不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， 在反比例函数的图象上， ， ， ，在一次函数图象上， ， 解得：， 一次函数的表达式； 【小问2详解】 解：由图象得 不等式的解集为： 或； 【小问3详解】 解：由题意得 ， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴交于点，点为直线上第一象限内一点，过作轴于点，于点．点在线段上，，连接，为线段上一动点，过点作轴,分别交轴，，于点，， ． （1）若点坐标为． ①求直线BC的函数关系式； ②若为中点，求点坐标． （2）在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）不变；，证明见解析 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． （1）①求出，，两点坐标，利用待定系数法解决问题即可； ②设，则，，，根据，构建方程求出即可求解； （2）结论：，如图，过点作轴于点．设，用，表示直线的解析式，设，则，，用，表示，的长，可得结论； 【小问1详解】 ①点在直线上， ， ， 直线的解析式为：， ， 轴 ， ， ，， ， 设直线解析式为： ②设，则，，， ， ， ， 【小问2详解】 结论：，如图，过点作轴于点．设， ， ，，， ， ， ， 直线的解析式为：， 设，则，， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$