1.2.4 二面角-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.4　二面角 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　理解二面角和二面角的平面角的概念，会用几何法和向量法求二面角的大小． 知识点1　二面角 内容索引 知识点2　二面角与面积之间的联系 课时作业 巩固提升 知识点3　用空间向量求二面角的大小 课堂达标·素养提升 3 知识点1　二面角 1．二面角的定义 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的________________所组成的图形称为二面角．如图所示，其中，直线l称为二面角的________，这两个半平面称为二面角的________，如图中的α，β. 两个半平面 棱 面 2．二面角的平面角 在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的____________．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的______________．特别地，平面角是直角的二面角称为____________．二面角的范围：[0，π]. 平面角 平面角大小 直二面角 3．两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小． 例1 如图所示，四边形ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A-VB-C的余弦值． 思维提升 构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即为二面角的一个平面角． 跟踪训练 (2)求二面角C-AB-D的大小． 知识点2　二面角与面积之间的联系 例2 已知在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B-PA-C的余弦值． [解]　法一：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF. 因为PC⊥平面ABC， PC⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC. 又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC，所以BE⊥PA. 法二：(利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE. 因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC. 又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC， 所以BE⊥平面PAC， 所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影． 思维提升 对射影面积公式的理解 1．来源：三垂线定理． 2．适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出． 3．优势：不需要作出二面角的平面角．　 跟踪训练 2．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D，E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE，求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值． 知识点3　用空间向量求二面角的大小 设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成角的大小为θ. θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉， sin θ＝sin 〈n1，n2〉． 例3 如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (1)[证明]　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD. 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD.因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 思维提升 利用向量方法求二面角的大小时，多采用求法向量的方法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来． 跟踪训练 3．在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD所成角的大小． 〈课堂达标·素养提升〉 1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为(　　) A．45°　　　　　　　　 B．60° C．90° D．135° A ABD 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点， 当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A1， 此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为90°，余弦值为0. 当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1， 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别于点E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面 ABEF的面积为 ． 4．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面 xOy所成角的余弦值为 ． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．若二面角α-l-β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角为 (　　) A．120°　　　　　 B．60° C．120°或60° D．30°或150° 二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°. 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则(　　) A．∠ADE是二面角A-PC-B的平面角 B．∠AED是二面角A-PB-C的平面角 C．∠DAE是二面角B-PA-C的平面角 D．∠ACB是二面角A-PC-B的平面角 由二面角的定义及三垂线定理，知选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0， a)(a＞0).如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)△AB1C的面积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B-AC-D的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1上不含端点的一点，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1-DC-C1的大小为60°，则AD的长为 ． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$