1.2.3 直线与平面的夹角-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.3　直线与平面的夹角 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．　2.会利用空间向量求直线与平面的夹角. 知识点1　直线与平面的夹角 内容索引 知识点2　最小角定理 课时作业 巩固提升 知识点3　用空间向量求直线与平面的夹角 课堂达标·素养提升 3 知识点1　直线与平面的夹角 1．斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是____________的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线与平面所成的角． 唯一确定 2．直线与平面所成的角 (1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为________，A′B是直线AB在平面α内的________，则________就是直线AB与平面α所成的角． (2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是________________． 当θ＝0°，AB________α或AB________α； 当θ＝90°，AB________α. 斜足 射影 ∠ABA′ 0°≤θ≤90° ∥ ⊂ ⊥ 例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角． 思维提升 利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而要找射影关键是找垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线． 跟踪训练 A 如图，取AB的中点O，连接CO，B1O，△ABC为等边三角形，O为AB的中点， ∴CO⊥AB，而平面ABC⊥平面AA1B1B，且平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，CO⊂平面ABC， ∴CO⊥平面AA1B1B， ∴∠CB1O即为B1C与平面AA1B1B所成的角． 知识点2　最小角定理 如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是________________． 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中____________． cos θ＝cos θ1cos θ2 最小的角 例2 思维提升 几何法求线面角 1．直接法，平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角．通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用． 2．利用最小角公式cos θ＝cos θ1·cos θ2. 跟踪训练 A 知识点3　用空间向量求直线与平面的夹角 空间中直线与平面所成的角 如图所示，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ. 例3 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值． 思维提升 利用向量方法求直线与平面所成角的步骤 跟踪训练 3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA1＝6，点E，F分别为CA1与AB的中点．求B1F与平面AEF所成角的正弦值． 〈课堂达标·素养提升〉 1．(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．直线与平面所成角的范围是(0°，90°] B．两条斜线与同一平面所成的角相等，则两斜线平行 C．直线与平面内两条直线都垂直，则此直线垂直于该平面 D．当直线与平面无公共点时，直线与平面所成的角是0° ABC 直线与平面平行所成角为0°，A错；圆锥的母线与底面所成的角相等，但它们都相交，B错；若平面内的两直线平行，则直线与平面不一定垂直，C错． B 60° 4．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 ． 45° 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角 的大小为 ． 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且 BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 ． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求BE与平面ABCD所成角的余弦值． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：如图，取CD的中点M，连接EM，BM，则EM∥PD. ∵PD⊥平面ABCD， ∴EM⊥平面ABCD， ∴BE在平面ABCD上的射影为BM， ∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角． 建立空间如图所示的直角坐标系Dxyz， 设PD＝DC＝1， 则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)， 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．已知在三棱锥S-ABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直 于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 ． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图所示，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则 直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 ． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点． (1)求异面直线PD与BM所成角的余弦值． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(1)∵PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD. 又∵∠BAD＝90°，∴PA，AB，AD两两互相垂直． 以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图． 则由AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，可得A(0，0，0)， B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4). 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$