2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

2.2　直线及其方程 2．2.2　直线的方程 第一课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 第二章　平面解析几何 [学习目标]　1.了解直线的方程、方程的直线的概念．　2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．　3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义． 知识点1　直线的方程 内容索引 知识点2　直线的点斜式方程 课时作业 巩固提升 知识点3　直线的斜截式方程 课堂达标·素养提升 * 知识点1　直线的方程 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称____________为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线．“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：____________． F(x，y)＝0 F(x，y)＝0 A 例1 将选项A，B，C，D分别代入方程x＋2y－1＝0，检验只有A满足题意． 1．已知点A(1，m)在二元一次方程x－y＋1＝0上，则实数m的值为 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 因为点A(1，m)在x－y＋1＝0上，故1－m＋1＝0，解得m＝2. A 跟踪训练 知识点2　直线的点斜式方程 我们把方程____________________称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它称为直线的______________． y－y0＝k(x－x0) 点斜式方程 根据条件写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点(2，5)，倾斜角为45°； [分析]　已知斜率和直线上一点，由点斜式方程可以写出直线的方程． [解]　(1)因为直线的倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1.又直线过点(2，5)，所以直线的方程为y－5＝x－2. 例2 (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得到的直线l； [分析]　已知斜率和直线上一点，由点斜式方程可以写出直线的方程． [解]　(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 又点P(3，4)在直线l上，由点斜式方程知， 直线l的方程为y－4＝－(x－3). (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行． [分析]　已知斜率和直线上一点，由点斜式方程可以写出直线的方程． [解]　(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1. 思维提升 1．只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程． 2．当倾斜角为0°，即k＝0时，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y＝y0. 3．当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l与y轴平行或重合，直线l的方程是x＝x0.　 2．已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)直线AB的方程； 解：(1)如图所示， 因为A(1，1)，B(5，1)，所以AB∥x轴， 所以AB边所在直线的方程为y＝1. 跟踪训练 (2)直线AC和BC的点斜式方程． 知识点3　直线的斜截式方程 1．一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为________；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为________．一条直线在y轴上的截距简称为________． 2．把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程． a b 截距 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； [解]　(1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线的方程为y＝2x＋5. 例3 (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 思维提升 直线的斜截式方程的注意点 1．由直线的斜截式方程的推导过程可以看出，点P0(x0，y0)若为直线l与y轴的交点，得到的点斜式方程都为斜截式方程，因此斜截式方程为点斜式方程的特殊情况． 2．求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．　 3．斜截式方程与一次函数的解析式相同，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数的解析式；但当k＝0时，y＝b不是一次函数的解析式．一次函数的解析式y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程． 3．已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能为(　　) C 跟踪训练 对于A，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾； 对于B，直线l1方程中的k>0，b<0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾； 对于C，直线l1方程中的k>0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，符合； 对于D，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k<0，b<0，矛盾． 〈课堂达标·素养提升〉 1．过点P(－2，0)，斜率是3的直线的方程是(　　) A．y＝3x－2　　　　　　　 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 代入点斜式方程得y－0＝3[x－(－2)]， 即y＝3(x＋2). D 2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　) A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3 A 4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为 ． 直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3. x＝3 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2．过点P(－2，1)且倾斜角为90°的直线方程为(　　) A．y＝1 B．x＝－2 C．y＝－2 D．x＝1 因为倾斜角为90°，所以直线垂直于x轴，则直线的方程为x＝－2. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3，则直线l的方程 为 ；直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 13 y＝3x－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的斜率相反且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的方程为 ． 由题意知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－2.由斜截式可得直线l的方程为y＝2x－2. y＝2x－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点A(2，5)，斜率是4； 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2). (2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°； 解：(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2. (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行． 解：(3)y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相 交，则k的取值范围是 ． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．△ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，则角A的平分线所在的直线方程为 ． y＝7x－17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 13．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为12，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－2，3)且斜率为正； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$