1.2.5 空间中的距离-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.5　空间中的距离 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距、点面距、线面距和面面距. 知识点1　空间中两点之间的距离 内容索引 知识点2　点到直线的距离 课时作业 巩固提升 知识点3　点到平面的距离 课堂达标·素养提升 知识点4　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 3 知识点1　空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的____________，可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解． 线段长 例1 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离． 思维提升 跟踪训练 1.如图所示，在120°的二面角α-AB-β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长． 知识点2　点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条____________，这条垂线段的________称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的________连线的长度． 垂线段 长 最短 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 思维提升 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 法一：利用空间向量找垂线段，再求模即可． 法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长度； (4)利用勾股定理求点到直线的距离． 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 跟踪训练 2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离． 知识点3　点到平面的距离 垂线段 长 最短 例3 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； [分析]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应距离． (2)求点A到平面PEF的距离． [分析]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应距离． 思维提升 2．求点面距离方法还有： (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2)在三棱锥中常用等体积法求解． 跟踪训练 3．如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1.求C1到平面A1AB的距离． 解：取AB的中点E，则DE∥BC. 因为BC⊥AC， 所以DE⊥AC. 又A1D⊥平面ABC， 所以DE，DC，DA1两两垂直， 以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(0，－1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，A1(0，0，t)， C1(0，2，t)， 知识点4　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的________称为这条直线与这个平面之间的________． (2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． (3)与两个平行平面同时________的直线，称为这两个平面的__________；____________夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的__________；两个平行平面之间的距离等于它们的公垂线段的长． (4)直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离． 距离 距离 垂直 公垂线 公垂线 公垂线段 例4 思维提升 1．求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． 2．求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． 跟踪训练 4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 〈课堂达标·素养提升〉 A D 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一 个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是 ． 4．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则 点P到平面ABC的距离是 ． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵在△PAD中，M，N分别为PD，AD的中点， ∴MN∥PA. ∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴MN∥平面PAB. 又AN∥BC，且AN＝BC＝1， ∴四边形ABCN为平行四边形，∴CN∥AB. 又CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CN∥平面PAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB. 又AD⊥AB，AD⊥PA，且AB∩PA＝A， ∴AD⊥平面PAB，AD⊥平面CMN， ∴线段AN为平面PAB与平面CMN的公垂线段，且AN＝1， ∴平面PAB与平面CMN之间的距离为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到 直线BE的距离是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为D1C1，C1C的中点． (1)求E到直线AF的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求B1到平面A1BE的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H. (1)求证：B1D⊥平面ABD； 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求证：平面EGF∥平面ABD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别为棱AD，AB，DC，BC的中点．求平面A1EF与平面B1NMD1间的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 13．如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A1F上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，求点P到直线l的距离的最小值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [解]　因为∠ACD＝90°，所以·＝0. 同理，·＝0. 因为AB与CD成60°角，所以〈，〉＝60°或120°. 又＝＋＋， 所以·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos 〈，〉＝ 所以||＝2或， 即B，D间的距离为2或. 计算两点间的距离的两种方法 1．利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用AB＝＝求解． 2．用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴·＝0，·＝0. 又∵二面角α-AB-β的平面角为120°， ∴〈，〉＝60°， ∴|CD|2＝||2＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， ∴CD＝12. 即线段CD的长为12. 注意点：(1)点到直线的距离公式d＝，其中A为直线外一点，为直线的任一方向向量；(2)空间两平行直线的距离转化为点到直线的距离． [解]　法一：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 令DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1). 设点M满足＝λ且AM⊥EF， 令M(x，y，z)， ∴(x－1，y，z－2)＝λ(1，－2，1)， ∴x＝λ＋1，y＝－2λ，z＝λ＋2， ∴M(λ＋1，－2λ，λ＋2)， ∴＝(λ－1，－2λ，λ＋2). ∵AM⊥EF， ∴·＝λ－1＋4λ＋λ＋2＝0，解得λ＝－， ∴＝， ∴||＝ ＝， ∴点A到直线EF的距离为. 法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)， ＝(1，0，－2)， ∴||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴在上的投影长度为＝， ∴点A到直线EF的距离 d＝＝＝. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，1)，E，O， ∴＝，＝. 取a＝＝，u＝＝， ∴a2＝，a·u＝， ∴点O到直线A1E的距离为＝. 给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条____________，这条垂线段的________称为点A到平面α的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的________连线的长度． 如图，A为平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝. [解]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)， E，F. 作DH⊥平面PEF，垂足为H， 则＝x＋y＋z ＝，(x＋y＋z＝1)， 因为＝，＝， 所以·＝x＋y＋－z ＝x＋y－z＝0. 同理，·＝x＋y－z＝0， 又x＋y＋z＝1，解得x＝y＝，z＝. 所以＝，所以||＝. 因此，点D到平面PEF的距离为. [解]　(2)由(1)知＝， 平面PEF的一个法向量为n＝(2，2，3)， 所求距离为＝＝. 1．用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，平面α的法向量n). (4)求距离d＝. 所以＝(0，3，t)，＝(－2，－1，t). 又BA1⊥AC1，所以·＝－3＋t2＝0，得t＝. 设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，1，)，＝(2，2，0)， 则 令z＝1，则n＝(，－，1). 所以C1到平面A1AB的距离d＝＝. 注意点：(1)点到直线的距离公式d＝，其中A为直线外一点，为直线的任一方向向量；(2)空间两平行直线的距离转化为点到直线的距离． [解]　如图，以D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则A1(1，0，2)，A(1，0，0)， E(0，，1)，C(0，，0). 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝， ∴B(1，2，0)， ∴＝(0，－2，0)，＝(－1，－，1). 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1). ∵＝(0，0，2)，直线A1B1平行于平面ABE. ∴直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离． d＝＝＝. ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)， D1(0，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0). 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令z＝1，得y＝1，x＝－1， ∴n＝(－1，1，1)， ∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. ∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． ＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离 d＝＝＝. 2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． 由已知得＝(1，2，－4)， 故点P到平面α的距离d＝＝＝. ∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)， ∴＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)， ∴两平面间的距离d＝＝＝. 以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)， 则d＝＝. [A组　必备知识练] 1．在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，4)，B(－2，1，0)，C(1，1，1)，那么点C到线段AB中点的距离是(　　) A．1　　　　　　　　　 B． C．2 D． 线段AB中点D的坐标为(0，2，2)，||＝＝. 2．已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为(　　) A．2 B． C． D． ∵＝(1，1，1)，∴在n＝(1，0，2)上的投影长度为＝＝， 所以点P到直线l的距离为＝. 3．若平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　) A．1 B． C． D． ＝(－1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)， 故点A到平面α的距离为＝. 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝2AB＝2BC＝2，M，N分别为PD，AD的中点，则平面PAB与平面CMN之间的距离为(　　) A．2 B．1 C． D． 5．在四棱锥P-ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h＝ ． 设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则 ⇒令y＝4，则n＝，则cos 〈n，〉＝＝＝－. ∵＝|cos 〈n，〉|，∴h＝×2＝2. 建立空间直角坐标系如图所示，＝(0，2，0)，＝(0，1，2)， ∴cos θ＝＝＝， ∴sin θ＝ ＝， ∴点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×＝. 解：如图所示，建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，E，F. (1)＝，＝， 则E到直线AF的距离d＝＝. 解：(2)＝，＝(0，1，－1). 设n＝(x，y，z)为平面A1BE的法向量， 则即 取x＝1，得平面A1BE的一个法向量n＝(1，2，2). 又＝(0，1，0)，得B1到平面A1BE的距离为d＝＝. (1)证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB＝a，则A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2), G. 所以＝(0，2，2)，＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2). 所以·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0. 所以⊥，⊥， 所以B1D⊥AB，B1D⊥BD. 又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD. (2)证明：由(1)可得＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，＝，＝(0，1，－1)，所以＝2，＝2，所以∥，∥. 所以GF∥AB，EF∥BD. 又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B， 所以平面EGF∥平面ABD. (3)解：由(1)(2)知，是平面EGF和平面ABD的法向量． 因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d. 因为＝(0，0，3)，B1D＝(0，2，2)， 所以d＝＝＝.即两平面间的距离为. [B组　关键能力练] 9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，PB＝AB＝2BC＝2，则点C到直线PA的距离为(　　) A． B． C． D．2 以B为坐标原点，建立空间直角坐标系Bxyz，则C(1，0，0)，A(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)，即·＝4.在上的投影向量的长度为＝＝，故点C到直线PA的距离为 ＝. 10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为BB1的中点，则点C到平面A1D1E的距离为(　　) A． B． C． D． 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E， ＝(1，0，0)，＝，＝(0，1，－1). 设平面A1D1E的法向量n＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得n＝(0，1，2)， ∴点C到平面A1D1E的距离d＝＝＝. AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直． 以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则＝(2，0，－2)， ＝(0，2，0).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)， 则即取a＝1，得n＝(1，0，1)， 又＝(2，0，0)，所以d＝＝. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，0)，B1(1，1，0)，E，F，D1(0，0，0)，M，N. ∵E，F，M，N分别是所在棱的中点， ∴MN∥EF，A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1. ∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离． 设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)， ∵＝(1，1，0)，＝，∴n·＝0，且n·＝0. 即(x，y，z)·(1，1，0)＝0，且(x，y，z)·＝0， ∴x＋y＝0，且－x＋z＝0. 令x＝2，则y＝－2，z＝1.∴n＝(2，－2，1)，n0＝. ∵＝(0，1，0)，∴点A1到平面B1NMD1的距离为d＝|·n0|＝. ∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为. 解：如图建立空间直角坐标系Cxyz， 则D(－2，0，0)，A1(0，0，2)，B(0，3，0)，E(－2，2，0). 设F(x0，y0，0)，则＝(x0，y0－3，0)，＝(－2，－1，0). 由题知＝， ∴即F. 设P(x1，y1，z1)，则＝(x1，y1，z1－2)， ＝， 设＝λ， 即(x1，y1，z1－2)＝λ， ∴x1＝－λ，y1＝λ，z1＝2－2λ， 即P.设点P在直线l上的射影为P′， 则P′(0，3，2－2λ)， 点P到直线l的距离的平方||2＝λ2＋＝λ2－14λ＋9. 由题知λ∈[0，1]， 故当λ＝时，点P到直线l的距离最小，最小值为. $$